专题26.2 二次函数的图像和性质 培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的图像和性质核心知识点，系统梳理基本形式（如y=ax²、y=a(x-h)²+k等）的图像特征（开口方向、对称轴、顶点坐标）、性质（增减性、最值）及图象变换（平移、对称），通过17类题型构建从知识点到应用的学习支架。 资料以题型分类（含例题与变式）为特色，结合探究式学习（如最短路径问题）培养几何直观与创新意识，课后检测与复盘笔记助力查漏补缺，通过图像分析与实际应用提升推理能力和模型意识，有效支撑课堂教学与自主学习。

简一数理 初中专题讲义 专题26.2 二次函数的图像和性质 （新教材人教版） 知识点一、二次函数的图像与性质 2 知识点二、二次函数的图象变换 4 知识点三、二次函数与各项系数之间的关系 5 【题型1 的图像和性质】 6 【题型2 的图像和性质】 9 【题型3 的图像和性质】 11 【题型4 的图像和性质】 14 【题型5 二次函数图像的平移】 15 【题型6 把化为顶点式】 18 【题型7 的图像与性质】 21 【题型8 画的图像】 23 【题型9 二次函数图像与各系数的关系】 26 【题型10 一次函数、二次函数图像的综合判断】 31 【题型11 二次函数的最值问题】 34 【题型12 根据二次函数图像判断式子符号】 38 【题型13 已知二次函数对称的两点求对称轴】 42 【题型14 根据二次函数的对称性求函数值】 45 【题型15 的最值】 49 【题型16 利用二次函数的对称性求最短路径】 52 【题型17 待定系数法求二次函数解析式】 60 【探究式学习】 65 【课后检测】 75 【复盘笔记】 88 知识点一、二次函数的图像与性质 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 知识点二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. 2）二次函数图象的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 知识点三、二次函数与各项系数之间的关系 ① 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 【补充】 1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同； 2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号； 【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负. 【题型1 的图像和性质】 【例1】如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 【变式1-1】如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 【变式1-2】抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 【变式1-3】在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 【题型2 的图像和性质】 【例2】抛物线与x轴交于B，C两点，顶点为A，则的周长为（     ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】先求出，，，再求出，，即可得出答案． 【详解】解：令， 解得：， ∵抛物线与轴交于两点，顶点为， ，，， ，， 周长． 【变式2-1】函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 【变式2-2】如图是用软件画出的函数的图象（，是常数），则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，由图象可知点在轴正半轴上，则，由图象可知点在轴负半轴上，则有，从而可得，从函数图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：如图， 当时，由图象可知点在轴正半轴上， ∴， 当时，， ∴， 由图象可知点在轴负半轴上， ∴， ∴， ∴， 综上可得：，， 故选：． 【变式2-3】嘉嘉绘制抛物线时，将“”看成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．对称轴 C．开口大小 D．与轴的交点 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 通过比较原函数和错误函数的二次项系数、对称轴、开口大小及与轴交点，判断发生改变的性质． 【详解】解：依题意得：原函数为，错误函数为 A、原函数的开口向下，错误函数为开口向上，开口方向发生改变，故此选项符合题意； B、原函数与错误函数的对称轴均为轴，对称轴不变，故此选项不符合题意； C、原函数与错误函数的对称轴均由决定，开口大小不变，故此选项不符合题意； D、原函数与错误函数与轴的交点均为，与轴的交点不变，故此选项不符合题意． 故选 ：A． 【题型3 的图像和性质】 【例3】已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 即． 故选：C． 【变式3-1】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性逐一排除即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 、开口向下，原选项错误，不符合题意； 、由于，则当时，的值随值的增大而减小，原选项正确，符合题意； 、对称轴为，原选项错误，不符合题意； 、顶点坐标为，原选项错误，不符合题意； 故选 ：． 【变式3-2】二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象法是解题关键．先求出二次函数的对称轴为直线，两个函数的交点坐标，再画出两个函数的大致图象，然后结合函数图象逐个分析即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 联立，解得或， 即二次函数与一次函数的两个交点坐标为和， 当时，画出两个函数的大致图象如下： 则由函数图象可知，当时，，命题①正确； 当时，，命题②正确； 当时，，命题③正确； 当时，若，则；若，则；若，则；命题④错误； 综上，正确的命题个数为3个， 故选：C． 【变式3-3】对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．函数有最小值0 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，根据抛物线的性质由得到图像开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线． 【详解】解：二次函数中的，则其图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，二次函数的最大值为0， 故选项A、B、D说法不正确，选项C说法正确． 故选：C． 【题型4 的图像和性质】 【例4】抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 【变式4-1】已知k为任意实数，则抛物线的顶点在（     ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线上 D．直线上 【答案】C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴该点在直线上． 【变式4-2】已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式确定开口方向和对称轴，然后根据离抛物线的对称轴的距离判断函数值大小即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵，，， 又，抛物线开口方向向上，离抛物线的对称轴越远的点，对应的函数值越大， ∴． 【变式4-3】已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 【题型5 二次函数图像的平移】 【例5】将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项． 【详解】解：原函数为，设向右平移个单位，再向下平移个单位， 平移规则为右减自变量，下减常数项， 平移后解析式为，满足，． 选项A：，得，，符合向右平移再向下平移的要求，正确； 选项B：常数项为，不符合要求，错误； 选项C：平方项底数为，，属于向左平移，不符合要求，错误； 选项D：平方项底数为，，未进行向右平移，不符合要求，错误． 【变式5-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 【变式5-2】如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接,,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积，由题意易得点、的水平距离即为该平行四边形的高，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接,, ∴阴影部分的面积为平行四边形， ∵，， ∴点的水平距离为， ∴, ∴， ∴抛物线向上平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为． 【变式5-3】抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移性质，二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， ∴平移后的函数解析式为， 故选：B． 【题型6 把化为顶点式】 【例6】若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 【变式6-1】一次函数的图像经过点，则的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质． 将点坐标代入函数得到c关于a的表达式，然后表示为a的二次函数，化为顶点式作答即可． 【详解】∵函数图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴有最大值，为． 故选：A． 【变式6-2】点和点在抛物线上，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的函数值大小比较，解题思路是先分别求出和的表达式，再作差分析差值的符号来判断与的大小关系．解题关键是通过代数运算将转化为关于的表达式，再根据表达式的符号性质分析区间内的大小关系．易错点是在分析的符号时，对区间内和的正负判断不准确，导致对和的大小关系判断错误． 【详解】∵抛物线解析式为， ∴点的纵坐标． 点的纵坐标． ∴． 选项A：当时，，∴，但选项说，故A错误． 选项B：当时，且，∴，∴，但选项说，故B错误． 选项C：当时，且，∴，∴，但选项说，故C错误． 选项D：当时，，∴，故D正确． 故选D． 【变式6-3】关于的二次函数图象经过，对称轴在轴的右侧．则二次函数有（　　） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得到且，进而求得值和函数关系式，再求得最小值即可． 【详解】解：由题意，二次函数的图象开口向上，有最小值， ∵图象经过点，其对称轴在轴右侧， ∴， ∴且， ∴或（舍去）， ∴， ∴该二次函数有最小值， 故选：B． 【题型7 的图像与性质】 【例7】已知函数的图象与二次函数的图象交于点，，．若点在轴下方且时，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是数形结合． 先画出函数图象，根据函数的图象即可得． 【详解】解：如图所示， 根据函数图象得，； 故选：A． 【变式7-1】已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（    ） A．1 B． C．﹣ D．﹣ 【答案】D 【分析】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x＝2， 又∵当x≤1时，y随x的增大而增大， ∴a＜0， ∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4， ∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4， 解得a＝﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键． 【变式7-2】已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据B，C是对称点，可确定抛物线的对称轴，根据抛物线与x轴无交点，与y轴交于点（0,1）可画出抛物线的草图，根据草图计算判断即可. 【详解】∵，， ∴抛物线的对称轴为直线x==-1， ∵二次函数的图象与x轴没有交点， ∴抛物线的开口一定向上， 由此可画出抛物线的草图如下： ∴， 故选B. 【点睛】本题考查了抛物线的性质，对称轴，与x轴的交点，抛物线的草图的画法，纵坐标的大小比较，根据题意，判断对称轴，画出符合题意的草图是解题的关键. 【变式7-3】当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入式子中相应的位置即可求出函数值． 【详解】将代入得 ． 【题型8 画的图像】 【例8】已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 【变式8-1】已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 【变式8-2】已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 【变式8-3】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线， ， ． ∵抛物线经过点， ， ，即，结论②正确； ③∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，结论③错误． 综上，正确的有①②，共2个， 故选C． 【题型9 二次函数图像与各系数的关系】 【例9】已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交轴于负半轴分别得出a，b，c的大小，进而解答①；再根据①可将抛物线的解析式化为，然后根据时，解答②；接下来根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，再结合当时，，所以当时，也有，即可解答③． 【详解】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 【变式9-1】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，，以及与之间的关系：，即可判断①；根据二次函数图象经过点，及对称轴为，可得出抛物线经过，再把点代入解析式，结合即可判断②⑤；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小，即可判断③；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 【变式9-2】已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 【变式9-3】二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系；利用时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 【题型10 一次函数、二次函数图像的综合判断】 【例10】抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 【变式10-1】在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 【变式10-2】若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，抛物线与轴的交点问题等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定的符号进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，故， 由一次函数图像可知，，， ， ；故A错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看，，即；故B错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看， 故， ， 的值不能确定正负，故C错误； 当时，由函数图象可知， ， ， 即，解得， ，， ，即， ，故D正确． 【变式10-3】如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴， ∴ 则一次函数图像经过第一、二、三象限 故选：A． 【题型11 二次函数的最值问题】 【例11】二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【答案】B 【分析】将表格中二次函数x，y的对应值代入函数解析式，求出a，b，c的值，解出二次函数解析式，再将其改写为顶点式，求出该二次函数的开口方向，对称轴，最值，以及函数的增减性 ． 【详解】∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大． 【变式11-1】已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 【变式11-2】当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 【变式11-3】已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，， 即，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 【题型12 根据二次函数图像判断式子符号】 【例12】已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干分析出、、的符号，再判断各选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴，故A错误； 对于B与D，由已知条件无法判断代数式的符号； ∵，， ∴，故C正确． 【变式12-1】．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 【变式12-2】二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时与其对应的函数值，则下列各选项中不正确的是（     ） A． B． C． D．图象的顶点在第四象限 【答案】C 【分析】首先求出，然后得到对称轴为直线，得到，求出a，b异号，即可判断A；由对称性得到，即可判断B；然后根据时，，得到，代入求出，即可判断C；得到抛物线开口向上，然后结合抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，，即可判断D． 【详解】解：由表格得，二次函数经过点， ∴代入得，， 又∵二次函数经过点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴a，b异号， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴点和点关于对称轴对称 ∴，故B正确，不符合题意； ∵当时与其对应的函数值， ∴ ∴代入，得， ∴，故C不正确，符合题意； ∴抛物线开口向上， ∴顶点为最低点， ∵抛物线的顶点的横坐标为，且经过点，， ∴函数图象的顶点在第四象限，故D正确，不符合题意． 【变式12-3】已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点代入二次函数解析式，得到与的关系，再结合二次函数的开口方向和对称性，逐一判断选项即可． 【详解】点在二次函数上 ， 将代入解析式得： ， 化简得， 即， 对选项A： 将代入解析式得， 把代入得： ， 移项得，故A错误； 对选项B： ， ， ，即，故B错误； 对选项C： 二次函数对称轴为， ，开口向上， 时取最小值，即是函数最小值， ，即，故C错误； 对选项D： ， ，二次函数在时，随增大而减小， ，当时，， 时的大于时的， 即， 得，故D正确． 【题型13 已知二次函数对称的两点求对称轴】 【例13】已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，比较二次函数的函数值，通过表格确定函数的对称轴和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为直线， ∴由表格可知，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵，，，， ∴ 故选：C． 【变式13-1】若一个二次函数的图象经过五个点、、、和，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的增减性． 先根据图象经过、求出对称轴，再根据二次函数的性质作答即可． 【详解】∵图象经过、， ∴二次函数的对称轴为直线． ∴对应的对称点为． ∵， ∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故选：A． 【变式13-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为．若，的面积为，过A、B、O三点的抛物线上有异于A、B、O的一点M，点M的坐标为，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握三角形面积公式，二次函数的对称性是解题的关键 根据的面积为求得，根据抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴OA＝5， ∵点B的坐标为，且，的面积为， ∴． ∴， ∴， ∵抛物线经过原点和点， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线上有异于A、B、O的一点， ∴， ∴， 故选：A． 【变式13-3】已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：以下结论正确的是（    ） … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … A．当时，随增大而增大 B．抛物线的开口向下 C． D．当时，的取值范围是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据和对应的函数值相等，可得对称轴对直线；根据对称轴两侧数据的变化，可得抛物线的开口方向；根据对称性可得和对应的函数值相等，进而可得m的值；根据抛物线与x轴的交点情况及开口方向，可得时，的取值范围． 【详解】解：由表格可得，该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∴，故选项C错误，不符合题意； 时，y随x的增大而减小， ∴抛物线的开口向上，故选项B错误，不符合题意； 对称轴为直线，开口向上， ∴时，y随x的增大而增大，故选项A错误，不符合题意； 当时，的取值范围是，故选项D正确，符合题意； 故选D． 【题型14 根据二次函数的对称性求函数值】 【例14】二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， 纵坐标相等的两个点在二次函数上关于对称轴对称， 二次函数的对称轴为直线， 关于直线的对称点为， 由表格得时，， 当时，． 【变式14-1】如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 【变式14-2】已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表所示： … 2 … … … （注：表中自变量的值从左往右逐渐增大） 对于下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则，；④若，则，．其中正确的命题有（   ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．由二次函数部分对应值表可知，和时，得到二次函数对称轴为，利用二次函数的对称性和增减性，结合条件判断各命题即可． 【详解】解：∵和时， ∴二次函数对称轴为， ①当时，二次函数对称轴为， ∵， ∴，故①正确； ②当时，二次函数对称轴为， 当时，则距离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， 当时，则距离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴，故②错误； ③当时， ∴二次函数图象开口向上，， ∴，， ∴， 由题意得， ∴，故③正确； ④当时， ∴二次函数图象开口向下，， ∴，， ∴， 由题意得， ∴，故④正确； 综上，正确命题为①③④． 故选：D． 【变式14-3】已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数图象的性质即可求解；直接计算各点纵坐标值并比较大小即可． 【详解】解：∵ 二次函数为 ， ∴ 对于，， 对于 ，， 对于，， ∴ ，，， ∴ ， 故答案为：C． 【题型15 的最值】 【例15】已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． 【变式15-1】二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴为直线，分、和，三种情况进行分析，求得m的值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上， 当时，函数值y的最小值为， ①当时，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ②当，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ③当，则最小值在处， 此时， 解得或（不符合题意，舍去）； ∴ 常数m的值为2． 故选：C． 【变式15-2】如图，四边形的对角线互相垂直，，有下列结论： ①当对角线与互相平分时，四边形是菱形； ②当的长度为或时，四边形的面积均为； ③四边形面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，菱形的判定和面积求法，关键是掌握二次函数的性质， 先判断出四边形是菱形，再根据菱形的面积公式，二次函数的性质进行判断求解． 【详解】解：因为四边形的对角线互相垂直，所以当对角线与互相平分时，四边形是菱形，故①正确； 因为，所以当的长度为或时，四边形的面积均为 ，故②正确； 设，则，所以，因为，所以当时，四边形的面积有最大值，最大值为，故③错误. 综上所述，正确的个数为2. 故选：C. 【变式15-3】．在直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点和，则这个二次函数有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键．根据题意求得该函数图象的对称轴为求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数为常数）的图象经过点和， 该函数图象的对称轴为直线， ， ， 该函数解析式为， ， 该函数图象的开口向上， 当时，该二次函数有最小值． 故选：． 【题型16 利用二次函数的对称性求最短路径】 【例16】如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 【变式16-1】如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)1，4 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）将和代入，求出b和c的值； （2）将和代入，求出m和n的值； （3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ． 【详解】（1）解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将和代入得， ，解得， ∴，，； （3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 【变式16-2】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图①，在x轴上找一点E，使得的周长最小，求点E的坐标； (3)如图②，P为直线上的动点，过点P作垂直x轴，与抛物线交于H，是否存在点使得直线把分成面积比为的两部分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)点P坐标为或 【分析】（1）根据抛物线与x，y轴的交点，分别令，时求出y和x的值，即可求得点A和点C的坐标，再将二次函数一般式化为顶点式后即可求得点D的坐标； （2）根据轴对称的性质，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时，周长为，根据两点之间线段最短，与x轴交点E使周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，由于点E在x轴上，令即可求得点E的坐标； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设点P和点H的坐标，分情况讨论面积比，设直线与交于点M，求出点M的坐标，根据三角形面积公式分别表示出和的面积，分和两种情况，列出方程求解t，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，当时，， 解得：，， ∵点A在点B的左侧， ∴点A坐标为， 当时，， ∴点C坐标为， ∵， ∴顶点D坐标为． （2）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴当的周长最小时，点E坐标为． （3）解：设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为， ∵点P为直线上的动点，点H在抛物线上， ∴设点P坐标为， ∵轴， ∴设点H坐标为， 如图，设直线与交于点M，将代入得， ∴，， ①当时： 则，即， 整理得：，解得，， ∵时，点P与点A重合，故舍去， ∴点P坐标为； ②当时： 则，即， 整理得：，解得，， ∵时，点P与点A重合，故舍去， ∴点P坐标为， 综上所述，点P坐标为或． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标，二次函数顶点坐标公式，轴对称的性质，一次函数解析式求解及三角形面积公式等知识点． 【变式16-3】已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的图象和性质、面积的计算、点的对称性，会利用待定系数法求函数解析式，能根据对称性求最短路径是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，即可求解； （3）把分解为，转化为二次函数求最值． 【详解】（1）解；点的坐标为， 则点, 由题意得，解得；, 则抛物线的表达式为；; （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 理由；为最小， ∵抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为， ∴点， 设过点的直线为， ，解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点； （3）如图2所示；过点作轴，交于点， ， ， ， 由（2）知，直线的解析式为， 设，则， ， 当时，有最大值，最大值为， 的最大面积， 四边形的面积的最大值． 【题型17 待定系数法求二次函数解析式】 【例17】已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入已知点到解析式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：将代入，得， 整理得， 解得， ∴抛物线解析式为． 【变式17-1】已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴将，代入，得， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，即， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，化简得， 联立与，两式相加得，解得， 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． 【变式17-2】如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式确定顶点坐标，利用抛物线的轴对称性求出点的坐标，代入解析式求及、坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由得顶点为，由得顶点为(−3,−1)，两点关于原点对称，故①正确； ∵，抛物线对称轴为直线，点、关于直线对称， ∴点A的横坐标为，即，故②错误； 把代入得，解得， ∵抛物线对称轴为直线，点A、C关于直线对称， ∴点C的横坐标为，即，故③正确； 令，则，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 【变式17-3】如图，抛物线：与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，其顶点记为． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)点是轴上任意一点，连接、、，当周长取到最小值时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线； ①抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），当点是线段三等分点时，求的值； ②点、是抛物线上两点，当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)①或；② 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）点关于轴的对称点为，当、、共线时，取等号，有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求解； （3）①先得到新的抛物线的解析式，求得，，根据点是线段的三等分点，再分类求解即可．②将分别代入，根据建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：过点，且对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解：令，则， ∴点的坐标为， 为定值， ∴当最小时，周长取得最小值， ∵点关于轴的对称点为， ， 当、、共线时，取等号，有最小值， 设直线的解析式为， 把点的坐标为代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为； （3）解：①根据题意，新的抛物线的解析式为：， 解方程， 得， ∵点在点的左边， ，， 对于抛物线，令，则， 解得：或1， ∴点的坐标为， ∵点是线段的三等分点，则点在线段上， ，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或； ②当时，， 当时，， 当时，， 解得：． 【探究式学习】 1．如图，二次函数是初中数学的重要内容，它的图象是抛物线，具有许多独特的性质，下面围绕二次函数的性质展开学习． 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点． 【探究】（1）求的值及抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过点，求当取何值时，函数有最值，并写出此时的值； 【深入探究】（3）在（）的条件下，若抛物线交轴于，两点（点位于点左边），连接，过点作直线于点，交轴于点，交抛物线于点，求交点的坐标； 【拓广探索】（4）在（）的条件下，设直线对应的函数为，二次函数为，若，观察图象，请直接写出的取值范围__________． 【答案】（），对称轴；（）当时，有最小值，；（）；（）． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次函数的性质即可求解； （）由（）得，，则二次函数解析式为，又抛物线经过点，则可求出二次函数解析式为，然后配方即可求解； （）由解析式求出，然后通过等腰三角形的判定得出，得出，求出直线解析式为，再联立，解得：或即可得出交点的坐标； （）由（）得，，即与的交点坐标为，，然后通过图象即可求解． 【详解】解：（）∵二次函数的图象与轴交于点， ∴，抛物线对称轴为直线； （）由（）得，， ∴二次函数解析式为， ∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，有最小值，； （）由（）得：二次函数解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得：或， ∴交点的坐标为； （）由（）得，， 即与的交点坐标为，， ∵， ∴观察图象可得出的取值范围是， 故答案为：． 2．如图1，中，，是边上的一个动点（不与点，重合），交于点，交于点．设的长为，四边形的面积为． 【初步感知】 （1）经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图像，其顶点坐标是，请根据图像信息，求关于的函数表达式． 【延伸探究】 （2）①当四边形的面积为时，求的长度； ②当四边形的面积最大时，求的面积． （3）如图3，当四边形是菱形时，求的长度． 【答案】（1） （2）①1或3；② （3） 【分析】（1）由图象得顶点为，设二次函数的表达式为，将代入即可求解； （2）①由四边形的面积为代入解析式，即可求解；②由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，过点作于点，过点作于点，由图象可知，当四边形的面积最大时，，四边形的面积是3，由即可求解； （3）法一：由（2）可知，当四边形的面积最大时，，，由正弦三角函数得，可求，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； 法二：当四边形由正弦三角函数得， 由得， 联立，即可求解． 【详解】解：（1）二次函数的顶点坐标是， 设二次函数的表达式为， 当时，， ， ， 二次函数的表达式为． （2）①四边形的面积为， ， ，， 的长度为1或3． ②二次函数的表达式为， 当时， 或， ， ，， 四边形是平行四边形． 如图，过点作于点，过点作于点， ． 由图象可知，当四边形的面积最大时，，四边形的面积是3， 即， ， ， ． （3）法一：由（2）可知，当四边形的面积最大时， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 当四边形是菱形时，． ， ， ， ， ， ， ， ． 法二：当四边形是菱形时，． 在中，， ， ， 即， 由（1）知， 联立， 解得（舍去）或， ． 【点睛】本题考查了待定系数法，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，三角函数等，理解面积与二次函数之间的关系，掌握判定方法及性质是解题的关键． 3．综合与实践： 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； (3)小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点和点代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）先确定直线的解析式，设点，则点，根据三角形的面积公式列出函数解析式求解即可； （3）分两种情况求解：当点在轴上方时和当点在轴下方时． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， 设直线的表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为； （3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时， ∵， ∴， ∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为， 当时，则， 解得，，， ∴， 如图3，当点在直线的下方的抛物线上时， 设交轴于点， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键． 【课后检测】 1．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 2．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 3．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线. 4．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 5．点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴为，再根据“抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大”逐项判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 选项A：三点到对称轴的距离分别为2、0、2，则，不符合题意； 选项B：三点到对称轴的距离分别为1、1、2，得，不符合题意； 选项C：三点到对称轴的距离分别为1、2、3，得，符合题意； 选项D：三点到对称轴的距离分别为1、0、2，得，不符合题意． 6．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 7．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线平移规律得到平移后的解析式，代入已知点坐标列方程求解的值即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后，所得解析式为， 将代入解析式，得，解得． 8．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 9．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，选项A错误． ∵对称轴为， ∴对称轴是直线，选项B错误． 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点坐标为，选项C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小， 又∵满足， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 10．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、两点坐标代入抛物线解析式，用含的代数式表示、，结合的取值范围推导函数值的大小关系． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 11．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 12．已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向确定函数增减性规律，再结合题目条件得到k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 13．二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 【答案】c 【分析】二次函数的对称轴为，函数值相等的两个不同点关于对称轴对称，据此求出的值，再代入计算函数值． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， 当，（）时对应的函数值相等， ∴点与点关于对称轴对称， ∴，即， 将代入得． 14．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点B坐标，再结合图象可得答案； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，然后分和两种情况，利用二次函数的性质，结合一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，令，则，即， 解得，， ， ∴结合图象可知，当点在轴上方时，； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 若，则点右侧部分（含点）的最高点为抛物线顶点， ∴当时，，解得； 若，则点右侧部分（含点）的最高点为点P， 当时，，解得（舍去），． 综上所述，的值为或4． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 16．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的顶点式（），其顶点坐标为即可求解； （2）根据抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律求解； （3）由题得抛物线的对称轴为直线，可得时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，再得到最值即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． 17．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 【复盘笔记】 第 2 页 共 87 页 第 1 页 共 87 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题26.2 二次函数的图像和性质 （新教材人教版） 知识点一、二次函数的图像与性质 2 知识点二、二次函数的图象变换 3 知识点三、二次函数与各项系数之间的关系 4 【题型1 的图像和性质】 6 【题型2 的图像和性质】 7 【题型3 的图像和性质】 8 【题型4 的图像和性质】 8 【题型5 二次函数图像的平移】 9 【题型6 把化为顶点式】 10 【题型7 的图像与性质】 10 【题型8 画的图像】 11 【题型9 二次函数图像与各系数的关系】 12 【题型10 一次函数、二次函数图像的综合判断】 13 【题型11 二次函数的最值问题】 14 【题型12 根据二次函数图像判断式子符号】 15 【题型13 已知二次函数对称的两点求对称轴】 16 【题型14 根据二次函数的对称性求函数值】 17 【题型15 的最值】 18 【题型16 利用二次函数的对称性求最短路径】 19 【题型17 待定系数法求二次函数解析式】 22 【探究式学习】 24 【课后检测】 27 【复盘笔记】 32 知识点一、二次函数的图像与性质 图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围. 知识点二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 补充： ① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. ② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. ③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. ④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同. ⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值. 2）二次函数图象的对称变换 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 知识点三、二次函数与各项系数之间的关系 ① 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 【补充】 1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同； 2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号； 【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负. 【题型1 的图像和性质】 【例1】如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【变式1-2】抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式1-3】在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 【题型2 的图像和性质】 【例2】抛物线与x轴交于B，C两点，顶点为A，则的周长为（     ） A． B． C．12 D． 【变式2-1】函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【变式2-2】如图是用软件画出的函数的图象（，是常数），则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-3】嘉嘉绘制抛物线时，将“”看成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．对称轴 C．开口大小 D．与轴的交点 【题型3 的图像和性质】 【例3】已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．当时，的值随值的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【变式3-2】二次函数（是常数，且）的图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，有四个命题：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的命题个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．函数有最小值0 【题型4 的图像和性质】 【例4】抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知k为任意实数，则抛物线的顶点在（     ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线上 D．直线上 【变式4-2】已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【题型5 二次函数图像的平移】 【例5】将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【变式5-3】抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【题型6 把化为顶点式】 【例6】若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【变式6-1】一次函数的图像经过点，则的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】点和点在抛物线上，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式6-3】关于的二次函数图象经过，对称轴在轴的右侧．则二次函数有（　　） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值 D．最小值 【题型7 的图像与性质】 【例7】已知函数的图象与二次函数的图象交于点，，．若点在轴下方且时，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（    ） A．1 B． C．﹣ D．﹣ 【变式7-2】已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【题型8 画的图像】 【例8】已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【变式8-1】已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【变式8-2】已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-3】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型9 二次函数图像与各系数的关系】 【例9】已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式9-1】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【变式9-2】已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【题型10 一次函数、二次函数图像的综合判断】 【例10】抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【变式10-2】若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【题型11 二次函数的最值问题】 【例11】二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【变式11-1】已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【变式11-2】当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【变式11-3】已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【题型12 根据二次函数图像判断式子符号】 【例12】已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … … t m n … 且当时与其对应的函数值，则下列各选项中不正确的是（     ） A． B． C． D．图象的顶点在第四象限 【变式12-3】已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型13 已知二次函数对称的两点求对称轴】 【例13】已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】若一个二次函数的图象经过五个点、、、和，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为．若，的面积为，过A、B、O三点的抛物线上有异于A、B、O的一点M，点M的坐标为，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式13-3】已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：以下结论正确的是（    ） … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … A．当时，随增大而增大 B．抛物线的开口向下 C． D．当时，的取值范围是 【题型14 根据二次函数的对称性求函数值】 【例14】二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【变式14-2】已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表所示： … 2 … … … （注：表中自变量的值从左往右逐渐增大） 对于下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则，；④若，则，．其中正确的命题有（   ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式14-3】已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【题型15 的最值】 【例15】已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 【变式15-1】二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图，四边形的对角线互相垂直，，有下列结论： ①当对角线与互相平分时，四边形是菱形； ②当的长度为或时，四边形的面积均为； ③四边形面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式15-3】．在直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点和，则这个二次函数有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值 【题型16 利用二次函数的对称性求最短路径】 【例16】如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【变式16-1】如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【变式16-2】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图①，在x轴上找一点E，使得的周长最小，求点E的坐标； (3)如图②，P为直线上的动点，过点P作垂直x轴，与抛物线交于H，是否存在点使得直线把分成面积比为的两部分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式16-3】已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【题型17 待定系数法求二次函数解析式】 【例17】已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【变式17-1】已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式17-2】如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【变式17-3】如图，抛物线：与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，其顶点记为． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)点是轴上任意一点，连接、、，当周长取到最小值时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线； ①抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），当点是线段三等分点时，求的值； ②点、是抛物线上两点，当时，请直接写出的取值范围． 【探究式学习】 1．如图，二次函数是初中数学的重要内容，它的图象是抛物线，具有许多独特的性质，下面围绕二次函数的性质展开学习． 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点． 【探究】（1）求的值及抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过点，求当取何值时，函数有最值，并写出此时的值； 【深入探究】（3）在（）的条件下，若抛物线交轴于，两点（点位于点左边），连接，过点作直线于点，交轴于点，交抛物线于点，求交点的坐标； 【拓广探索】（4）在（）的条件下，设直线对应的函数为，二次函数为，若，观察图象，请直接写出的取值范围__________． 2．如图1，中，，是边上的一个动点（不与点，重合），交于点，交于点．设的长为，四边形的面积为． 【初步感知】 （1）经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图像，其顶点坐标是，请根据图像信息，求关于的函数表达式． 【延伸探究】 （2）①当四边形的面积为时，求的长度； ②当四边形的面积最大时，求的面积． （3）如图3，当四边形是菱形时，求的长度． 3．综合与实践： 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； (3)小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标． 【课后检测】 1．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 3．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 5．点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 6．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 8．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 9．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 10．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 11．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 12．已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 13．二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 14．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 16．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 17．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【复盘笔记】 第 2 页 共 87 页 第 1 页 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