5.3.3 一元一次方程的应用-路程问题-教学设计 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元一次方程应用中的路程问题，涵盖相遇、追及、环形等典型题型。通过城市交通视频导入，联系生活场景激发兴趣，衔接学生已有的方程解法基础，借助线段图等可视化支架帮助理解动态过程。 特色在于以“数形结合”为主线，通过线段图标注速度、时间等要素，培养学生几何直观与模型观念。分层例题（如环形跑道同向追及与反向相遇）训练推理能力，分层练习与作业满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生用方程解决实际问题的能力。

5.3 一元一次方程的应用 —— 路程问题 教学设计 一、教材分析 “一元一次方程的应用”是北师大版新教材七年级上册数学的核心内容之一，而“路程问题”包括相遇问题、追及问题、环形问题等，是应用板块中最经典、最具代表性的应用题型。相比前两课时的面积问题和盈亏问题，路程问题的等量关系更加多样，本课的核心公式是"路程=速度×时间"，等量关系隐含在运动过程的数量关系中，相遇问题中"甲路程+乙路程=总路程"，追及问题中"快者路程-慢者路程=追及路程"，环形问题中"同向追及：快者路程-慢者路程=一圈周长""背向相遇：甲路程+乙路程=一圈周长"。这些等量关系需要借助线段图来可视化，是培养学生"用图形辅助建模"能力的重要载体。本节课建立在学生已经掌握一元一次方程的解法以及初步的代数式表示能力的基础之上。路程问题不仅是对“路程=速度×时间”这一基本数量关系的深化，更是培养学生将实际生活问题转化为数学模型（即方程）的关键载体。通过本课的学习，学生将初步体会“数形结合”与“方程思想”在解决复杂实际问题中的优越性，为后续学习工程问题、利润问题等更复杂的方程应用奠定坚实的思维基础。 二、学情分析 学生在小学阶段已掌握路程、速度、时间的基本关系，对相遇问题有初步认识。但追及问题中"速度差×追及时间=追及路程"的理解较为困难，尤其是环形追及问题中"多走一圈"的含义。七年级学生正处于从算术思维向代数思维过渡的关键时期，习惯于用算术方法（如逆运算）求解，这往往导致他们在面对复杂情境时思维受限。进入初中后，虽然他们具备了一定的阅读理解能力和符号意识，但在寻找复杂情境中的等量关系时仍存在困难。此外，部分学生在面对动态的运动过程时，空间想象能力不足，难以在脑海中构建清晰的运动图景。因此，教学中需要借助直观的线段图、动画演示等可视化手段作为脚手架，帮助学生将抽象的文字信息转化为直观的图形语言，帮助学生将运动过程转化为数学语言，进而顺利列出方程。 三、教学目标 1. 经历从相遇、追及等典型路程问题中抽象数量关系的过程，能借助线段图、列表法梳理速度、时间、路程之间的等量关系，准确列出一元一次方程并求解，发展模型观念、几何直观与运算能力。能结合路程问题的实际背景检验方程解的合理性，区分算术解法与方程解法的差异，强化应用意识。 2. 在贴近生活的路程问题情境中，学会用数学眼光观察行程中的数量关系，尝试提出可转化为方程的实际问题。 运用一元一次方程模型分析问题、解决问题，能清晰表达"设未知数→找等量关系→列方程→求解检验"的完整解题思路，提升逻辑推理能力与问题解决能力。 3.通过自主探究、小组合作分析路程问题的过程，积累用方程建模解决实际问题的活动经验，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。感受数学与日常生活的紧密关联，养成严谨求实的学习态度，增强学好数学的信心。 四、教学重难点 重点：掌握相遇问题、追及、环形问题问题的等量关系，并能正确列出一元一次方程求解。 难点：追及问题中"速度差×时间=追及路程"的理解，环形问题中"同向追及"和"背向相遇"的等量关系区分；在复杂的运动情境中准确寻找等量关系，以及熟练运用线段图将动态过程静态化、直观化。 五、教学过程 （一）情境导入（约5分钟） 教师活动：利用多媒体播放一段城市早高峰的交通视频或展示两辆汽车在公路上行驶的图片，提问：“同学们，在日常生活中，我们经常会遇到各种与‘路程’相关的问题。比如，两个人从两地同时出发相向而行，或者同向而行，他们什么时候能相遇？什么时候能追上？今天我们就来学习如何用一元一次方程这把‘金钥匙’来解决这类路程问题。” 学生活动：观看视频，思考生活中的行程场景，进入学习状态。 设计意图：通过生活化的情境引入，激发学生的学习兴趣，明确本节课的学习目标。 （二）探究新知（约15分钟） 1. 典型例题讲解 例题1（相遇问题）：甲、乙两地相距240千米，一辆客车从甲地开出，每小时行驶60千米；一辆货车从乙地开出，每小时行驶40千米。两车同时出发，相向而行，经过多少小时两车相遇？ 师生互动与解题过程： 分析：引导学生找出已知量（总路程240km，客车速度60km/h，货车速度40km/h）和未知量（相遇时间）。提问：“两车相遇时，它们行驶的路程之和与总路程有什么关系？” 画图：教师在黑板上示范画线段图，标出甲、乙两地，用箭头表示相向而行，标出各自的速度和未知时间 x。 规范解答： 解：设经过 x 小时两车相遇。 根据题意，得：60x + 40x = 240 合并同类项，得：100x = 240 系数化为1，得：x = 2.4 检验：当 x=2.4 时，左边 = 60 + 40 = 144 + 96 = 240，等于右边。 符合题意。 答：经过2.4小时两车相遇。 例题2（追及问题）：小明每天早上要在7:50之前赶到学校，学校离家1000米。一天，小明以80米/分的速度从家出发去学校，5分钟后，爸爸发现他忘带数学书，立即以180米/分的速度从家出发去追小明。爸爸追上小明用了多长时间？ 师生互动与解题过程： 分析：明确这是同向追及问题。提问：“爸爸追上小明时，两人走的路程有什么关系？”（爸爸走的路程 = 小明走的路程）。注意小明先走了5分钟，存在时间差。 画图：画出线段图，标出小明先走的路程（80），以及爸爸追及的时间 x 内两人分别走的路程。 规范解答： 解：设爸爸追上小明用了 x 分钟。 根据题意，得：180x = 80x + 80 移项，得：180x-80x = 400 合并同类项，得：100x = 400 系数化为1，得：x = 4 检验：当 x=4 时，左边 = 180 = 720，右边 = 80 + 400 = 720。 符合题意。 答：爸爸追上小明用了4分钟。 例题3（分段行程问题） 一列火车匀速通过一座长500米的铁路桥，从车头上桥到车尾离桥共用30秒，整列火车完全在桥上的时间为20秒，求火车的长度和速度。 解题思路： 设火车长度为 x 米，速度为 v 米/秒，两个等量关系： ①完全过桥路程 = 桥长 + 车长，即 500 + x = 30v； ②完全在桥上路程 = 桥长 - 车长，即 500 - x = 20v。 由第一个式子得 v = (500 + x)/30，代入第二个式子得 500 - x = 20 × (500 + x)/30， 解得 x = 100，v = 20。 设计意图：突破分段行程问题的难点，训练间接设元和找隐藏等量关系的能力，对应模型观念、推理能力素养。 例题4（顺逆水问题） 一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，已知水流速度是2千米/时，求轮船在静水中的速度和甲、乙两码头之间的距离。 解题思路：设轮船在静水中的速度为 x 千米/时，顺水速度为 (x + 2) 千米/时，逆水速度为 (x - 2) 千米/时，等量关系为顺水路程 = 逆水路程， 列方程 4(x + 2) = 5(x - 2)， 解得 x = 18，两地距离为 4 × (18 + 2) = 80 千米。 设计意图：掌握顺逆水问题的速度关系，理解往返路程相等的等量关系，对应模型观念、运算能力素养。 例题5（环形跑道问题） 甲、乙两人在400米的环形跑道上练习跑步，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒。 （1）若两人同时同地同向出发，多少秒后两人第一次相遇？ （2）若两人同时同地反向出发，多少秒后两人第一次相遇？ 解题思路： （1）同向追及：设 x 秒后第一次相遇，等量关系为甲跑的路程 - 乙跑的路程 = 跑道周长，列方程 6x - 4x = 400，解得 x = 200； （2）反向相遇：设 x 秒后第一次相遇，等量关系为甲跑的路程 + 乙跑的路程 = 跑道周长，列方程 6x + 4x = 400，解得 x = 40。 设计意图：区分环形跑道同向追及和反向相遇的等量关系差异，培养分类讨论和灵活建模的能力，对应推理能力、模型观念素养。 2. 核心知识总结基本关系：路程 = 速度 × 时间 相遇问题等量关系：甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程 追及问题等量关系：快者走的路程 = 慢者先走的路程 + 慢者在追及时间内走的路程（或：快者路程慢者路程 = 初始距离） 画线段图技巧： 一画（画线段表示总路程或初始距离） 二标（标出已知速度、时间和未知数） 三找（找等量关系）。 （三）巩固练习（约12分钟） 练习1（基础题）：A、B两地相距300千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲车每小时行50千米，乙车每小时行70千米，几小时后两车相距60千米？ 答案：解：设 x 小时后两车相距60千米。 根据题意得 50x + 70x = 30060， 解得 x = 2。 答：2小时后两车相距60千米。 练习2（提高题）：一队学生去校外进行军事训练，他们以5千米/时的速度行进。走了18分钟后，学校要将一个紧急通知传给队长。通讯员骑自行车以14千米/时的速度按原路追赶，通讯员用多少时间可以追上学生队伍？ 答案：解：18分钟 = 0.3小时。 设通讯员用 x 小时追上队伍。 根据题意得 14x = 5x + 5 × 0.3， 解得 x = （即10分钟）。 答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍。 练习3（综合题）：甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时后相遇。已知甲每小时比乙多骑2.5千米，求甲、乙两人的速度。 答案：解：设乙的速度为 x 千米/时，则甲的速度为 (x+2.5) 千米/时。 根据题意得 2x + 2(x+2.5) = 65， 解得 x = 15。 则甲的速度为17.5千米/时。 答：甲的速度为17.5千米/时，乙的速度为15千米/时。 （四）课堂小结（约5分钟） 教师引导学生共同回顾本节课内容： 1. 解决路程问题的核心是找准等量关系。 相遇：甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及：快者路程 慢者路程 = 追及路程 环形同向追及：快者路程 慢者路程 = 一圈周长 环形背向相遇：甲路程 + 乙路程 = 一圈周长 2. 相遇问题抓“路程和”，追及问题抓“路程差”。 3. 画线段图是化抽象为直观、寻找等量关系的最有效工具。 思维方法：画线段图→找等量关系→设未知数→列方程→注意多种情况 4. 列方程解应用题必须养成“检验”的习惯，确保答案既符合数学方程，又符合实际意义。 当堂检测： 1.甲、乙两地相距480km，一辆慢车从甲地出发，速度为60km/h；一辆快车从乙地出发，速度为90km/h。两车同时出发，相向而行，几小时后相遇？ 2.小明以80米/分钟的速度步行去学校，出发5分钟后，爸爸发现他忘带作业，立刻以180米/分钟的速度骑车追赶。问爸爸出发几分钟后追上小明？ 3.（变式）A、B两地相距450km，甲车从A地出发，速度为120km/h；乙车从B地出发，速度为80km/h，两车相向而行。经过几小时后两车相距50km？ 4.在400米的环形跑道上，甲以240米/分钟、乙以200米/分钟的速度同时从同一点出发。 （1）同向而行，几分钟后甲第一次追上乙？ （2）背向而行，几分钟后两人第一次相遇？ （五）布置作业（约3分钟） 必做题： 1.教材课后习题第1、2题（基础相遇与追及问题）。 2. 甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向行走，甲先出发2小时，速度为5km/h，乙出发后以8km/h的速度追赶，问乙出发几小时后追上甲？追上时两人各走了多远？ 选做题： 1.甲、乙两人在环形跑道上跑步，跑道一圈长400米。甲每秒跑6米，乙每秒跑4米。若两人同时同地同向出发，经过多少秒两人首次相遇？（提示：环形跑道追及问题，首次相遇时快者比慢者多跑一圈） 2.在400米环形跑道上，甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为6m/s，乙的速度为4m/s。同向而行，甲第三次追上乙时，甲跑了多少米？ 六、板书设计 左侧区域： 课题：第3课时 路程问题 1. 基本公式：路程 = 速度 × 时间 2. 等量关系： 相遇：S甲 + S乙 = S{总} 追及：S快 = S慢 + S{先} 中间区域： 例题1与例题2的完整解题过程（强调“解、设、列、解、验、答”格式规范）。 右侧区域： 线段图示范区（绘制相遇和追及的线段图，用彩色粉笔标出关键线段）。 学生易错点提示（如单位不统一、忘记检验等）。 八、教学反思 路程问题是方程应用中最重要的题型之一，其核心在于将运动过程转化为数学语言。本课通过线段图这一可视化工具，帮助学生将抽象的运动过程转化为直观的线段关系，从而找到等量关系。"相距50km"的两种情况，是培养学生分类讨论意识的好素材。环形问题是本课的难点，学生需要理解"同向追及"中"多走一圈"的含义，建议在课堂上用实物演示或动画辅助。火车过桥问题将路程问题与物体的长度联系起来，拓展了学生的思维空间。 关于数形结合的落实：本节课线段图的引入是否有效帮助了学困生理解题意？在后续教学中，应要求学生必须在草稿纸上独立画图，而不是仅看黑板上的图，以真正内化这一解题策略。 关于代数思维的过渡：部分学生在列方程时仍习惯用算术思维凑答案，需在巡视指导时重点纠正，强调“设未知数、找等量关系”的代数建模过程。 关于课堂节奏的把控：例题2的时间差问题部分学生可能反应较慢，若出现大面积卡顿，应增加一个“两人同地同向同时出发”的过渡性简单追及问题作为铺垫，遵循由浅入深的认知规律。 关于分层教学的体现：在练习环节，应关注不同层次学生的完成情况，对学有余力的学生及时抛出环形跑道等变式问题，对基础薄弱的学生加强一对一的等量关系寻找指导。 课后限时练习题： A层（基础感知）： 1. A、B两地相距360km，甲车从A地以60km/h出发，乙车从B地以40km/h出发，相向而行，几小时后相遇？ 2. 小红以5km/h的速度步行，出发18分钟后，老师骑自行车以14km/h的速度追赶，问老师几分钟后追上小红？ B层（探究体验）： 3. 甲、乙两城相距450km，快车从甲城出发，速度为90km/h；慢车从乙城出发，速度为60km/h。两车同时出发，相向而行，经过几小时两车相距50km？（分两种情况） 4. 在300米的环形跑道上，甲、乙两人同时从同一点出发，甲的速度为6m/s，乙的速度为4m/s。同向而行，几秒后甲第一次追上乙？背向而行，几秒后两人第一次相遇？ C层（拓展延伸）： 5. 一列火车通过一座长300米的桥，从车头上桥到车尾离桥用了20秒，以同样的速度通过一座长500米的桥用了30秒。求火车的长度和速度。 （提示：设火车长x米，速度为v。通过桥的路程 = 桥长 + 车长，即 300+x = 20v，500+x = 30v，解得v=20m/s，x=100m） 学科网（北京）股份有限公司 $