专题26.1 二次函数的概念（举一反三讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数的概念这一核心知识点，系统梳理从二次函数的定义（形如y=ax²+bx+c，a≠0）、各项系数识别、自变量取值范围，到列二次函数关系式（面积、利润、增长率、循环传播类）的完整脉络，搭建从概念理解到实际应用的学习支架。 该资料以8类题型为框架，每题型配例题与变式练习，通过辨析函数类型、求解参数、转化一般形式等环节发展抽象能力与推理意识，结合面积计算、利润分析等实际情境培养模型观念。课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

专题26.1 二次函数的概念（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 二次函数的识别】 1 【题型2 根据二次函数的定义求参数】 2 【题型3 二次函数的一般形式】 2 【题型4 二次函数的各项系数】 3 【题型5 列二次函数关系式-面积类】 4 【题型6 列二次函数关系式-利润类】 4 【题型7 列二次函数关系式-增长率类】 5 【题型8 列二次函数关系式-循环传播类】 6 知识点1 二次函数的概念考点1 二次函数的概念 1. 一般地，形如（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数. 一次项系数 常数项 二次项系数 （a不为0） b,c没有 条件限制 必须化为一般形式， 方可判断各项的系数 2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0. 3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义. 【题型1 二次函数的识别】 【例1】（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海虹口·月考）函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 【变式1-2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）给出下列函数：①；②；③；④．其中是二次函数的有______． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【题型2 根据二次函数的定义求参数】 【例2】如果函数是关于x的二次函数，则________． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）已知二次函数的开口向下，则□可能是（    ） A． B． C． D．5 【变式2-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【题型3 二次函数的一般形式】 【例3】把二次函数化为一般形式为：________． 【变式3-1】（24-25九年级上·吉林·月考）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； (2)当时，求的值． 【变式3-3】（24-25九年级上·宁夏固原·月考）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加． (1)求y与x之间的函数关系式；（整理成一般形式） (2)计算当增加面积为8时，x的值是多少． 【题型4 二次函数的各项系数】 【例4】（2025九年级·全国·专题练习）已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 【变式4-1】指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽淮南·月考）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） A． B．1 C．5 D． 【变式4-3】（25-26九年级上·山东德州·月考）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 知识点1 列二次函数关系式考点2 列二次函数关系式 1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 【题型5 列二次函数关系式-面积类】 【例5】一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y与x之间的函数表达式是：________． 【变式5-1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】等边三角形的周长为，面积为，则面积关于周长的函数解析式为________． 【变式5-3】如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长 的函数关系是______． 【题型6 列二次函数关系式-利润类】 【例6】（25-26九年级上·安徽安庆·月考）某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【变式6-2】某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________． 【题型7 列二次函数关系式-增长率类】 【例7】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【变式7-1】（24-25九年级上·浙江温州·月考）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 【变式7-2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25九年级上·辽宁鞍山·月考）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【题型8 列二次函数关系式-循环传播类】 【例8】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【变式8-1】（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【变式8-2】同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m与参加聚会的人数n之间的函数关系式_______________． 【变式8-3】n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数之间的函数关系是______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.1 二次函数的概念（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 二次函数的识别】 1 【题型2 根据二次函数的定义求参数】 3 【题型3 二次函数的一般形式】 5 【题型4 二次函数的各项系数】 6 【题型5 列二次函数关系式-面积类】 9 【题型6 列二次函数关系式-利润类】 10 【题型7 列二次函数关系式-增长率类】 13 【题型8 列二次函数关系式-循环传播类】 14 知识点1 二次函数的概念考点1 二次函数的概念 1. 一般地，形如（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数. 一次项系数 常数项 二次项系数 （a不为0） b,c没有 条件限制 必须化为一般形式， 方可判断各项的系数 2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0. 3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义. 【题型1 二次函数的识别】 【例1】（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 【变式1-1】（25-26九年级上·上海虹口·月考）函数______二次函数．（填“是”或者“不是”） 【答案】是 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，解题的关键是掌握二次函数的定义． 通过将函数表达式化为一般形式，判断其是否符合二次函数的定义． 【详解】解：函数可展开为，该形式为，其中，因此是二次函数． 故答案为：是． 【变式1-2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）给出下列函数：①；②；③；④．其中是二次函数的有______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：①不是二次函数； ②是一次函数，不是二次函数； ③不是二次函数； ④是二次函数； 综上，是二次函数的有④， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数，二次函数的定义，即可判断． 【详解】解：∵一次函数的形式为（，、为常数），二次函数的形式为（，、、为常数） ①当一定时，令（为常数且），则，符合二次函数的形式，∴与满足二次函数关系，故A不符合题意，B符合题意； ②当一定时，令（为常数且），则，符合一次函数的形式，∴与满足一次函数关系，故C、D不符合题意．. 故选：B． 【题型2 根据二次函数的定义求参数】 【例2】如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴ 解得 此时函数为，满足二次函数的定义． 故选：D． 【变式2-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）已知二次函数的开口向下，则□可能是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数性质是解题的关键． 二次函数开口向下需二次项系数为负，且□应为常数以保证函数为二次函数． 【详解】解：A、代入后函数变为 ，不是二次函数，故选项不符合题意； B、代入后，开口向下，故选项符合题意； C、代入后，不是二次函数，故选项不符合题意； D、代入后，开口向上，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 【题型3 二次函数的一般形式】 【例3】把二次函数化为一般形式为：________． 【答案】 【分析】先利用整式的乘法得到y=-4（x-3+2x2-6x），然后去括号合并即可得到二次函数的一般式． 【详解】y=−4(1+2x)(x−3)=−4(x−3+2x2−6x)=−8x2+20x+12， 故答案为y=−8x2+20x+12. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式. 【变式3-1】（24-25九年级上·吉林·月考）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 【变式3-2】已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)；，， (2) 【分析】（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值即可； （2）把代入函数解析式求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴，，； （2）解：把代入函数解析式得： ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的一般形式，求二次函数值，解题的关键是熟练掌握二次函数性质，准确计算． 【变式3-3】（24-25九年级上·宁夏固原·月考）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加． (1)求y与x之间的函数关系式；（整理成一般形式） (2)计算当增加面积为8时，x的值是多少． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是二次函数的应用，解一元二次方程以及二次函数的定义，熟知一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． （1）根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y与x的函数关系式； （2）结合（1）得到的函数关系式，令，解方程，取符合实际的值即可． 【详解】（1）解：∵矩形的长为，宽为， ∴矩形的面积． ∵矩形的长与宽都增加， ∴增加后矩形的面积， ∴，即， 故y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，令，即， ∴， 解得：（舍去）或， ∴x的值是1． 【题型4 二次函数的各项系数】 【例4】（2025九年级·全国·专题练习）已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答． 根据二次函数的解析式得出，，的值，再代入即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为： ． 【变式4-1】指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽淮南·月考）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 根据二次函数的定义得出二次项系数、一次项系数、常数项，再相加计算即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是， ∴二次项系数、一次项系数、常数项的和为， 故选：A． 【变式4-3】（25-26九年级上·山东德州·月考）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 知识点1 列二次函数关系式考点2 列二次函数关系式 1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 【题型5 列二次函数关系式-面积类】 【例5】一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y与x之间的函数表达式是：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数表达式，解题的关键是找到相应的等量关系． 根据正方形的面积公式列出函数表达式即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 【变式5-1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 【变式5-2】等边三角形的周长为，面积为，则面积关于周长的函数解析式为________． 【答案】 【分析】直接利用等边三角形的性质得出AD的长，再利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D． ∵等边三角形的周长为C，∴AB=BC=AC=，∴DC=BD=，∴AD==C，∴S=×C×=C2． 故答案为S=C2． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形的高是解题的关键． 【变式5-3】如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长 的函数关系是______． 【答案】/ 【分析】由已知图形可以分析得到矩形的长为cm，宽为cm，由面积公式即可计算得到正确答案． 【详解】解：∵正方形的边长是，且 ∴矩形的长的长为cm，宽的长为cm ∴矩形的面积为： 故答案为： 【点睛】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键． 【题型6 列二次函数关系式-利润类】 【例6】（25-26九年级上·安徽安庆·月考）某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润（售价进价）销量列函数关系式即可． 【详解】解：设该商品的销售单价为元个， 则每个某商品的利润为：元，销量为：， 则每天的利润， 故选：D． 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 【变式6-2】某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，利用每天售出服装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出y关于x的函数关系式，再结合要确保盈利且日销售量为整数，即可得出x的取值范围． 【详解】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，每天售出服装的利润为y元，由题意得： ， 又∵要确保盈利，且日销售量为整数， ∴，且x为偶数， ∴y关于x的函数解析式为（，x为偶数）． 故选：A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【变式6-3】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的求解，理解题意是解决本题的关键． 根据表中数据确定销售量y与销售单价x成一次函数关系，再利用利润公式建立w与x的二次函数关系即可． 【详解】解：由表可知，销售量y与销售单价x满足一次函数关系，设， 将点和代入， 得， 解得， ∴， ∴日销售利润销售收入总成本 ． 故答案为：． 【题型7 列二次函数关系式-增长率类】 【例7】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25九年级上·浙江温州·月考）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 【变式7-3】（24-25九年级上·辽宁鞍山·月考）某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 【题型8 列二次函数关系式-循环传播类】 【例8】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 【变式8-1】（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 【变式8-2】同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m与参加聚会的人数n之间的函数关系式_______________． 【答案】 【分析】根据参加聚会的人数以及握手方式，求解即可． 【详解】解：n位同学中，因为每人除自己之外都要与其余同学分别握手一次，即握（）次手， 考虑到两位同学彼此的握手只算一次，所以n位同学共握手次． 即 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出函数关系式． 【变式8-3】n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数之间的函数关系是______． 【答案】 【分析】n个球队都要与除自己之外的（n-1）球队个打一场，因此要打n（n-1）场，然而有重复一半的场次，故比赛场次为n（n-1），得出关系式． 【详解】解：m=n（n-1）=n2-n， 故答案为：m=n（n-1）=n2-n． 【点睛】考查函数关系式的求法，在具体的情景中，蕴含数量之间的关系，理解和发现数量之间的关系是正确解答的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $