第二章《一元二次方程》单元测试 2026～2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷全面覆盖一元二次方程的定义、解法、根的判别式及应用，以古代数学方法（赵爽几何解法）、现实情境（甲流传播、电流热量）为载体，梯度设计凸显数学眼光、思维与语言的核心素养，适配九年级单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|定义、解法、判别式、几何应用|结合一次函数图象判断根的情况，体现数形结合| |填空题|5小题|根与系数关系、等腰三角形周长|电流热量公式应用，联系物理情境| |解答题|8小题|解方程、综合应用、几何代数结合|赵爽几何解法探究、学校花坛设计项目，凸显问题解决与创新意识|

2026~2027学年九年级上册数学北师大版第二章《一元二次方程》单元测试 一．选择题（共10小题） 1．下列是一元二次方程的是（　　） A．3x+1＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．3t2+t+1＝0 D． 2．已知一元二次方程x2+mx﹣5＝0的一个根为﹣1，则m的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 3．已知关于x的方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0），当4ac﹣b2＝0时，方程的解为（　　） A．， B．， C． D． 4．用公式法解方程x2﹣1＝2x时，得，则“□”处应填（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 5．在平面直角坐标系中，若一次函数y＝﹣2x+m的图象如图所示，则关于x的方程mx2+x+2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．如图，在一块长为am，宽为102m的长方形草坪上，修筑了宽为2m的小路（阴影部分）．已知草坪面积为12000m2，则a＝（　　） A．122 B．102 C．123 D．104 7．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 8．嘉嘉在求解关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1＝0时，抄错了k的正负号，解出x的一个根为﹣2，则下列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根；结论二：原方程的两根之和为（　　） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 9．我们可以用几何的方法求一元二次方程的解．例如求方程x2+4x＝32的解时，如图，先画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，在斜边AB上截取BD＝2，则下列线段可以表示方程x2+4x＝32的一个解的是（　　） A．AD的长 B．AC的长 C．BC的长 D．CD的长 10．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程x2+8x＝48为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为48+4×22＝64，则该方程的正数解为8﹣2×2＝4．小美尝试用此方法解关于x的方程x2+12x+c＝0，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为100，则方程x2+12x+c＝0的正数解是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二．填空题（共5小题） 11．已知2是关于x的一元二次方程x2﹣kx+2＝0的一个根，则k的值为　 　 ． 12．已知等腰△ABC的边是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为 　 　 ． 13．已知一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根为a，b，那么a+b﹣ab＝　 　 ． 14．电流通过导线会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt．已知电阻为5Ω的导线1s时间产生20J的热量，则电流I的值是 　 　 A． 15．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．解方程：（x+4）2＝5（x+4） 17．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的根，求代数式（m+3）（m﹣3）+m2﹣6m的值． 18．在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题1：计算：． 解：原式＝第一步 ＝第二步 ＝第三步 习题2：解方程：x2﹣4x﹣5＝0 解：x2﹣4x＝5第一步 （x﹣2）2＝5+4第二步 x﹣2＝3第三步 x＝5第四步 （1）解答过程中，习题1从第　 　 步开始出现错误，习题2从第　 　 步开始出现错误； （2）任选其中一个习题写出正确的解答过程． 19．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若此方程的两根分别为x1、x2，且x1x2+x1+x2＝9，求m的值． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 21．【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照1：100的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形ABCD的宽AB为6厘米，在AD边上确定中点H，则AH的长应为　 　 ； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 22．追本溯源：题（1）是北师大版初中数学九年级上册第57页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）、题（3）． （1）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4，即x﹣1＝4，解得x＝5．所以原方程的解x1＝2，x2＝5．请你利用这种方法解方程：（3x+5）2﹣4（3x+5）+3＝0． 方法应用：（2）已知a、b、c为△ABC的三边，若（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣4＝0，c＝2，请判断△ABC的形状，说明理由． （3）已知x为实数且满足（x2﹣x+1）2﹣（x2﹣x+1）﹣2＝0，请直接写出x2﹣x+1的值． 23．综合与实际 问题背景：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． 问题探究：（1）请根据图①写出一个等式：　 　 ． （2）如图②，点C在线段BP上，分别以BC、CP为边作正方形ABCD和正方形CPEF，连接BD、BE．若BP＝10，BC•CP＝22．试求出阴影部分的面积． 拓展应用：（3）如图③，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，点E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作长方形EHDG分别交AD于点H，交BC于点G．过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．请问的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值．若不是定值，请说明理由． 第二章《一元二次方程》单元测试 第 1 页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 2026~2027学年九年级上册数学北师大版第二章《一元二次方程》单元测试参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A、3x+1＝0中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、ax2+bx+c＝0中，未说明a≠0，若a＝0则不是一元二次方程，不符合题意； D、中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合题意； C、3t2+t+1＝0中，是整式方程，只含一个未知数t，未知数最高次数为2，且二次项系数3≠0，满足一元二次方程的所有条件，符合题意． 故选：C． 2．【解答】解：∵一元二次方程x2+mx﹣5＝0的一个根为﹣1， ∴1﹣m﹣5＝0， ∴1﹣5＝m， ∴m＝﹣4， 即m的值为﹣4， 故选：A． 3．【解答】解：∵一元二次方程ax2﹣bx+c＝0，a≠0，且4ac﹣b2＝0， ∴b2﹣4ac＝0，方程有两个相等的实数根． ax2﹣bx+c＝0， 移项得ax2﹣bx＝﹣c， 两边同除以a得， 配方得， ∵b2﹣4ac＝0， ∴， ∴． 故选：D． 4．【解答】解：原方程移项得x2﹣2x﹣1＝0， ， 对比题干给出的式子，可知□处应填2． 故选：C． 5．【解答】解：由图象可得， m＜0， ∵mx2+x+2＝0， ∴Δ＝12﹣4m×2＝1﹣8m＞0， ∴方程mx2+x+2＝0有两个不相等的实数根， 故选：A． 6．【解答】解：根据平移把小路移到右边和上面， ∴草坪可以看成长是（a﹣2）m，宽是102﹣2＝100m， ∴100（a﹣2）＝12000， 解得a＝122． 故选：A． 7．【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225． 故选：C． 8．【解答】解：∵嘉嘉抄错k的正负号， ∴嘉嘉解的错方程为2x2﹣kx﹣1＝0， 将x＝﹣2代入错方程得：2×（﹣2）2﹣k×（﹣2）﹣1＝0， 解得， 验证结论一：原方程的判别式， ∴原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 验证结论二：对于ax2+bx+c＝0，两根之和为，这里a＝2，， ∴， ∵结论二给出两根之和为， ∴结论二不正确； 综上，结论一正确，结论二不正确． 故选：A． 9．【解答】解：利用配方法解一元二次方程求出正数解，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，结合BD＝2求出AD的长如下： 配方得（x+2）2＝13， 解得，， ∵线段长度必须为正数， ∴该方程符合几何意义的解为， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， BC＝2，AC＝3， 由勾股定理得， ∵在斜边AB上截取BD＝2， ∴． ∴线段AD的长表示方程的一个解． 故选：A． 10．【解答】解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为3x的矩形， ∴四个小正方形的边长为3， 由条件可知大正方形的边长为， ∴方程的正数解是10﹣2×3＝4． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣kx+2＝0得4﹣2k+2＝0，解得k＝3． 即k的值为3． 故答案为：3． 12．【解答】解：∵x2﹣7x+10＝0， ∴（x﹣2）（x﹣5）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝2，x2＝5， 分四种情况： 当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时， ∵2+2＝4＜5， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时， ∴△ABC的周长＝5+5+2＝12； 当等腰三角形的边长为2，2，2时， ∴△ABC的周长＝2+2+2＝6； 当等腰三角形的边长为5，5，5时， ∴△ABC的周长＝5+5+5＝15； 综上所述：△ABC的周长为6或12或15， 故答案为：6或12或15． 13．【解答】解：由条件可得：，， ∴a+b﹣ab＝4﹣2＝2． 故答案为：2． 14．【解答】解：将 R＝5，Q＝20，t＝1，代入Q＝I2Rt， 得：20＝I2×5×1， 化简得：I2＝4， 解得I＝2或I＝﹣2（负值不合题意，舍去）， 故答案为：2． 15．【解答】解：设矩形的宽为x，长为x+a， ∵大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴（2x+a）2＝144，（x+a﹣x）2＝4， ∴2x+a＝12（负值已舍去），a＝2（负值已舍去）， ∴x＝5， 故答案为：5． 三．解答题（共8小题） 16．解：移项得：（x+4）2﹣5（x+4）＝0， （x+4）（x+4﹣5）＝0， x+4＝0，x+4﹣5＝0， x1＝﹣4，x2＝1． 17．解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的根， ∴m2﹣3m＝1， （m+3）（m﹣3）+m2﹣6m ＝m2﹣9+m2﹣6m ＝2m2﹣6m﹣9 ＝2（m2﹣3m）﹣9 ＝2×1﹣9 ＝﹣7． 18．解：（1）由题知，习题1从第二步开始出现错误，习题2从第三步开始出现错误．故答案为：二，三； （2）当选择习题1时， 原式＝ ＝ ＝ ＝； 当选择习题2时， x2﹣4x﹣5＝0， （x+1）（x﹣5）＝0， 则x+1＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝5． 19．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等的实数根． ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2＝﹣4m+1＞0， 解得：m＜． （2）∵x1，x2是一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝1﹣2m，x1x2＝m2， ∴1﹣2m+m2＝9， 整理得：m2﹣2m﹣8＝0， 解得：m1＝﹣2，m2＝4． 又∵m＜， ∴m＝﹣2． 20．（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2﹣8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0 ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）解：设a＝6，另两边长为b、c， ①若a＝6为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0． ∴（k﹣1）2＝0，解得：k＝1． 此时原方程化为x2﹣4x+4＝0， ∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2． 此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去； ②若a＝b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝6， 代入方程：62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0， 解得k＝3或5， 则原方程化为x2﹣10x+24＝0或x2﹣16x+60＝0， 解得x1＝4，x2＝6或x1＝6，x2＝10， 即b＝6，c＝4，或b＝6，c＝10， 此时△ABC三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形， 周长为6+6+4＝16或6+6+10＝22． 21．解：（1）由题意得：图纸上画出矩形ABCD的宽AB为6厘米，矩形的长为8米，宽为6米． 故AD＝8（cm）， ∵H为AD边的中点， ∴AH＝， 故答案为：4cm． （2）设小路的宽为xcm时符合设计要求，根据题意，得 ， 解得x1＝2，x2＝12（舍去）， 答：当小路的宽为2cm时符合设计要求； （3）连接AC，BD，交于点O， 则阴影两部分三角形区域作为花坛即可． 理由如下：根据矩形的性质，勾股定理，得AC＝BD＝＝10（cm）， 故OA＝OB＝OC＝OD＝5（cm）， 故S△COD＝S△AOB＝S△AOD＝×矩形ABCD的面积， 故S△COB+S△AOD＝×矩形ABCD的面积，且阴影部分是轴对称图形，故设计符合题意． 22．解：（1）设t＝3x+5，原方程可化为t2﹣4t+3＝0， 解得：t1＝1，t2＝3． 当t＝1，即3x+5＝1，解得：； 当t＝3，即3x+5＝3，解得：． 所以原方程的解，； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵a2＞0，b2＞0， ∴a2+b2＞0， 设t＝a2+b2（t＞0）， 则原方程可化为t2﹣3t﹣4＝0， 解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）． 当t＝4，即a2+b2＝4， 即a2+b2＝4＝c2， 故△ABC是直角三角形． （3）， ∵， ∴； 设，原方程可化为t2﹣t﹣2＝0， 解得：t1＝2，t2＝﹣1（舍去）． 当t＝2，即x2﹣x+1＝2． 23．解：（1）大正方形的面积可表示为：（a+b）2，或者：两个小正方形+两个矩形的面积＝a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）设BC＝a，CP＝b， ＝， ∵BP＝10，BC×CP＝22， ∴a+b＝10，ab＝22， ∴； （3）的值为定值；理由如下： ∵在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点， ∵∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝BD＝CD， ∴△ABD，△ACD是等腰直角三角形， ∵EG⊥BC，EH⊥AD， ∴△AHE，△CEG是等腰直角三角形， ∵BF∥AC， ∴∠FBG＝∠C＝45°， ∵∠DGE＝∠DGF＝90°， ∴△BGF是等腰直角三角形， ∴图中的所有三角形都是等腰直角三角形， 设CG＝GE＝a，DG＝b， 依题意得：四边形DGEH是长方形， ∴DH＝EG＝a，DG＝HE＝AH＝b， ∴AD＝BD＝a+b，BG＝FG＝a+2b， ∴， ， ∴S1＝2S2， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $