专题26.2 二次函数的图象和性质（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题26.2 二次函数的图象和性质 【本节预习目标】 1.知识与技能 掌握用描点法画二次函数图象的方法，认识抛物线的基本概念 掌握二次函数、、的图象和性质 理解二次函数图象的平移规律，能进行不同形式解析式的转化 能运用二次函数的性质解决相关问题，如最值、增减性等 2.过程与方法 经历"描点—画图—观察—猜想—验证"的探究过程，发展数形结合思想 通过对比不同形式二次函数的图象，体会从特殊到一般的研究方法 在解决实际问题中，建立数学模型，发展应用意识 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节的关联 一次函数的图象和性质 一次函数的图象是一条直线；决定倾斜方向和程度；决定与轴交点 类比一次函数的研究方法，研究二次函数的图象和性质 平面直角坐标系 点的坐标表示；对称点的坐标特征；两点间距离 画二次函数图象的基础，也是研究对称性的基础 二次函数的概念 一般形式（）；各项系数的识别 本节是在二次函数概念基础上，深入研究其图象和性质 配方法 完全平方公式；将代数式配方成完全平方式的方法 将一般式化为顶点式的关键 知识点1：二次函数的图象和性质 1.二次函数的图象 二次函数的图象是一条抛物线，它是轴对称图形。 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点 顶点是抛物线的最高点或最低点 2.二次函数的图象和性质 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（直线） 轴（直线） 顶点坐标 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 增减性 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小 开口大小 |a|越大开口越小，|a|越小开口越大。 3.描点法画二次函数图象的步骤 列表：以顶点为中心，对称选取值，计算对应的函数值 描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，两端无限延伸 知识点2：二次函数的平移规律与顶点式 1.上下平移： 当时，抛物线向上平移个单位，得到 当时，抛物线向下平移|k|个单位，得到 顶点坐标： 对称轴：轴（直线） 2.左右平移： 当时，抛物线向右平移个单位，得到 当时，抛物线向左平移|h|个单位，得到 顶点坐标： 对称轴：直线 3.顶点式： 由先左右平移|h|个单位，再上下平移|k|个单位得到 平移规律："左加右减，上加下减" 顶点坐标： 对称轴：直线 最值：当时，时有最小值；当时，时有最大值 知识点3：二次函数的图象和性质 1.一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式（）转化为顶点式： 2.二次函数的图象和性质 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 最值 当时， 当时， 增减性 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小 3.抛物线与坐标轴的交点 与轴的交点：令，得，交点坐标为 与轴的交点：令，解方程，方程的解就是交点的横坐标 当时，抛物线与轴有两个交点 当时，抛物线与轴有一个交点（顶点） 当时，抛物线与轴没有交点 【基础巩固题型】 【题型1】二次函数的图象识别 1.核心知识点: 二次函数的图象特征；开口方向与的关系；开口大小与|a|的关系 2.解题方法技巧: ①开口方向法：根据的正负判断开口方向，向上，向下 ②开口大小法：根据|a|的大小判断开口宽窄，|a|越大开口越小 ③排除验证法：结合开口方向、顶点位置等特征，逐一排除错误选项 【例题1】.（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·河南信阳·期中）抛物线如图所示．若a的值为整数，则a的值为________． 【答案】2或3或4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象．根据二次函数的图象解答即可． 【详解】解：观察图象得：， ∵a的值为整数， ∴a的值为2，3，4． 故答案为：2或3或4 【变式题1-2】.（25-26九年级上·湖南长沙·期中）抛物线的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的开口方向和顶点坐标即可判断． 本题主要考查了而函数图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键 【详解】解：∵抛物线中，， ∴图像开口向上，且顶点为坐标原点， 故选：A． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）二次函数的图象如下图所示，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 根据二次函数的图象和性质，可得的取值范围，结合选项进行分析，即可得的可能取值． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 只有选项A符合， 故选：A． 【题型2】二次函数的性质应用 1.核心知识点: 二次函数的对称轴、顶点坐标；增减性；最值 2.解题方法技巧: ①对称轴顶点法：的对称轴是轴，顶点是原点 ②增减性判断法：时左减右增，时左增右减 ③最值法：时顶点是最低点有最小值，时顶点是最高点有最大值 【例题2】.（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 【变式题2-1】.（25-26九年级下·全国·暑假作业）与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【答案】 【分析】根据题意，顶点相同形状相同说明顶点坐标不变，二次项系数的绝对值不变，开口方向相反说明二次项系数符号相反，据此即可求解． 【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不变，二次项系数绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为． 【变式题2-2】.（2026·吉林长春·一模）下列函数中，的值随的值增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不同函数的增减性逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A，是二次函数，开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求． 选项B，，是一次函数，，随的增大而减小，不符合要求． 选项C，，是二次函数，开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求. 选项D，是一次函数，，随的增大而增大，符合要求． 【变式题2-3】.（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 【题型3】二次函数顶点式的图象与性质 1.核心知识点: 二次函数的图象特征；顶点坐标；对称轴；平移规律 2.解题方法技巧: ①顶点直接法：顶点式中直接读出顶点坐标和对称轴 ②平移规律法："左加右减，上加下减"，注意左右平移是对进行加减 ③性质类比法：开口方向、增减性、最值的判断方法与类似 【例题3】.（25-26八年级下·福建莆田·期末）抛物线的顶点坐标为_______ 【答案】 【详解】抛物线的顶点坐标为． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·北京·期末）在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·北京·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 【题型4】二次函数一般式的图象与性质 1.核心知识点: 二次函数的顶点坐标公式；对称轴公式；开口方向 2.解题方法技巧: ①公式法：直接用顶点坐标公式和对称轴公式 ②配方法：将一般式配方化为顶点式，再确定顶点和对称轴 ③性质判断法：根据的正负判断开口方向和最值，根据对称轴判断增减性 【例题4】.（2026·四川成都·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C． D．当时，抛物线的顶点坐标为 【答案】D 【分析】由二次函数对称轴公式即可判断A选项，由二次函数的性质即可判断B选项，由图象可得当时，，即可判断C选项，当时，，结合二次函数的性质即可判断D选项． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项错误； ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故B选项错误； 由图象可得当时，， ∴，故C选项错误； 当时，，此时抛物线的顶点坐标为，故D选项正确． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 【变式题4-2】.（2026·陕西榆林·模拟预测）二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出二次函数与轴的交点坐标为，即可排除A选项，再分两种情况，分别分析对称轴的位置，即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，故二次函数与轴的交点坐标为，故A选项不符合题意； 当时，对称轴为直线，在轴的右侧，故B选项不符合题意； 当时，对称轴为直线，在轴的左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 【培优提升题型】 【题型5】二次函数的平移规律 1.核心知识点: 二次函数图象的平移规律；平移前后解析式的变化；顶点坐标的变化 2.解题方法技巧: ①顶点跟踪法：跟踪顶点的平移，确定平移方向和距离，再写出新解析式 ②规律应用法："左加右减自变量，上加下减常数项"，注意左右平移容易出错 ③逆向思考法：已知平移后的解析式，逆向推导平移前的解析式 【例题5】.（25-26九年级上·贵州黔南·阶段检测）要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（    ） A．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．先化简得，根据二次函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，求解即可． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到抛物线， 故选：B． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·河南漯河·阶段检测）要得到二次函数的图象，需将的图象（   ） A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，利用“左加右减，上加下减”的平移规则求解． 【详解】解：∵二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到， ∴要得到二次函数的图象，需将的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位． 故选：C． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·贵州遵义·期末）将抛物线平移后得到抛物线，这个平移的过程可能是（    ） A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，通过比较两抛物线的顶点坐标，原顶点与新顶点仅y坐标变化，故为上下平移，据此可解答． 【详解】解：∵原抛物线的顶点为，新抛物线的顶点为 ， ∴顶点纵坐标从变为2，增加了5，横坐标不变， ∴平移过程为向上平移5个单位. 故选：A． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象可由的图象通过（    ）得到的 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：可将二次函数转化为， 需将向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到． 故选：D． 【题型6】二次函数的对称性应用 1.核心知识点: 二次函数图象的轴对称性；对称点的坐标特征；对称轴的确定 2.解题方法技巧: ①对称点法：抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，对称轴是两点横坐标的平均数 ②对称轴法：已知对称轴和一个点的坐标，利用对称性求对称点的坐标 ③中点公式法：两点横坐标的平均数就是对称轴对应的横坐标 【例题6】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（2026·福建泉州·模拟预测）抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，先求出抛物线对称轴，再得到与的关系，最后判断各选项即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和，两点纵坐标相等 ∴抛物线对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且到对称轴的距离相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等，即，得， 依次判断选项：A、，值随变化，不是定值，不符合题意； B、，值随变化，不是定值，不符合题意； C、，值恒为，是定值，符合题意； D、，值随变化，不是定值，不符合题意． 【变式题6-2】.（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数（为常数），若其图像上有两点，，则的值是________． 【答案】2 【分析】由、两点纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，进而求得的值． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的图像上有两点，，两点纵坐标相等， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， 解得． 【变式题6-3】.（2026·安徽蚌埠·三模）已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数对称轴的公式可得，由可得，根据不等式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型7】二次函数的增减性与最值 1.核心知识点: 二次函数的增减性；二次函数的最值；自变量取值范围对最值的影响 2.解题方法技巧: ①对称轴分界法：以对称轴为界，分别判断左右两侧的增减性 ②顶点最值法：顶点处取得最值，但要注意自变量的取值范围是否包含顶点 ③范围讨论法：当自变量有取值范围时，分顶点在范围内和范围外两种情况讨论 【题型8】二次函数的系数符号判断 1.核心知识点: 二次函数的图象与系数、、的关系；对称轴与、的关系 2.解题方法技巧: ①的符号：由开口方向判断，开口向上，开口向下 ②的符号：由对称轴位置和的符号共同判断，"左同右异" ③的符号：由抛物线与轴的交点位置判断，交正半轴，交负半轴 【例题7】.（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数（，为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，求的值． 【答案】 【分析】先确定顶点坐标为，可得最小值为，当时，函数取得最大值，为，即可列方程求解． 【详解】解：， 顶点坐标为， ，即抛物线开口向上，，最小值为， 当时，该函数的最小值为， ， 当时，函数取得最大值，为， 由题意可得， 解得． 【变式题7-2】.（2026·广东广州·二模）已知抛物线的顶点坐标为，与直线相交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，试比较与的大小，请直接写出比较的结果． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式即可； （2）作差后，分类比较大小即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴不妨设， ∵抛物线过点， ， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）解：∵直线过点， ∴， ， 直线， ， 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， ， ． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·安徽亳州·期中）已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴； (2)当时，点，在该函数图象上，比较m，n的大小并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（1）根据对称轴公式计算即可； （2）先求出m、n的值，进而根据作差法比较即可． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线； （2）解：，理由如下： ∵点，在该函数图象上， ∴，， 则， ∵， ∴， 即． 【压轴素养题型】 【题型9】二次函数的取值范围问题 1.核心知识点: 二次函数的增减性；二次函数的最值；自变量取值范围内的函数值范围 2.解题方法技巧: ①顶点判断法：先判断顶点是否在自变量取值范围内，顶点在内则顶点处取最值 ②端点比较法：计算区间端点处的函数值，与顶点处的函数值比较确定最值 ③分类讨论法：当对称轴位置不确定时，根据对称轴与区间的位置关系分类讨论 【例题8】.（2026·广东珠海·三模）抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，需明确抛物线增减性的影响因素，抛物线增减性由开口方向和对称轴位置共同决定，根据二次函数性质分析各参数的作用即可得到结果； 【详解】解：∵抛物线的开口方向由决定，开口方向决定整体增减趋势；抛物线的对称轴为直线，对称轴位置由和共同决定；抛物线的增减性以对称轴为分界，因此增减性由共同决定；只决定抛物线与轴的交点位置，仅上下平移抛物线，不改变开口方向和对称轴位置，不影响增减性∴能决定抛物线增减性的是． 【变式题8-1】.（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点代入二次函数解析式，得到与的关系，再结合二次函数的开口方向和对称性，逐一判断选项即可． 【详解】点在二次函数上 ， 将代入解析式得： ， 化简得， 即， 对选项A： 将代入解析式得， 把代入得： ， 移项得，故A错误； 对选项B： ， ， ，即，故B错误； 对选项C： 二次函数对称轴为， ，开口向上， 时取最小值，即是函数最小值， ，即，故C错误； 对选项D： ， ，二次函数在时，随增大而减小， ，当时，， 时的大于时的， 即， 得，故D正确． 【变式题8-3】.（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③； ④， 则其中正确的结论个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的开口方向、与y轴的交点及对称轴可确定a、c、b的符号，进而可判断①与②；由抛物线的对称轴可确定函数的最小值与时函数值的关系，可判断③；由a与b的关系，可判断④． 【详解】解：由图象知，抛物线的开口向上，所以， 抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，则，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，即，即，故②错误； 抛物线的对称轴为直线，且开口向上，即当时，二次函数取得最小值，而当时函数值为， 所以，故③正确； 由，故④错误； 所以正确的只有1个． 【题型10】二次函数与几何图形综合 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；三角形、四边形等几何图形的性质；数形结合思想 2.解题方法技巧: ①坐标转化法：将几何图形的边长、面积等转化为点的坐标关系 ②面积分割法：求不规则图形面积时，分割为规则图形分别计算再求和 ③方程思想法：利用几何图形的性质建立方程，求解点的坐标或参数值 【例题9】.（25-26九年级上·山东德州·期中）二次函数在范围内的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的最值，解答本题的关键要明确：将一般式化为顶点式，结合二次函数的性质即可求出二次函数的最小值．注意，此题的自变量是有取值范围的． 先求得对称轴与顶点坐标，并判断顶点是否在给定区间内，然后计算函数在顶点和端点处的值，比较得出最小值． 【详解】解：， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 二次函数在范围内的最小值为． 故答案为：． 【变式题9-1】.（2026·安徽阜阳·二模）抛物线的对称轴为直线，若直线与抛物线在的范围内有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对称轴求出抛物线解析式，再找出的范围内的最高点和最低点，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 在的范围内， 当时，有最小值， 当时，有最大值6， ∵直线与抛物线在的范围内有交点， ∴． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． 【变式题9-3】.（2026·河南驻马店·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线与轴交于和两点且，求该抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，当（为任意实数）时，二次函数有最大值为3，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据二次函数性质进行解答即可； （2）利用抛物线对称轴结合一元二次方程根与系数的关系可得到a的值，从而求得b的值，进而推导出二次函数解析式； （3）理解二次函数在特定区间上取得最大值的几何意义，分情况讨论：当时，y有最大值为3，可得不成立，则或者，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：把点代入， 得：， 整理得：， ∴对称轴为直线． （2）解：由（1）可得，，而抛物线与轴交于和， 当时，， ∴，， ， ， ， ∴解析式为． （3）解：由（2）可得：二次函数解析式为， ∴当时，y有最大值为4， ∵当时，y有最大值为3， ∴不成立， ∴或者： ①当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最大值为3， 把，代入得：， 解得或2， ， ， ②当，即时，y随x的增大而增大， 当时，y有最大值为3， 把，代入得：， 解得或， ， ， 综上所述，或． 易错点 1、混淆左右平移的方向，误认为"左减右加"，实际是"左加右减" 2、求二次函数最值时，忽略自变量的取值范围，直接用顶点处的函数值 3、判断增减性时，不考虑开口方向，错误地认为对称轴左侧都是减函数 4、用配方法化顶点式时，提取二次项系数后，常数项处理错误 5、判断的符号时，记错"左同右异"的规律，或忽略的符号 重点 1、二次函数、、的图象和性质 2、二次函数图象的平移规律："左加右减自变量，上加下减常数项" 3、二次函数的顶点坐标、对称轴、最值的求法 4、利用二次函数的性质解决实际问题 难点 1、二次函数图象的平移规律，特别是左右平移容易出错 2、自变量有取值范围时，二次函数最值的确定 3、二次函数图象与系数、、符号的关系 4、二次函数与几何图形的综合问题，数形结合思想的应用 ---讲义已完成，包含四个部分： 第1部分：预习导航（三维目标+前置旧知回顾表格） 第2部分：新知知识点预习（y=ax²、顶点式、一般式3个知识点） 第3部分：分层题型（12个题型，分基础/提升/培优三层） 第4部分：复习总结（易错点5个+重点4个+难点4个） 一、单选题 1．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 2．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 3．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件； ②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 二、填空题 4．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 5．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式判断开口方向，求出对称轴，再根据开口向上的二次函数的性质，即点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算三个点到对称轴的距离，即可比较的大小. 【详解】解：， 抛物线开口向上；对称轴为直线. 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离： 点： 点： 点： 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且， . 6．二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 【答案】 【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，联立得到方程组，用表示出二次项系数，再根据的条件解一元一次不等式，即可得到的取值范围． 【详解】解：将点，代入得， 整理得， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 7．用配方法把二次函数化成的形式． 【答案】 【详解】解： ． 8．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，将点坐标代入，解方程求出的值，再结合即可得到结果． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 整理得 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由得抛物线解析式为， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴根据平移规律，得到平移后的解析式为， ∵平移后抛物线经过点， ∴将，代入得， ， 解得，， ∵， ∴． 9．已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)， 二次函数图象如下， (2)当时该二次函数的函数值y的取值范围为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解，运用五点法作图即可； （2）根据自变量的取值范围分别算出临界点的函数值，结合顶点坐标得到函数值的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略； （2）解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为． 10．如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.2 二次函数的图象和性质 【本节预习目标】 1.知识与技能 掌握用描点法画二次函数图象的方法，认识抛物线的基本概念 掌握二次函数、、的图象和性质 理解二次函数图象的平移规律，能进行不同形式解析式的转化 能运用二次函数的性质解决相关问题，如最值、增减性等 2.过程与方法 经历"描点—画图—观察—猜想—验证"的探究过程，发展数形结合思想 通过对比不同形式二次函数的图象，体会从特殊到一般的研究方法 在解决实际问题中，建立数学模型，发展应用意识 【前置旧知回顾】 知识模块 核心内容 与本节的关联 一次函数的图象和性质 一次函数的图象是一条直线；决定倾斜方向和程度；决定与轴交点 类比一次函数的研究方法，研究二次函数的图象和性质 平面直角坐标系 点的坐标表示；对称点的坐标特征；两点间距离 画二次函数图象的基础，也是研究对称性的基础 二次函数的概念 一般形式（）；各项系数的识别 本节是在二次函数概念基础上，深入研究其图象和性质 配方法 完全平方公式；将代数式配方成完全平方式的方法 将一般式化为顶点式的关键 知识点1：二次函数的图象和性质 1.二次函数的图象 二次函数的图象是一条抛物线，它是轴对称图形。 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点 顶点是抛物线的最高点或最低点 2.二次函数的图象和性质 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（直线） 轴（直线） 顶点坐标 最值 当时，有最小值 当时，有最大值 增减性 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小 开口大小 |a|越大开口越小，|a|越小开口越大。 3.描点法画二次函数图象的步骤 列表：以顶点为中心，对称选取值，计算对应的函数值 描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，两端无限延伸 知识点2：二次函数的平移规律与顶点式 1.上下平移： 当时，抛物线向上平移个单位，得到 当时，抛物线向下平移|k|个单位，得到 顶点坐标： 对称轴：轴（直线） 2.左右平移： 当时，抛物线向右平移个单位，得到 当时，抛物线向左平移|h|个单位，得到 顶点坐标： 对称轴：直线 3.顶点式： 由先左右平移|h|个单位，再上下平移|k|个单位得到 平移规律："左加右减，上加下减" 顶点坐标： 对称轴：直线 最值：当时，时有最小值；当时，时有最大值 知识点3：二次函数的图象和性质 1.一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式（）转化为顶点式： 2.二次函数的图象和性质 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 最值 当时， 当时， 增减性 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小 3.抛物线与坐标轴的交点 与轴的交点：令，得，交点坐标为 与轴的交点：令，解方程，方程的解就是交点的横坐标 当时，抛物线与轴有两个交点 当时，抛物线与轴有一个交点（顶点） 当时，抛物线与轴没有交点 【基础巩固题型】 【题型1】二次函数的图象识别 1.核心知识点: 二次函数的图象特征；开口方向与的关系；开口大小与|a|的关系 2.解题方法技巧: ①开口方向法：根据的正负判断开口方向，向上，向下 ②开口大小法：根据|a|的大小判断开口宽窄，|a|越大开口越小 ③排除验证法：结合开口方向、顶点位置等特征，逐一排除错误选项 【例题1】.（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26九年级上·河南信阳·期中）抛物线如图所示．若a的值为整数，则a的值为________． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·湖南长沙·期中）抛物线的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）二次函数的图象如下图所示，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【题型2】二次函数的性质应用 1.核心知识点: 二次函数的对称轴、顶点坐标；增减性；最值 2.解题方法技巧: ①对称轴顶点法：的对称轴是轴，顶点是原点 ②增减性判断法：时左减右增，时左增右减 ③最值法：时顶点是最低点有最小值，时顶点是最高点有最大值 【例题2】.（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【变式题2-1】.（25-26九年级下·全国·暑假作业）与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【变式题2-2】.（2026·吉林长春·一模）下列函数中，的值随的值增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【题型3】二次函数顶点式的图象与性质 1.核心知识点: 二次函数的图象特征；顶点坐标；对称轴；平移规律 2.解题方法技巧: ①顶点直接法：顶点式中直接读出顶点坐标和对称轴 ②平移规律法："左加右减，上加下减"，注意左右平移是对进行加减 ③性质类比法：开口方向、增减性、最值的判断方法与类似 【例题3】.（25-26八年级下·福建莆田·期末）抛物线的顶点坐标为_______ 【变式题3-1】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【变式题3-2】.（25-26八年级下·北京·期末）在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【变式题3-3】.（25-26八年级下·北京·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【题型4】二次函数一般式的图象与性质 1.核心知识点: 二次函数的顶点坐标公式；对称轴公式；开口方向 2.解题方法技巧: ①公式法：直接用顶点坐标公式和对称轴公式 ②配方法：将一般式配方化为顶点式，再确定顶点和对称轴 ③性质判断法：根据的正负判断开口方向和最值，根据对称轴判断增减性 【例题4】.（2026·四川成都·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C． D．当时，抛物线的顶点坐标为 【变式题4-1】.（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题4-2】.（2026·陕西榆林·模拟预测）二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【培优提升题型】 【题型5】二次函数的平移规律 1.核心知识点: 二次函数图象的平移规律；平移前后解析式的变化；顶点坐标的变化 2.解题方法技巧: ①顶点跟踪法：跟踪顶点的平移，确定平移方向和距离，再写出新解析式 ②规律应用法："左加右减自变量，上加下减常数项"，注意左右平移容易出错 ③逆向思考法：已知平移后的解析式，逆向推导平移前的解析式 【例题5】.（25-26九年级上·贵州黔南·阶段检测）要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（    ） A．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【变式题5-1】.（25-26九年级上·河南漯河·阶段检测）要得到二次函数的图象，需将的图象（   ） A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【变式题5-2】.（25-26九年级上·贵州遵义·期末）将抛物线平移后得到抛物线，这个平移的过程可能是（    ） A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 【变式题5-3】.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象可由的图象通过（    ）得到的 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【题型6】二次函数的对称性应用 1.核心知识点: 二次函数图象的轴对称性；对称点的坐标特征；对称轴的确定 2.解题方法技巧: ①对称点法：抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，对称轴是两点横坐标的平均数 ②对称轴法：已知对称轴和一个点的坐标，利用对称性求对称点的坐标 ③中点公式法：两点横坐标的平均数就是对称轴对应的横坐标 【例题6】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【变式题6-1】.（2026·福建泉州·模拟预测）抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数（为常数），若其图像上有两点，，则的值是________． 【变式题6-3】.（2026·安徽蚌埠·三模）已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 【题型7】二次函数的增减性与最值 1.核心知识点: 二次函数的增减性；二次函数的最值；自变量取值范围对最值的影响 2.解题方法技巧: ①对称轴分界法：以对称轴为界，分别判断左右两侧的增减性 ②顶点最值法：顶点处取得最值，但要注意自变量的取值范围是否包含顶点 ③范围讨论法：当自变量有取值范围时，分顶点在范围内和范围外两种情况讨论 【题型8】二次函数的系数符号判断 1.核心知识点: 二次函数的图象与系数、、的关系；对称轴与、的关系 2.解题方法技巧: ①的符号：由开口方向判断，开口向上，开口向下 ②的符号：由对称轴位置和的符号共同判断，"左同右异" ③的符号：由抛物线与轴的交点位置判断，交正半轴，交负半轴 【例题7】.（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数（，为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，求的值． 【变式题7-2】.（2026·广东广州·二模）已知抛物线的顶点坐标为，与直线相交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，试比较与的大小，请直接写出比较的结果． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·安徽亳州·期中）已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴； (2)当时，点，在该函数图象上，比较m，n的大小并说明理由． 【压轴素养题型】 【题型9】二次函数的取值范围问题 1.核心知识点: 二次函数的增减性；二次函数的最值；自变量取值范围内的函数值范围 2.解题方法技巧: ①顶点判断法：先判断顶点是否在自变量取值范围内，顶点在内则顶点处取最值 ②端点比较法：计算区间端点处的函数值，与顶点处的函数值比较确定最值 ③分类讨论法：当对称轴位置不确定时，根据对称轴与区间的位置关系分类讨论 【例题8】.（2026·广东珠海·三模）抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式题8-2】.（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题8-3】.（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③； ④， 则其中正确的结论个数是（     ） A． B． C． D． 【题型10】二次函数与几何图形综合 1.核心知识点: 二次函数的图象和性质；三角形、四边形等几何图形的性质；数形结合思想 2.解题方法技巧: ①坐标转化法：将几何图形的边长、面积等转化为点的坐标关系 ②面积分割法：求不规则图形面积时，分割为规则图形分别计算再求和 ③方程思想法：利用几何图形的性质建立方程，求解点的坐标或参数值 【例题9】.（25-26九年级上·山东德州·期中）二次函数在范围内的最小值为______． 【变式题9-1】.（2026·安徽阜阳·二模）抛物线的对称轴为直线，若直线与抛物线在的范围内有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【变式题9-3】.（2026·河南驻马店·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线与轴交于和两点且，求该抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，当（为任意实数）时，二次函数有最大值为3，直接写出的值． 易错点 1、混淆左右平移的方向，误认为"左减右加"，实际是"左加右减" 2、求二次函数最值时，忽略自变量的取值范围，直接用顶点处的函数值 3、判断增减性时，不考虑开口方向，错误地认为对称轴左侧都是减函数 4、用配方法化顶点式时，提取二次项系数后，常数项处理错误 5、判断的符号时，记错"左同右异"的规律，或忽略的符号 重点 1、二次函数、、的图象和性质 2、二次函数图象的平移规律："左加右减自变量，上加下减常数项" 3、二次函数的顶点坐标、对称轴、最值的求法 4、利用二次函数的性质解决实际问题 难点 1、二次函数图象的平移规律，特别是左右平移容易出错 2、自变量有取值范围时，二次函数最值的确定 3、二次函数图象与系数、、符号的关系 4、二次函数与几何图形的综合问题，数形结合思想的应用 ---讲义已完成，包含四个部分： 第1部分：预习导航（三维目标+前置旧知回顾表格） 第2部分：新知知识点预习（y=ax²、顶点式、一般式3个知识点） 第3部分：分层题型（12个题型，分基础/提升/培优三层） 第4部分：复习总结（易错点5个+重点4个+难点4个） 一、单选题 1．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 2．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 二、填空题 4．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 5．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 6．二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 三、解答题 7．用配方法把二次函数化成的形式． 8．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 9．已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 10．如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $