专题 26.1 二次函数的概念 培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的概念核心知识点，系统梳理定义（一般式y=ax²+bx+c,a≠0及b=0、c=0等特殊形式）、常见表达式（一般式、顶点式、交点式及适用条件）、求解析式方法（三点、顶点、交点等设式），构建从概念理解到实际应用的学习支架。 资料亮点在于探究式学习（如无盖糖果盒容积、等腰直角三角形面积变化问题）培养抽象能力与几何直观，题型变式训练发展推理能力，课后检测与复盘笔记强化应用意识，课中提升教学互动效率，课后助力学生查漏补缺。

简一数理 初中专题讲义 专题26.1 二次函数的概念（举一反三讲义） （新教材人教版） 知识点一、二次函数的定义 2 知识点二、二次函数的常见表达式 2 知识点三、求二次函数解析式 3 【题型 1 列二次函数的关系式】 3 【题型 2 二次函数的识别】 4 【题型 3 根据二次函数的定义求参数】 5 【题型 4 判断函数自变量的取值范围】 5 【题型 5 二次函数一般形式各项系数辨析】 6 【探究式学习】 8 【课后检测】 11 【复盘笔记】 13 知识点一、二次函数的定义 一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时， 2)当c＝0时， 3)当b＝0且c＝0时， 知识点二、二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 相互联系 C 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 知识点三、求二次函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线h=） 【注意事项】 1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； 2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【题型 1 列二次函数的关系式】 【例 1】长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【变式 1‑1】如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 【变式 1‑2】边长为5的正方形，点F是上一动点，过对角线交点E作，交于点G，设的长为x，的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 【变式 1‑3】．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【题型 2 二次函数的识别】 【例 2】在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行（），一般地有经验公式，其中表示刹车前汽车的速度（单位：）．下列说法正确的是（    ） A．是的一次函数 B．与是变量 C．的取值为全体实数 D．是自变量 【变式 2‑1】在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（   ） A． B． C． D． 【变式 2‑2】下列函数属于二次函数的是 （   ） A． B． C． D． 【变式 2‑3】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型 3 根据二次函数的定义求参数】 【例 3】若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【变式 3‑1】若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【变式 3‑2】若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式 3‑3】已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 【题型 4 判断函数自变量的取值范围】 【例 4】已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 【变式 4‑1】已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（    ）个解 A．个 B．个 C．个 D．个 【变式 4‑2】若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【变式 4‑3】若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 【题型 5 二次函数一般形式各项系数辨析】 【例 5】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式 5‑1】已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 【变式 5‑2】已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【变式 5‑3】已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．如图1，小明用一张边长为的正方形硬纸板设计一个无盖的正四棱柱糖果盒，从该正方形硬纸板的四个角处分别剪去一个形状大小相同且边长为的小正方形，再折成如图2所示的无盖糖果盒，它的容积记为．        图1               图2                    图3 (1)请直接写出无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间的表达式，及变化过程中的自变量和因变量； (2)为探究y随x的变化规律，小明根据课堂中已经学习的《变量之间的关系》进行了如下探究： ①小明用表格表示无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间的关系，如下表： x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y 0 12.5 m 13.5 n 2.5 0 则__________，__________； ②小明把①的表格中x，y的各组对应值作为数对确定了相应点的位置，并通过描点和连线作出了表示无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间关系的图象，如图3； (3)利用图象解决： ①该糖果盒的最大容积是__________； ②当该糖果盒的容积为时，请估计糖果盒的底边长a的值．（保留一位小数） 2．如图1，在等腰直角三角形中，，，点P在三角形的边上沿A→C→B的路径运动，过点P作于点D，设，的面积为 （当点P与点B或点A重合时，y的值为0），在点P运动的过程中，y随x的变化而变化． 小东根据学习函数的经验对y与x的变化规律进行了探究，下面是小东的探究过程，请你补充完整并利用所得结论解决问题．      (1)根据点P的运动路径可知，自变量x的取值范围是 　 　； (2)通过取点，画图，测量，得到了x与y的几组值，如表： 0 1 2 3 … 4 0 m n … 0 请写出表中m，n的值：　 　，　 　； (3)在平面直角坐标系中，描出以表中各对值为坐标的点，连线，画出该函数图象； (4)结合画出的函数图象，请你描述函数y随x的增大如何变化； (5)当　 　时，的面积为． 【课后检测】 1．如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 2．若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 4．已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 5．下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 6．若二次函数的图象经过点、，则m的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 7．若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则满足条件的的值可以是（        ） A． B．0 C．1 D． 8．若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 9．若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 10．定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（    ） A．； B．； C．当时，； D．不论取何值， 11．若是二次函数，则________． 12．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 13．函数是关于的二次函数，则______． 14．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 16．设圆的半径为r，面积为S． (1)试写出S与r之间的函数关系式； (2)画出这个函数的图象． 17．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【复盘笔记】 第 2 页 共 30 页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题26.1 二次函数的概念（举一反三讲义） （新教材人教版） 知识点一、二次函数的定义 2 知识点二、二次函数的常见表达式 2 知识点三、求二次函数解析式 2 【题型 1 列二次函数的关系式】 3 【题型 2 二次函数的识别】 6 【题型 3 根据二次函数的定义求参数】 8 【题型 4 判断函数自变量的取值范围】 10 【题型 5 二次函数一般形式各项系数辨析】 12 【探究式学习】 15 【课后检测】 20 【复盘笔记】 29 知识点一、二次函数的定义 一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时， 2)当c＝0时， 3)当b＝0且c＝0时， 知识点二、二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 相互联系 C 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 知识点三、求二次函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线h=） 【注意事项】 1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式； 2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【题型 1 列二次函数的关系式】 【例 1】长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 【变式 1‑1】如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四边形是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ，， 和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ，， ， 即， y与x满足一次函数关系， ，最大值为1， S与x满足二次函数关系，且S存在最大值． 故选：A． 【变式 1‑2】边长为5的正方形，点F是上一动点，过对角线交点E作，交于点G，设的长为x，的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 【答案】C 【分析】先利用正方形的性质证明，可得，再利用勾股定理表示，再利用等腰直角三角形的面积公式可得函数关系式，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴在中， 在中， ∴， ∴， ∴， 即， ∴y与x满足的函数关系是二次函数，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，列二次函数关系式，证明是解本题的关键． 【变式 1‑3】．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 【题型 2 二次函数的识别】 【例 2】在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行（），一般地有经验公式，其中表示刹车前汽车的速度（单位：）．下列说法正确的是（    ） A．是的一次函数 B．与是变量 C．的取值为全体实数 D．是自变量 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念理解，熟悉掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的概念逐一判断即可． 【详解】A：一次函数的形式为，而属于二次函数，故A错误； B：变量是指可以取不同值的量，在公式中，的变化会导致变化，因此和均为变量，描述正确，故B正确； C：速度表示刹车前的实际速度，物理上不可能为负数，取值范围应为，而非全体实数，故C错误； D：自变量是主动变化的量，此处是自变量，是因变量，故D错误； 故选：B． 【变式 2‑1】在高中的有机化学中，存在一种的有机物，其中和满足某种函数关系，如图ⅰ、ⅱ、ⅲ，观察该类有机物的结构简式，由结构简式知与满足函数关系式（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，由图ⅰ可知时，，将代入各项函数解析式中求解并判断，即可解题． 【详解】解：由图ⅰ可知时，， 时，，，， 选项A、C、D不是与的函数关系式，不符合题意； 时，， 选项B是与的函数关系式， 故选：B． 【变式 2‑2】下列函数属于二次函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义“形如的函数”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故不符合题意； B、不是二次函数，故不符合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、不是二次函数，故不符合题意． 故选C． 【变式 2‑3】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、最高次为1次，不是二次函数，不符合题意； B、中为分式，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、中为分式，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 【题型 3 根据二次函数的定义求参数】 【例 3】若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 【变式 3‑1】若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 【变式 3‑2】若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 首先根据二次函数的定义，确定指数必须为2，求出m的可能值；再根据函数在时的增减性条件，判断开口方向，从而确定m的符号，得到m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴指数， 解得， ∴． 又∵当时，y随x的增大而增大， 函数为， 当时，开口向下，在时y随x增大而增大， ∴，故． 故选：C． 【变式 3‑3】已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键． 【详解】解： ∴，， ∴． 故选：A． 【题型 4 判断函数自变量的取值范围】 【例 4】已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数点的坐标特征，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可知，，整理为，然后代入求值即可． 【详解】解：抛物线经过点， 故选：C ． 【变式 4‑1】已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（    ）个解 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴、轴的交点，由抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标得出当时，，或，即可得出结果．抛物线的对称轴以及抛物线的性质；理解时，得出的值是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与轴交于点， ∴当时，， 即纵坐标为的点是或， ∴或， ∴关于的一元二次方程有个解． 故选：C． 【变式 4‑2】若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 【变式 4‑3】若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式是解题的关键．根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：是关于的二次函数， ， 解得：． 故选：B． 【题型 5 二次函数一般形式各项系数辨析】 【例 5】二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线， ， ． ∵抛物线经过点， ， ，即，结论②正确； ③∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，结论③错误． 综上，正确的有①②，共2个， 故选C． 【变式 5‑1】已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 【变式 5‑2】已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 【变式 5‑3】已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 【探究式学习】 1．如图1，小明用一张边长为的正方形硬纸板设计一个无盖的正四棱柱糖果盒，从该正方形硬纸板的四个角处分别剪去一个形状大小相同且边长为的小正方形，再折成如图2所示的无盖糖果盒，它的容积记为．        图1               图2                    图3 (1)请直接写出无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间的表达式，及变化过程中的自变量和因变量； (2)为探究y随x的变化规律，小明根据课堂中已经学习的《变量之间的关系》进行了如下探究： ①小明用表格表示无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间的关系，如下表： x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y 0 12.5 m 13.5 n 2.5 0 则__________，__________； ②小明把①的表格中x，y的各组对应值作为数对确定了相应点的位置，并通过描点和连线作出了表示无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间关系的图象，如图3； (3)利用图象解决： ①该糖果盒的最大容积是__________； ②当该糖果盒的容积为时，请估计糖果盒的底边长a的值．（保留一位小数） 【答案】(1)（或），是自变量，因变量； (2)①，； (3)①该糖果盒的最大容积是16；②估计糖果盒的底边长的值为5.2或2.6． 【分析】（1）根据长方体的体积公式可以列出关于的函数表达式； （2）分别将和2代入函数关系式可求出的值； （3）根据数形结合的思想可直接从图象中得出结论； 本题考查了函数的性质，数形结合思想的运用等，解题关键是要熟练掌握函数的定义及数形结合的思想． 【详解】（1）解： 是自变量，因变量 （2）①在中 当时，；当时， ，； （3）①结合图象可知： 该糖果盒的最大容积是16； ②结合图象可知： 当该糖果盒的容积为时 估计糖果盒的底边长的值为5.2或2.6． 2．如图1，在等腰直角三角形中，，，点P在三角形的边上沿A→C→B的路径运动，过点P作于点D，设，的面积为 （当点P与点B或点A重合时，y的值为0），在点P运动的过程中，y随x的变化而变化． 小东根据学习函数的经验对y与x的变化规律进行了探究，下面是小东的探究过程，请你补充完整并利用所得结论解决问题．      (1)根据点P的运动路径可知，自变量x的取值范围是 　 　； (2)通过取点，画图，测量，得到了x与y的几组值，如表： 0 1 2 3 … 4 0 m n … 0 请写出表中m，n的值：　 　，　 　； (3)在平面直角坐标系中，描出以表中各对值为坐标的点，连线，画出该函数图象； (4)结合画出的函数图象，请你描述函数y随x的增大如何变化； (5)当　 　时，的面积为． 【答案】(1) (2)， (3)见详解 (4)见详解 (5)或3 【分析】（1）由点D在线段（点D可以和点A、点B重合）上运动可得x的取值范围； （2）根据题意分情况讨论，当时，求出的面积与x的关系式，代入2即可求出m的值，当时，画图求出的面积与x的关系式，代入3即可求出n的值； （3）根据表格所给数据，描点，连线画图即可； （4）结合画出的函数图象，描述y随x的变化是如何变化的； （5）结合（2）中求出的函数关系式，当时分别求出x的值即可． 【详解】（1）解：点P在三角形的边上沿A→C→B的路径运动， 当点P与点A重合时， y的值为0，此时， 当点P与点B重合时，y的值为0，此时， 所以x的取值范围是， 故答案为：； （2）当点P在边上时，即时， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 当时，， 当点P边上时，即时，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 当时，， 故答案为：2，； （3）把表格中所给的每一对对应值看成一个点的坐标，在平面直角坐标系中描点，画图如下：    （4）由图象可得：当时，y随x的增大而增大，，y随x的增大而减小； （5）由（2）知当时，， 令， 则， 解得，（不合题意，舍去）， 由（2）知当时，， 令， 则， 解得，（不合题意，舍去）， 所以当或时，的面积为， 故答案为：或3． 【点睛】本题考查了二次函数与动点结合的综合题，考查了函数图象的画法以及数形结合思想，解题的关键是找到的面积与x之间的关系式． 【课后检测】 1．如果函数是二次函数，那么m的值一定是（   ） A．0 B．3 C．0或3 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．先根据二次函数的定义可得，且，再解一元二次方程即可得． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， 解得或（舍去）， 故选：A． 2．若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选B． 3．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的定义，掌握二次函数与轴的交点的横坐标即为时对应一元二次方程的解是解题关键．根据抛物线与x轴有交点，即求令的一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解，再结合二次函数的定义，即可确定的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴有交点， 关于的方程有实数根，且， ，且， 解得：且， 故选：A． 4．已知是二次函数，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 5．下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（a、b、c为常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项错误； B、的未知数在分母上，不是二次函数，故本选项错误； C、是二次函数，故本选项正确； D、是一次函数，故本选项错误． 故选：C． 6．若二次函数的图象经过点、，则m的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．0或3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义以其图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质和点坐标特征是解题的关键．根据题意得二次函数一次项系数为0，可得或，再根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、， ∴函数图象关于y轴对称， ∴函数的解析式形式应该是型， ∴， 解得：或， ∵二次函数的二次项系数不能为0， ∴． 故选：B． 7．若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则满足条件的的值可以是（        ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及二次函数的性质，解题的关键是：利用根的判别式以及二次项系数非零求出m的取值范围． 抛物线与x轴有两个交点，可得出关于x的方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式结合二次项系数非零，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围； 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个公共点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且． 故选：C． 8．若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义等知识．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的定义是解题的关键． 由题意知，，令，则，由二次函数的图象与轴有公共点，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 令，则， ∵二次函数的图象与轴有公共点， ∴， 解得，， ∴的取值范围是且， 故选：D． 9．若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的交点，分两组情况讨论，当时，两条直线不平行，有交点，当时，抛物线和直线有交点，联立函数得方程有实数解．即，求解即可． 【详解】解：当时，即，，与直线不平行，故有交点， 当时，函数的图象与直线有交点， 即时， ， 综上所述：实数的取值范围是， 故选：B． 10．定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（    ） A．； B．； C．当时，； D．不论取何值， 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据“旋转函数”的定义得到，，，则，，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”， ∴， 解得，故选项A、B错误， ∴， ∴，， 当时，，故选项C正确； ∵， ∴只有当时，， 故选项D错误， 故选：C 11．若是二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可得到的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 12．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 13．函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 14．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义设，，得到关于的含参数的解析式，再利用已知的两组,的值列方程组求出参数，用待定系数法得到函数关系式； （2）代入计算得到对应的函数值． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，， ∵， ∴， 将和分别代入上式， 得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）将代入，得． 15．某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（且为整数） (2)当每件商品的售价定为32元或33元时，每天的销售利润最大，最大利润是612元 【分析】（1）根据“现有销售量原销售量涨价减少的销售量”列出与的函数关系式，并结合实际意义确定自变量的取值范围； （2）根据“总利润每件商品的利润销售量”得到关于的二次函数, 再利用二次函数的性质结合为整数的条件, 求出最大利润和对应售价． 【详解】（1）解：（且为整数）； （2）解：， 对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为32和33，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为32元或33元时，每天利润最大，最大利润为612元． 16．设圆的半径为r，面积为S． (1)试写出S与r之间的函数关系式； (2)画出这个函数的图象． 【答案】(1). (2) 【分析】（1）由圆的面积公式写出函数关系式即可； （2）根据函数关系式，列表描点连线，即可画出函数图象． 【详解】（1）解：由圆的面积公式可得，； （2）解：由（1）得， 列表可得， 描点连线，图象略 17．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【答案】(1)万 (2) 【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可； （2）根据增长率的意义，列式求解即可； 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 【复盘笔记】 第 2 页 共 30 页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $