专项04 换元法解一元二次方程 培优练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 以换元法为核心，构建“概念-步骤-类型-易错”完整方法体系，通过典型例题与分层练习，培养整体代换的抽象能力与转化推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识卡片|2典例|标准5步骤（观察-换元-求解-回代-验根）、3类换元（平方/分式/根式）、解题口诀|概念生成（定义与核心思想）→步骤规范→应用拓展（不同方程类型）→易错警示的递进链条| |培优练习|17题（4单选+7填空+6解答）|整体代换策略、分情况回代技巧、增根检验方法|从基础应用到综合迁移，覆盖换元法在高次/分式方程中的核心考法|

专项培优练习——换元法 专项04 培优练习——换元法 第一部分：知识卡片 一、什么是换元法 换元法是解高次、复合型一元二次方程的重要整体代换解法，属于数学转化思想的核心应用。指将方程中重复出现的复杂代数式、整体结构，用一个新未知数（辅助元）替换，把复杂方程转化为标准、简单的一元二次方程，求解后再回代求出原未知数的值。 核心思想：化繁为简、降次转化、整体代换 适用场景：方程含有重复整体结构、高次平方结构、分式型二次结构，无法直接用因式分解、公式法、配方法直接求解的方程。 标准解题步骤： 1. 观察：找出方程中重复出现的整体代数式； 2. 换元：设新元替换整体，简化方程； 3. 求解：解简化后的一元二次方程，求出新元的值； 4. 回代：将新元的值代回换元式，求原未知数； 5. 验根：分式、根式方程需检验，舍去增根。 二、典型例题1：换元法解复合型一元二次方程 【例题1】用换元法解方程 解题思路：方程中重复出现，整体结构统一，适合换元降次，将四次方程转化为一元二次方程求解。 解题步骤： 1. 设元换元：令 原方程可转化为标准一元二次方程： 2. 解新元方程：因式分解求解 解得： 3. 分情况回代求原根 ① 当 时， 整理得： 因式分解： 解得： ② 当 时， 整理得： 计算判别式： 此方程无实数根，舍去。 ∴ 三、典型例题2：换元法应用——分式型方程求解应用 【例题2】解方程 解题思路：方程含重复整体 ，直接展开计算繁琐，利用换元法简化运算，同时结合分式方程性质验根。 解题步骤： 1. 整体换元：令 原方程简化为： 2. 求解新元方程 因式分解得： 解得： 3. 回代分情况求解原方程 ① 当 时， 两边同乘整理： 由公式法解得： ② 当 时， 两边同乘整理： 由公式法解得： 4. 验根：所有解均满足 ，无增根 ∴ 四、换元法核心总结与易错点 1. 常用换元类型 · 平方整体型： · 分式整体型：含重复分式结构的复合型方程 · 根式整体型：含重复二次根式的方程 2. 高频易错点 · 只解新元，忘记回代求原未知数，导致解题不完整； · 忽略判别式，未舍去无实数根的情况； · 分式、根式换元方程必须验根，容易产生增根； · 换元后未标注新元取值范围。 3. 解题口诀 重复整体设新元，化繁为简变二次； 先解新元再回代，验根取舍保正确。 第二部分：培优练习 一、单选题 1．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 2．关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 4．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 二、填空题 5．已知：，那么____________． 6．已知，则的值为________． 7．已知为实数，，则的值为______． 8．若实数满足，则的结果为_______． 9．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 10．已知关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为，则方程（都是常数，且）的解为_______． 11．已知关于x的一元二次方程（a≠0）的一个根为，则关于x的方程（a≠0）的两个根为_________． 三、解答题 12．阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 13．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 14．阅读下面的材料，回答问题． 解方程：． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设，那么，∴原方程可变为．解得：． 当时，，∴． 当时，，∴． ∴原方程有4个根：． 请参照例题解方程． 15．阅读下面的材料，回答问题： (1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______． (2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为 （1），解得＝1，＝4． 当y＝1时，＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根． 请你用 （2）中的方法求出方程的实数解． 16．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 17．阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专项培优练习——换元法 专项04 培优练习——换元法 第一部分：知识卡片 一、什么是换元法 换元法是解高次、复合型一元二次方程的重要整体代换解法，属于数学转化思想的核心应用。指将方程中重复出现的复杂代数式、整体结构，用一个新未知数（辅助元）替换，把复杂方程转化为标准、简单的一元二次方程，求解后再回代求出原未知数的值。 核心思想：化繁为简、降次转化、整体代换 适用场景：方程含有重复整体结构、高次平方结构、分式型二次结构，无法直接用因式分解、公式法、配方法直接求解的方程。 标准解题步骤： 1. 观察：找出方程中重复出现的整体代数式； 2. 换元：设新元替换整体，简化方程； 3. 求解：解简化后的一元二次方程，求出新元的值； 4. 回代：将新元的值代回换元式，求原未知数； 5. 验根：分式、根式方程需检验，舍去增根。 二、典型例题1：换元法解复合型一元二次方程 【例题1】用换元法解方程 解题思路：方程中重复出现，整体结构统一，适合换元降次，将四次方程转化为一元二次方程求解。 解题步骤： 1. 设元换元：令 原方程可转化为标准一元二次方程： 2. 解新元方程：因式分解求解 解得： 3. 分情况回代求原根 ① 当 时， 整理得： 因式分解： 解得： ② 当 时， 整理得： 计算判别式： 此方程无实数根，舍去。 ∴ 三、典型例题2：换元法应用——分式型方程求解应用 【例题2】解方程 解题思路：方程含重复整体 ，直接展开计算繁琐，利用换元法简化运算，同时结合分式方程性质验根。 解题步骤： 1. 整体换元：令 原方程简化为： 2. 求解新元方程 因式分解得： 解得： 3. 回代分情况求解原方程 ① 当 时， 两边同乘整理： 由公式法解得： ② 当 时， 两边同乘整理： 由公式法解得： 4. 验根：所有解均满足 ，无增根 ∴ 四、换元法核心总结与易错点 1. 常用换元类型 · 平方整体型： · 分式整体型：含重复分式结构的复合型方程 · 根式整体型：含重复二次根式的方程 2. 高频易错点 · 只解新元，忘记回代求原未知数，导致解题不完整； · 忽略判别式，未舍去无实数根的情况； · 分式、根式换元方程必须验根，容易产生增根； · 换元后未标注新元取值范围。 3. 解题口诀 重复整体设新元，化繁为简变二次； 先解新元再回代，验根取舍保正确。 第二部分：培优练习 一、单选题 1．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开得，合并常数项整理得，直接开平方求出即可． 【详解】解：设， 则原方程为， ． 2．关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根       ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根       ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先将分类讨论得到两个方程，然后根据根的判别式得出根的个数即可． 【详解】解:时，或 方程化为：① 时， 方程化为：② 当，即时， 方程①的根为： 方程②的根为： 分析可得时，即：时，有5个不相等的实根 时， 则 中，不符合题意，故有2个实数根 中，，均不符合题意 故时，有2个实数根 共有8个不相等的实数根 当，即时， 方程①的根为：， 方程②的根为：， 故共有4个不相等的实数根 当，即时， 方程没有实数根 综上，方程可能有个、个、个、个实数根 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程跟的情况，相关知识点有：根的判别式、绝对值、分类思想等，分类讨论是本题的解题关键． 3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程变形，设得到，利用的一个根是可得，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为， 所以， 解得， 所以一元二次方程必有一根为． 4．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 二、填空题 5．已知：，那么____________． 【答案】2 【分析】设u=x2+y2，原方程化为：u(u−1)=2，解这个方程即可求解． 【详解】解：设u=x2+y2，原方程化为：u(u−1)=2 整理，得u2−u−2=0， 解得，u1=2，u2=−1（负值不合题意，舍去） ∴x2+y2=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，求代数式的值，用换元法把方程化为一元二次方程是解题的关键． 6．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法求解方程是解题的关键；由题意可设，则方程可变为，然后根据因式分解法进行求解方程即可． 【详解】解：由题意可设，则方程可变为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为12． 7．已知为实数，，则的值为______． 【答案】3 【分析】设将原方程转化为一元二次方程，求解后，再判断原方程是否有解． 【详解】解：设，则原方程化为：， ． 或． 或． 当y=3时，，即，Δ=，原方程有解， 当y=-2时，，即，Δ=，原方程无解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握换元法是解决本题的关键． 8．若实数满足，则的结果为_______． 【答案】1 【分析】设，则原方程转化为关于t的一元二次次方程，通过解方程求得t的值，即的值．本题主要考查了换元法，因式分解法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换． 【详解】解：设 则原式等于， 整理 得 解得（舍弃）， 即． 故答案为：1． 9．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 10．已知关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为，则方程（都是常数，且）的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，可得：或，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为， ∴方程，即：的解为：或， ∴； 故答案为：． 11．已知关于x的一元二次方程（a≠0）的一个根为，则关于x的方程（a≠0）的两个根为_________． 【答案】1或2023/2023或1 【分析】先移项，合并同类项得出，再分别讨论和的情况． 【详解】解：∵， ∴， 即时方程有根， ∵一元二次方程（a≠0）的一个根为， ∴， 此时， 故答案为1或2023． 【点睛】本题考查了换元法，解题时注意不要忘记的情况． 三、解答题 12．阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题主要是考查利用换元法解一元二次方程的方法，仿照例题给出的方法进行解题，熟练掌握解方程的方法是本题解题的基础．利用例题中给很出的方法，利用换元的方法进行解题，设，则原方程化为：，解方程得：，，将解带入，求解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可以化为， ∵，，， ∴， ∴． 解得，． 当时，， ∴，； 当时，， ∴，． ∴原方程的解为，，，． 13．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 14．阅读下面的材料，回答问题． 解方程：． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设，那么，∴原方程可变为．解得：． 当时，，∴． 当时，，∴． ∴原方程有4个根：． 请参照例题解方程． 【答案】；． 【分析】仿照例题，设，则，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程可变为，即， 解得，． 当时，，即， ， ∴此方程无解； 当时，，即， ∴， ∴；； ∴原方程有两个根：；． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键． 15．阅读下面的材料，回答问题： (1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______． (2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为 （1），解得＝1，＝4． 当y＝1时，＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根． 请你用 （2）中的方法求出方程的实数解． 【答案】(1)2022 (2)， 【分析】（1）根据题目所提供的方法即可求出答案； （2）根据换元法即可求解． 【详解】（1）解：∵﹣x﹣1＝0， ∴＝x+1， ∴﹣3x+2020 ＝ ＝﹣x+2021 ＝x+1﹣x+2021 ＝2022． 故答案为：2022； （2）解：设+x＝y，那么，于是原方程可变为， 解得＝﹣2，＝4． 当y＝﹣2时，+x+2＝0，Δ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴方程无解； 当y＝4时，+x﹣4＝0， ∴x＝； ∴原方程有两个根：x1＝，x2＝． 【点睛】本题考查了降次法求代数式的值和换元法解一元二次方程，能够降次是解此题的关键． 16．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 17．阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为2,3,4,5． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专项04培优练习—换元法 第一部分：知识卡片 一、什么是换元法 换元法是解高次、复合型一元二次方程的重要整体代换解法，属于数学转化思想的核心应用。指 将方程中重复出现的复杂代数式、整体结构，用一个新未知数（辅助元）替换，把复杂方程转化为标 准、简单的一元二次方程，求解后再回代求出原未知数的值。 核心思想：化繁为简、降次转化、整体代换 适用场景：方程含有重复整体结构、高次平方结构、分式型二次结构，无法直接用因式分解、公 式法、配方法直接求解的方程。 标准解题步骤： 1.观察：找出方程中重复出现的整体代数式： 2.换元：设新元替换整体，简化方程； 3.求解：解简化后的一元二次方程，求出新元的值； 4.回代：将新元的值代回换元式，求原未知数， 5.验根：分式、根式方程需检验，舍去增根。 二、典型例题1：换元法解复合型一元二次方程 【例题1】用换元法解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0 解题思路：方程中x2+x重复出现，整体结构统一，适合换元降次，将四次方程转化为一元二次方程 求解。 解题步骤： 1.设元换元：令y=x2+x 原方程可转化为标准一元二次方程： y2-4y-12=0 2.解新元方程：因式分解求解 y-6)(y+2)=0 解得：y1=6,y2=-2 试卷第1页，共8页 专项培优练习—换元法 3.分情况回代求原根 ①当y=6时，x2+x=6 整理得：x2+x-6=0 因式分解：(x+3)(x-2)=0 解得：x1=-3,X2=2 ②当y=-2时，x2+x=-2 整理得：x2+x+2=0 计算判别式：b2-4ac=12-4×1×2=-7<0 此方程无实数根，舍去。 .x1=-3,X2=2 三、典型例题2：换元法应用—分式型方程求解应用 【例题2】解方程(x-)+2(x-)-3=0 解题思路：方程含重复整体x-:直接展开计算繁琐，利用换元法简化运算，同时结合分式方程性 质验根。 解题步骤： 1.整体换元：令t=x-贵 原方程简化为：t2+2t-3=0 2.求解新元方程 因式分解得：(t+3)(t-1)=0 解得：t1=-3,t2=1 3.回代分情况求解原方程 ①当t=-3时，x-1=-3 两边同乘x(x≠0)整理：x2+3x-1=0 试卷第2页，共8页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由公式法解得：x=-3±国 2 ②当t=1时，x-=1 两边同乘x(x≠0)整理：x2-x-1=0 由公式法解得：x=±S 2 4.验根：所有解均满足x≠0，无增根 x=,=3酒，为-，4- 四、换元法核心总结与易错点 1.常用换元类型 ·平方整体型：(ax2+bx)2+m(ax2+bx)+n=0 ·分式整体型：含重复分式结构的复合型方程 。 根式整体型：含重复二次根式的方程 2.高频易错点 ·只解新元，忘记回代求原未知数，导致解题不完整； ·忽略判别式，未舍去无实数根的情况 ·分式、根式换元方程必须验根，容易产生增根 ·换元后未标注新元取值范围。 3.解题口诀 重复整体设新元，化繁为简变二次； 先解新元再回代，验根取舍保正确。 试卷第3页，共8页 专项培优练习—换元法 第二部分：培优练习 一、单选题 1.若(a+b-1)(a+b+1)-4=0,则a+b的值为() A.2 B.±2 C.√5 D.±5 2.关于x的方程(x2--x2-1+k=0,给出下列四个题： ①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.若关于x的一元二次方程ax2+2bx-2=0的一个根是x=2022,则一元二次方程g(x+2+bx+2b=1必 有一根为(). A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 4.已知实数a,b满足(d+2b2)(d+2b2-3)=10,则ad+2b的值为() A.5或-2 B.-5或2 C.5 D.2 二、填空题 5.已知：(x2+y)(x2+y2-1)=2,那么x2+y2= 6.已知(a2+b2)2-8(a2+b2)-48=0,则a2+b2的值为 7.已知x为实数，(x2+2x)2-（x2+2x)-6=0,则x+2x的值为 8.若实数满足（x2+2x)+2(x2+2x)3=0,则x2+2x的结果为 9.已知一元二次方程a(x+m2=n(a≠0)的两根分别为-3、1，则一元二次方程a(x+m-2)2-n=0(a≠0) 的两根分别为 10.已知关于x的一元二次方程a(x-)-k=0(a,h,k都是常数，且a≠0)的解为：=-1，x2=3,则方 程a(x-h-1)=k(a,h,k都是常数，且a≠0)的解为。 11.己知关于x的一元二次方程x2+bx=0(a≠0)的一个根为x=2022,则关于x的方程a(x-1)+bx=b (a≠0)的两个根为 试卷第4页，共8页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、解答题 12.阅读下列例题的解答过程： 解方程：3(x-2)+7(x-2)+4=0. 解：设x-2=y,则原方程可以化为3y2+7y+4=0. ∴.a=3,b=7,c=4, ∴.b2-4ac=72-4x3x4=1>0, y7亚-7生1 2×36 y=-1,为3 4 当y=-1时，x-2=-1, x=1: 当y=时，-2=-子 4 3 4x=2 原方程的解为青山，与=号 请仿照上面的例题解方程：2(x2-3)2-5(x2-3)+2=0. 试卷第5页，共8页 专项培优练习—换元法 13.解方程(x-1)-5(x-1)+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y,则原方程可化为 y2-5y+4=0,解得%=1，=4.当y=1,即x-1=1,解得x=2;当y=4,即x-1=4,解得x=5.所 以原方程的解=2，x2=5. (1)请你利用这种方法解方程：(2x-1)-4(2x-1)+3=0; (2)已知△ABC三涤边的长度分别为a,b,c,若满足(d+b2-3(a2+b2）4=0,且c=2,请判断△ABC 的形状，并说明理由。 14.阅读下面的材料，回答问题. 解方程：x4-10x2+9=0. 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设x2=y,那么x4=y2,∴.原方程可变为y2-10y+9=0.解得：片=1，=9. 当=1时，x2=1,.x=1. 当%=9时，x2=9,∴.x=±3. .原方程有4个根：=1，为=-1,63=3,4=-3. 请参照例题解方程(x2-x)+3(x2-x)-10=0. 试卷第6页，共8页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.阅读下面的材料，回答问题： (1)将关于x的一元二次方程x2+bx+c=0变形为x2=-bx-c,就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从 而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”。 已知x2-x-1=0,用“降次法”求出x4-3x+2020的值是 (2)解方程x4-5x2+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y,那么 x4=y2,于是原方程可变为y2-5y+4=0(1),解得=1，y3=4. 当y=1时，x2=1,x=士1： 当y=4时，x2=4,x=土2： .原方程有四个根x1=1,3=-1,x3=2,x4=-2 请你用(2)中的方法求出方程(x2+x)2-2x2-2x=8的实数解. 16.阅读下列材料：为解方程x4-x2-6=0可将方程变形为(x2)-x2-6=0然后设x心2=t,则(x2)=P, 原方程化为t2-t-6=0①，解①得t=-2,t3=3.当4=-2时，x2=-2无意义，舍去；当t=3时，x2=3, 解得x=士V.原方程的解为=V3,5=-√3； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的 问题转化成简单的问题， (1)利用换元法解方程(x2-x)-4(x2-x)-12=0时，新字母设为t,则t= ,原方程化为 ,解得t= (2)求方程(x2-x)-4(x2-x)-12=0的解。 试卷第7页，共8页 专项培优练习—换元法 17.阅读材料： 为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将(x2-1)视为一个整体，然后设x2-1=y,则(2-12=y2, 原方程可化为y2-5y+4=0,① 解得y=4,3=1. 当y=4时，x2-1=4,x2=5,x=±5 当y=1时，x2-1=1,x2=2,x=±√2， 原方程的解为x=√2，x,=-√5，飞=√5，=-5 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想 请仿照材料解决问题： (1)解方程：(x2-2x)2-5x2+10x-6=0. (2)若四个连续正整数的积为120，求出这四个连续的正整数. 试卷第8页，共8页