5.3 一元一次方程的应用（第三课时）教学设计 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元一次方程应用中的追及问题，通过生活追赶情境导入，衔接行程公式与方程解题流程，构建从静态建模到动态行程分析的学习支架，梳理同地不同时、同时不同地两类追及模型的等量关系。 该资料以数形结合为核心，通过动态情境演示、线段图固化运动过程、两类追及模型对比等策略，培养学生几何直观与模型意识。分层训练适配不同学情，典型错题案例助力教师精准突破难点，有效提升学生动态逻辑推理能力与规范解题习惯。

5.3一元一次方程的应用（第三课时） 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课选自北师大版《数学》七年级上册第5章《一元一次方程》第3节一元一次方程的应用第三课时。 （二）教学内容解析 行程问题是初中方程应用的核心重难点题型，而追及问题是行程问题的基础模型，是后续相遇问题、环形跑道问题、变速行程问题的铺垫。本节课打破前序静态不变量建模模式，首次引入动态运动变化建模，是学生数形结合思想、动态逻辑思维的重要提升课。 教材编排逻辑：生活行走情境导入→梳理行程公式→分析两人运动过程→画线段图梳理路程关系→提炼追及等量关系→列方程求解→归纳追及模型→变式巩固。教材以学生熟悉的亲子追赶情境切入，降低动态问题陌生感，引导学生学会用静态线段图刻画动态运动过程，掌握数形结合分析应用题的通用方法。 本节课重点渗透数学建模、数形结合、动态转化、等量对应的数学思想，着力培养学生读图绘图、动态分析、逻辑推理、代数转化的核心数学素养，完善一元一次方程应用题建模体系。 教学重点：掌握追及问题两类题型特征，借助线段图找准路程等量关系，建立一元一次方程求解。 教学难点：分析动态运动过程，区分同地不同时、同时不同地的等量差异，精准对应时间、速度、路程三者数量关系。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1.熟记行程问题基本公式，理解同向追及问题的运动特征；掌握同地不同时、同时不同地两类追及问题的等量关系；能通过绘制线段示意图分析动态行程过程，规范建立一元一次方程模型，准确求解追及时间、追及路程，检验结果的实际合理性，熟练掌握追及问题通用解题模板。 2. 经历“情境感知—动态分析—绘图梳理—提炼等量—建模求解—变式归纳”的完整探究过程，掌握数形结合分析动态应用题的方法，突破静态思维局限，提升图文转化、动态逻辑分析、信息提取、代数建模与实际问题解决能力。 3. 感受数学与生活的紧密联系，体会数形结合、方程建模化繁为简的优势；养成画图分析、有序思考、严谨推理、检验反思的良好解题习惯；增强动态问题探究兴趣，提升数学应用意识与归纳总结的学习品质。 （二）教学目标解析 基础目标：学生能熟记行程基本公式，识别追及问题基本特征，会绘制简单线段图梳理路程关系，能解决基础同地不同时追及题型。 中层目标：学生能独立分析两类追及模型的运动差异，精准提炼对应等量关系，规范设元、列方程、求解检验，完整完成追及问题解题流程，规避数量对应错误。 高层目标：学生能熟练归纳追及问题建模模板，灵活迁移数形结合方法解决动态行程变式问题，形成稳定的动态建模能力，为复杂行程问题学习奠定思维基础。 三、学生学情分析 （一）已有知识基础 知识层面：学生小学阶段掌握路程、速度、时间基本公式，具备基础行程计算能力；本章前序熟练掌握一元一次方程解法、方程应用题七步解题流程，经历了几何、分配类建模学习，具备完整的方程建模基础。思维层面：学生已经掌握静态不变量建模、图文结合分析问题的方法，具备一定的审题、等量提炼、代数转化能力。 （二）学生认知特点 七年级学生擅长静态问题分析，但动态运动逻辑思维薄弱，难以直观理解两人同时运动、先后运动的路程差异；不会主动用线段图辅助分析，依赖文字想象，容易混淆谁快谁慢、谁先出发、路程长短关系；对两类追及模型的等量区别辨析不清，时间、路程对应错位；同时存在应用题审题粗糙、设元不规范、漏检验、步骤残缺的习惯性问题。 （三）学习难点预判 1. 动态误区：无法理解先后出发、同时运动的过程，路程、时间对应关系混乱； 2. 模型误区：混淆同地不同时、同时不同地两类追及的等量关系，建模出错； 3. 方法误区：不会画图辅助分析，仅凭主观判断数量关系，极易出错； 4. 规范误区：未知数含义模糊、无单位、不检验、步骤跳步，解题不完整。 四、教学策略分析 （一）整体教学理念 以数形结合为核心方法，以动态情境为载体，以“读懂运动—画图建模—辨析模型—变式巩固”为主线，突破动态思维难点，规范行程应用题解题流程，落实数学建模与数形结合核心素养。 （二）具体教学策略 1. 情境演示策略：通过生活化追赶情境、简单模拟演示，直观还原动态运动过程，降低理解难度； 2. 线段图解策略：强制规范线段图画法，用静态图形固化动态过程，清晰呈现路程关系； 3. 模型对比策略：并列对比两类追及题型的运动特征与等量关系，明确模型差异； 4. 分步拆解策略：将动态问题拆解为时间、速度、路程三个维度分步分析，降低思维难度； 5. 分层训练策略：基础模型、变式提升、综合拓展分层练习，适配全体学生学情。 （三）教学辅助 多媒体课件、动态追及演示动画、线段图模板、两类追及模型对比表、分层随堂练习题、典型错题案例。 五、教学过程分析 （一）情境导入，激趣引学 1.旧知回顾：提问行程问题核心公式 $$\text{路程}=\text{速度}\times\text{时间}$$，回顾方程应用题七步解题流程； 2. 情境设问：生活中常见追赶场景，小明先走一段时间，爸爸随后骑车追赶，最终追上小明。思考：两人运动中什么量相同？什么量不同？如何计算追赶时间？ 3. 导入课题：本节课学习一元一次方程应用——追赶小明（追及问题），学会用画图建模、方程求解解决动态行程追及问题。 设计意图：依托生活真实情境，直观感知追及运动过程，衔接旧知、引出新知，激发探究兴趣，降低动态建模入门难度。 （二）探究新知，构建体系 问题： 小明每天早上要到距家 1000 m 的学校上学。一天，小明以 80 m/min 的速度出发，出发后 5 min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以 180 m/min 的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ （1）问题中有哪些已知量和未知量？ 已知量：小明家与学校的距离、小明的速度、爸爸的速度、小明先出发的时间； 未知量：爸爸追小明所用的时间、爸爸追小明期间小明所走的路程、爸爸追小明的路程. （2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？ （3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。 解：设爸爸追上小明用了 x min， 根据题意，得 180x＝80x＋80×5. 解，得 x＝4. 1000－180×4＝280（m） 因此，爸爸追上小明用了4 min，此时距离学校还有280m. (4)爸爸追上小明时，距离学校还有多远？ 解：180×4=720(m) 1 000－720=280(m) 所以，爸爸追上小明时，距离学校还有280 m. 对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系 (1)对于同向同地不同时的问题 （出发地、追及地相同，出发时间不同） S甲＝S乙先＋S乙后． (2)对于同向同时不同地的问题 （两者出发地不同，但同时出发）， S甲－S乙＝两出发地的距离. 例1 小明和小华两人在 400 m 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑 260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。 （1）如果小明起跑后 1 min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后 1 min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？ 解：（1）设小华用 x min 追上小明，根据等量关系，可列出方程 260 + 260x = 300x。 解这个方程，得 x = 6.5。 因此，小华用 6.5 min 追上小明。 （2）设小华起跑后 x min 两人首次相遇， 根据等量关系，可列出方程 260x + 300x = 400 - 260。 解这个方程，得 x = 0.25。 因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇。 环形问题中的相等关系： 两个人同地背向而行：相遇问题(首次相遇) 甲的行程 ＋ 乙的行程＝ 一圈周长。 两个人同地同向而行：追及问题(首次追上)， 甲的行程 － 乙的行程 ＝ 一圈周长。 思考∙交流 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么?与同伴进行交流。 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示: （三）巩固提升 1．《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（　　） A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 【解答】解：依题意，得：240x＝150（x+12）． 故选：A． 2．《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　） A． B． C．7x+9x＝1 D．9x﹣7x＝1 【解答】解：根据题意得：xx＝1． 故选：A． 3．小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了，两家的苹果和橘子，这两家的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子多12元，买2千克苹果与买5千克橘子的费用相等．设橘子的单价为元． (1)根据题意列出方程． (2)在，，中，哪一个是（1）中所列方程的解． (3)经洽谈，家优惠方案是每购买10千克苹果，送1千克橘子；家优惠方案是若购买苹果超过5千克，则购买橘子打八折，假设小张购买30千克苹果和千克橘子．请用含的式子分别表示出小张在，两家购买苹果和橘子所花的费用． 【详解】（1）解：设橘子的单价为元，苹果单价为元， 根据题意得，． （2）解：把，，分别代入， 当时，左边，右边， 等号的左右两边不相等，所以不是方程的解； 当时，左边，右边． 等号的左右两边不相等，所以不是方程的解； 当时，左边，右边， 等号的左右两边相等，所以是方程的解． （3）解：由（2）知，橘子每千克8元，苹果每千克20元， 在家购买苹果和橘子所花的费用为元， 在家购买苹果和橘子所花的费用为元． （四）课堂小结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对知识的理解。 （五）布置作业、巩固提高 1.基础题：习题5.3第5，6题。 2.拓展题：整理两类追及问题建模模板，标注运动特征、等量关系与易错点，自主改编一道追及应用题并求解。 （6） 板书设计 5.3 一元一次方程的应用（第三课时）追赶小明·追及问题 一、核心公式：路程 = 速度 × 时间 二、两类追及模型 1. 同地不同时：追上时两人路程相等 2. 同时不同地：快者路程 = 慢者路程 + 初始间距 三、核心方法：线段图分析法（化动为静） 四、解题七步法：审→析→找→设→列→解→验→答 五、易错提醒 时间对应准确、路程等量不混淆、必画图、必验实际意义 （七）教学反思 本节课以生活追赶情境切入，贴合学生认知，承接前序方程建模思想，顺利完成静态建模到动态行程建模的过渡。课堂采用情境感知、动态演示、画图建模、模型对比、分层训练的教学模式，层层突破动态思维难点，逻辑清晰、重难点突出。大部分学生能够理解同向追及问题的运动特征，掌握线段图辅助分析的方法，能准确区分两类追及模型，找准等量关系，规范完成基础题型的建模、求解与检验，顺利达成预设教学目标，有效提升了动态问题分析与数形结合建模能力。 本节课存在的不足：部分学生动态逻辑思维薄弱，无法精准区分先后运动的时间关系，容易漏算提前出发时间；不习惯主动绘制线段图辅助解题，依然依赖主观想象，等量关系出错率较高；两类追及模型的等量辨析不清晰，容易混用公式；少数学生解题规范性不足，存在无图、无单位、漏检验、步骤残缺等问题，变式题型的灵活运用能力有待提升。 后续改进措施：强化“画图解题”专项训练，让学生养成无图不解题的习惯，固化化动为静的解题思维；针对两类追及模型开展对比专项练习，让学生精准辨析模型差异、熟练对应等量关系；加强时间、路程数量对应训练，杜绝逻辑错位问题；持续狠抓应用题解题规范，培养细致审题、数形结合、严谨建模、自查纠错的良好习惯，为后续相遇问题、环形跑道等复杂行程问题的学习筑牢坚实的方法与思维基础。 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $