5.3 一元一次方程的应用（第二课时）教学设计 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元一次方程应用中的盈不足问题，通过生活分物情境导入，回顾方程七步法及几何不变量建模旧知，衔接生活分配领域，搭建从几何建模到生活实际建模的学习支架。 融入《九章算术》传统数学文化，培养数学眼光，采用列表对比两次分配方案锁定不变量，发展推理意识与模型意识，设计分层纠错与模板建模提升运算能力和应用意识，帮助学生突破算术思维，教师易操作，提升教学效率。

5.3一元一次方程的应用（第二课时） 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课选自北师大版《数学》七年级上册第5章《一元一次方程》第3节一元一次方程的应用第二课时。 （二）教学内容解析 盈不足问题源自《九章算术》，是我国传统经典数学问题，也是北师大版七年级方程应用板块的核心题型。在上一课时几何不变量建模的基础上，本节课将不变量思想从几何领域迁移到生活分配领域，是学生从“几何建模”走向“生活实际建模”的重要过渡。 教材编排逻辑：生活分配情境导入→对比两种分配方案→分析数量盈余与不足→锁定不变量→提炼等量关系→列方程求解→归纳题型模型→变式巩固。教材通过具体分配情境，引导学生体会算术解法的局限和方程建模的优势，进一步巩固“审、找、设、列、解、验、答”的应用题解题流程。 本节课是后续复杂分配问题、方案选择问题、分段问题的基础，重点渗透模型思想、不变量思想、对比思想、数形结合思想，有效培养学生文字解读、逻辑推理、等量提炼、代数建模的核心素养。 教学重点：找准盈不足问题中的不变量，对比两次分配方案提炼等量关系，建立一元一次方程求解。 教学难点：理解“盈余、不足”的数量含义，准确转化文字差异为代数等量关系，规避分配数量对应错误。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1.理解盈不足问题的题型结构与基本特征，区分一盈一亏、双盈、双亏三类题型；准确把握分配问题中物品总量、分配人数（对象）两个不变量；熟练通过两次分配的数量差异建立等量关系，规范列一元一次方程求解，能检验结果的实际合理性，掌握盈不足问题的通用解题模型。 2. 经历“情境感知—方案对比—差异分析—锁定不变量—建立方程—求解检验—归纳模型”的完整探究过程，掌握利用不变量建模的通用策略，突破小学算术固化思维，提升文字审题、信息提取、逻辑分析、代数转化与实际问题解决能力。 3. 感受传统数学文化的魅力，体会方程建模化繁为简、通用普适的优势；养成细致审题、对比分析、有据可依、检验反思的良好解题习惯；增强数学应用意识，提升主动探究、归纳总结的数学学习品质。 （二）教学目标解析 基础目标：学生能识别盈不足问题题型，读懂盈余、不足的数量含义，找到题目中的不变量，能完成基础一盈一亏题型的方程建模与求解。 中层目标：学生能独立对比两次分配方案，精准提炼等量关系，规范设元、列方程、求解并检验，能解决双盈、双亏变式题型，规避常见建模错误。 高层目标：学生能熟练归纳盈不足问题建模模板，深刻理解“总量不变”的核心建模思想，能灵活迁移模型解决生活同类分配变式问题，形成稳定的数学建模能力。 三、学生学情分析 （一）已有知识基础 知识层面：学生已经熟练掌握一元一次方程的完整解法，掌握方程应用题的七步解题流程；小学阶段已经接触过盈亏算术解法，对“分东西多出来、少不够”的分配情境不陌生；上一课时几何不变量建模的学习，让学生初步具备“抓不变量解题”的思维基础。 思维层面：学生已经初步摆脱单纯计算思维，具备一定的正向设元、等量建模能力，能够完成简单实际问题的方程构建，为本节课盈不足建模学习奠定扎实基础。 （二）学生认知特点 七年级学生文字阅读能力偏弱，对长文本应用题信息提取较慢；学生小学阶段习惯套用盈亏算术公式，思维固化，难以理解方程建模的本质；容易混淆“分配人数”和“物品总数”两个未知量，对盈余、不足的数量转化容易出错；审题粗心，无法精准对比两次分配的数量差异，建模时等量关系构建错误率高。同时存在应用题步骤不规范、漏检验、漏写答句的习惯性问题。 （三）学习难点预判 1. 思维误区：依赖小学算术公式，排斥方程建模，不理解建模原理； 2. 建模误区：分不清谁是不变量，无法将“多、少”的文字描述转化为代数式； 3. 对应误区：两次分配的数量关系对应混乱，代数式列写错误； 4. 规范误区：设元不清晰、无单位、不检验、步骤残缺，解题不完整。 四、教学策略分析 （一）整体教学理念 以不变量建模思想为核心，以情境驱动、对比探究为抓手，以“读懂情境—对比方案—锁定不变—转化代数—建模求解—变式巩固”为主线，突破算术思维桎梏，规范应用题解题流程，落实数学建模核心素养。 （二）具体教学策略 1. 情境生活化策略：采用分书本、分物品、分组活动等学生熟悉的生活情境，降低题型陌生度； 2. 方案对比策略：列表呈现两次分配方案，直观对比数量差异，快速锁定不变量与变量； 3. 新旧对比策略：对比小学算术解法与初中方程解法，凸显建模通用性，转变学生思维； 4. 模板建模策略：归纳盈不足通用建模模板，统一解题思路与书写规范； 5. 分层纠错策略：基础题型保底、变式题型提升、易错题型专项辨析，分层突破重难点。 （三）教学辅助 多媒体课件、分配方案对比表格、盈不足题型思维导图、典型错题案例、分层随堂练习题。 五、教学过程分析 （一）情境导入，激趣引学 1.旧知回顾：回顾方程应用题七步解题法，回顾上节课“抓不变量建模”的核心思想； 2. 情境设问：班级分发练习本，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本。班级人数和练习本总数是否变化？如何求班级人数和练习本总数？ 3. 导入课题：生活中这类“分配有余、分配不足”的问题就是经典的盈不足问题，今天学习《一元一次方程的应用——盈不足问题》，用方程模型统一解决各类分配盈亏问题。 设计意图：依托学生熟悉的分物情境导入，直观感知盈亏含义，衔接不变量建模旧知，自然引出新知，降低建模难度。 （二）探究新知，构建体系 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部。 《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？” 你知道我国古人是如何解决这个问题的吗？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出 8 钱，则会多出 3 钱，若每人出 7 钱，则还少 4 钱。问合伙的人数和物品的价格分别是多少？ （1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？ 已知量:每人出8钱,多3钱;每人出7钱,少4钱。 未知量:人数、物价。 等量关系:每人出8钱 x人数一多出的3钱=每人出7钱x人数+还少的4钱。 （2）设人数为 x，其他未知量能用含 x 的代数式表示吗？请完成下表。 有关量 每人出8钱 每人出7钱 人数 x x 出钱总数 8x 7x 物价 8x-3 7x+4 （3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 设人数为 x。 根据等量关系，列出方程： 8x-3=7x+4 。 解这个方程，得 x = 7 。 因此，人数为7 ，物价为 53。 方法总结：利用表格分析数量关系是一种有效方法。 如果设物价为 y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。 例1 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？ 题目大意：几个人合伙买金，每人出 400 钱，会多出 3400 钱；每人出 300 钱，会多出 100 钱。合伙人数、金价各是多少？ 分析：设人数为 x，你能把下表补充完整吗？ 解：设合伙人数为 x，则金价可表示为 （400x - 3400）钱，还可表示为 （300x - 100）钱，根据等量关系，列出方程： 400x - 3400 = 300x - 100。 解这个方程，得 x = 33。 300×33 - 100 = 9800。 因此，人数为 33，金价为 9800 钱。 注意：方程的两边就是金价的两种不同的表达式。 《九章算术》给出了一种算法： 人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价＝每人出的钱数×人数－剩余钱数. 此种求法与方程的求解过程相比有什么不同？ （三）巩固提升 1.《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少元？ 解：设学生有 x人． 根据题意，得 8x－3＝7x＋4. 解得 x＝7. 7×8－3＝53(元)． 答：学生有 7 人，该书单价是 53 元． 2．小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了，两家的苹果和橘子，这两家的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子多12元，买2千克苹果与买5千克橘子的费用相等．设橘子的单价为元． (1)根据题意列出方程． (2)在，，中，哪一个是（1）中所列方程的解． (3)经洽谈，家优惠方案是每购买10千克苹果，送1千克橘子；家优惠方案是若购买苹果超过5千克，则购买橘子打八折，假设小张购买30千克苹果和千克橘子．请用含的式子分别表示出小张在，两家购买苹果和橘子所花的费用． 【详解】（1）解：设橘子的单价为元，苹果单价为元， 根据题意得，． （2）解：把，，分别代入， 当时，左边，右边， 等号的左右两边不相等，所以不是方程的解； 当时，左边，右边． 等号的左右两边不相等，所以不是方程的解； 当时，左边，右边， 等号的左右两边相等，所以是方程的解． （3）解：由（2）知，橘子每千克8元，苹果每千克20元， 在家购买苹果和橘子所花的费用为元， 在家购买苹果和橘子所花的费用为元． （四）课堂小结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对知识的理解。 （五）布置作业、巩固提高 1.基础题：习题5.3第3，4题。 2.拓展题：整理一盈一亏、双盈、双亏三类题型建模模板，标注易错点，自主编写一道盈亏应用题并求解。 （6） 板书设计 5.3 一元一次方程的应用（第二课时）盈不足问题 一、核心特征：两种分配方案，产生盈亏差异 二、不变量：分配人数不变、物品总量不变 三、建模核心：两种方案表示同一总量，总量=总量 四、符号规则 盈余：总量=每份数量×份数+余数 不足：总量=每份数量×份数−缺数 五、解题七步法：审→找→设→列→解→验→答 六、易错提醒 盈亏符号不混淆、找准不变量、必验实际意义、步骤完整 （七）教学反思 本节课以生活分配情境切入，贴合学生认知，衔接前序不变量建模思想，知识过渡自然、逻辑清晰。课堂采用情境感知、对比探究、模板建模、分层训练的教学模式，层层突破重难点，有效帮助学生摆脱小学算术公式记忆的局限，建立初中方程建模思维。大部分学生能够准确识别盈不足题型特征，找准题目不变量，掌握盈亏问题的代数式转化方法，能按照标准流程完成基础题型建模、求解与检验，顺利达成预设教学目标，进一步巩固了一元一次方程应用题的解题体系。 本节课存在的不足：部分学生算术思维根深蒂固，依然依赖旧公式，对建模原理理解不透彻；盈亏对应的加减符号容易混淆，代数式列写错误频发；长文本审题能力薄弱，无法快速提取有效信息、对比两次分配差异；少数学生解题规范性不足，存在漏单位、漏检验、步骤残缺等问题，双盈、双亏变式题型的灵活运用能力有待提升。 后续改进措施：强化“一个总量两种表达”的建模专项训练，让学生彻底理解方程本质，脱离机械公式记忆；增设盈亏符号辨析专项练习，固化“盈加、亏减”的思维条件反射；加强长文本审题指导，教会学生列表梳理两次分配条件，提升信息提取能力；持续狠抓应用题解题规范，培养细致审题、严谨建模、自查纠错的良好习惯，为后续复杂生活应用题、方案决策问题的学习筑牢坚实基础。 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $