26.2.1二次函数y=ax²的图象与性质（讲义，1大知识12大题型）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²的图象与性质这一核心知识点，系统梳理其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值等关键内容，通过表格对比a>0与a<0时的性质差异，构建二次函数学习的基础支架，为后续复杂二次函数解析式的学习奠定逻辑基础。 该资料以数形结合为特色，通过表格直观呈现函数性质培养几何直观（数学眼光），分12类题型设计典例与变式，从基础判断到综合应用提升推理能力（数学思维），结合各地期末真题的即学即练帮助学生用数学语言解决问题（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质 知识点一 二次函数y=ax2的图像和性质 二次函数的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，其图像与性质如下表： 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大； x＜0时，y随x的增大而减小. x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大. 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0. 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0. 【解读】 1)利用数形结合能直观地反映出函数 (a≠0)的性质，结合图像去分析是解决问题的有效途径. 2)在二次函数 (a≠0)的图像中，抛物线以对称轴为“界”，顶点为“限”，在对称轴的左侧和右侧，它的增减性恰好相反. 3）几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 即学即练 1．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）关于函数，下列叙述错误的是（   ） A．函数图象经过原点 B．函数图象的顶点坐标为 C．函数图象开口向下 D．函数图象的对称轴为y轴 2．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·四川广安·一模）若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 4．（25-26九年级上·北京西城·月考）点在上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 5．（25-26九年级上·广西崇左·月考）已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型01 根据二次函数的解析式判断其性质 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·北京昌平·期中）下列关于二次函数的说法正确的是(  ) A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0 C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）关于二次函数，下列说法中不正确的是（    ） A．当时，的对称轴是轴 B．当时，总取正值 C．当时，函数图象有最高点 D．当时，随着的增大而增大 3．（23-24九年级上·四川泸州·月考）下列说法错误的是（   ） A．抛物线（）中，越大图像开口越小，越小图像开口越大 B．二次函数中，当 时，有最大值0 C．二次函数中，当时，随的增大而增大 D．不论是正数还是负数，抛物线（）的顶点一定是坐标原点 题型02 比较不同 a 值对应的抛物线开口宽窄 对于抛物线 (a≠0)，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口程度，|a|越大，抛物线开口越小，|a|相等，说明抛物线的开口大小相同. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河南新乡·期中）有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 变｜式｜巩｜固 1．在同一坐标系中画出的图象，正确的是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25九年级上·山东临沂·月考）如图所示四个二次函数的图像中，分别对应的是①；②；③；④．比较的大小，用“”连接：_____________． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期中）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 4．（22-23九年级上·山东烟台·期中）关于函数的图象，下列叙述正确的是（    ）． A．的值越大，开口越大 B．的绝对值越大，开口越大 C．的绝对值越大，开口越小 D．的值越小，开口越小 题型03 已知二次函数开口方向求相关参数或解析式 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·江西宜春·月考）若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 2．（25-26九年级上·贵州安顺·期中）已知二次函数，请写出一个二次函数，要求它的图象与函数的图象开口大小相同、方向相反，则________． 3．（21-22九年级上·上海静安·期末）如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最_________点（填“高”或“低”） 题型04 已知抛物线上一点坐标，求参数a的值 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·北京石景山·月考）若点在函数的图象上，则________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·上海·课后作业）若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为____． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数 的图象过点，则必在该图象上的点还有 （    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西延安·月考）已知是关于x的二次函数． (1)若函数图象有最低点，求k的值； (2)判断点是否在（1）中的函数图象上． 题型05 已知自变量求函数值，或已知函数值求自变量 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级上·江苏苏州·月考）点在函数的图象上，则代数式的值等于____． 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若点在二次函数的图像上，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．7 3．（22-23九年级上·山东临沂·阶段检测）根据如图所示的程序计算函数值． （1）当输入的的值为时，输出的结果为______________； （2）当输入的数为__________时，输出的值为． 4．（24-25九年级下·重庆·开学考试）对于二次函数，已知当x由1增加到2时，函数值减少6，则常数a的值是 _______． 题型06 比较抛物线上两点的函数值大小 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·重庆·月考）已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）点都在二次函数的图象上，则的大小（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽亳州·一模）已知点和点都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．以上结果都有可能 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知，是二次函数的图象上的两点．若，则__________ ． 题型07 画二次函数图象 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·广西南宁·月考）用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请按照要求回答下列问题：    (1)在表格内填空； x … 0 1 2 … … 8 … (2)在平面直角坐标系中画函数的图象； (3)观察图象回答问题： 当_________时，y随x的增大而_________； 当_________时，y随x的增大而_________． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·青海西宁·月考）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)画出此抛物线图像并写出三条性质 2．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段检测）通过课本上对函数的学习，我们积累了研究函数性质的经验，以下是探究函数，的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题． (1)完成表格 … 0 1 2 … … 2 3 4 3 … … 2 n 0 2 … ___________；___________． (2)在同一平面直角坐标系中，根据表中数值画出这两个函数的图象；并写出这两个函数图象共有的一条性质：___________． (3)观察画出的图象，直接写出使的自变量的取值范围． 题型08 二次函数增减性与含参问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东滨州·期中）若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知：是二次函数，且当时，随的增大而减小，则的值为 ________ ． 3．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）已知是关于的二次函数，且当时，随的增大而减小，求的值． 题型09 二次函数的最值问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·四川德阳·月考）对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级上·河北·月考）当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·天津·月考）已知二次函数有最小值，则的取值范围是______． 3．（25-26九年级上·山东淄博·月考）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 题型10 二次函数对称问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变｜式｜巩｜固 1．（21-22九年级·广东河源·月考）若点在抛物线上，则点的坐标是_________，点关于轴的对称点的坐标是______________． 2．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）若点在抛物线上，则点A关于原点对称点的坐标为________． 题型11 二次函数与一次函数交点问题 典｜例｜精｜析 1．（22-23九年级上·山东德州·月考）抛物线与直线的一个交点坐标是，则另一个交点坐标是__________． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级上·贵州遵义·月考）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是______ 2．（23-24九年级上·浙江金华·月考）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为______． 3（21-22九年级上·广东惠州·期中）抛物线与直线交于点． （1）求，的值； （2）求抛物线与直线的两个交点，的坐标（点在点右侧）． 题型12 二次函数与几何图形综合 典｜例｜精｜析 1．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽滁州·月考）如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点．当点A在抛物线上运动的过程中，有以下结论：①；②；③的面积为定值；④直线必过一定点．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质 知识点一 二次函数y=ax2的图像和性质 二次函数的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，其图像与性质如下表： 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大； x＜0时，y随x的增大而减小. x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大. 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0. 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0. 【解读】 1)利用数形结合能直观地反映出函数 (a≠0)的性质，结合图像去分析是解决问题的有效途径. 2)在二次函数 (a≠0)的图像中，抛物线以对称轴为“界”，顶点为“限”，在对称轴的左侧和右侧，它的增减性恰好相反. 3）几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 即学即练 1．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）关于函数，下列叙述错误的是（   ） A．函数图象经过原点 B．函数图象的顶点坐标为 C．函数图象开口向下 D．函数图象的对称轴为y轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，由表达式得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，由此即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标为，图象经过原点，故选项AB正确，不符合题意， ，二次函数开口向上，C选项错误，符合题意； 对称轴为y轴，选项D正确，不符合题意， 故选：C． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象经过点，故把代入，得，解得，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入，得， 解得， 故选：C． 3．（2025·四川广安·一模）若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质．抛物线开口向上时，二次项系数需大于零．据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，即． ∴选项中只有满足条件． 故选：C． 4．（25-26九年级上·北京西城·月考）点在上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质， 通过代入x值计算y值，然后比较大小． 【详解】∵点在上， ∴； ∵点在上， ∴； ∵， ∴． 故选：A． 5．（25-26九年级上·广西崇左·月考）已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定开口方向，求二次函数在的取值范围，需确定其在此范围内的最小值和最大值． 【详解】解：∵是开口向上的抛物线，顶点在， ∴ 当时，为最小值， 当时，； 当时，， ∴在时， 最大值为9， 因此 y 的取值范围是． 故选：C． 题型01 根据二次函数的解析式判断其性质 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·北京昌平·期中）下列关于二次函数的说法正确的是(  ) A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0 C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的基本性质，包括对称轴、最值和增减性．二次函数的二次项系数为正，图像开口向上，对称轴为轴(即)，在对称轴左侧随增大而减小． 【详解】解： ∵二次函数， ∴，图像开口向上，对称轴为． 对于选项A：当时，，∴A错误． 对于选项B：当时，，为最小值，不是最大值，∴B错误． 对于选项C：对称轴为，不是，∴C错误． 对于选项D：当时，随增大而减小，∴D正确． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）关于二次函数，下列说法中不正确的是（    ） A．当时，的对称轴是轴 B．当时，总取正值 C．当时，函数图象有最高点 D．当时，随着的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质分别判断即可． 【详解】解：A、二次函数的对称轴为轴，故原说法错误，符合题意； B、由于，则，而，故，故原说法正确，不符合题意； C、当时，开口向下，函数图象有最高点，说法正确，不符合题意； D、当时，随着的增大而增大，说法正确，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24九年级上·四川泸州·月考）下列说法错误的是（   ） A．抛物线（）中，越大图像开口越小，越小图像开口越大 B．二次函数中，当 时，有最大值0 C．二次函数中，当时，随的增大而增大 D．不论是正数还是负数，抛物线（）的顶点一定是坐标原点 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 抛物线（）中，越大图像开口越小，越小图像开口越大，故该选项不正确，符合题意； B. 二次函数中，当 时，有最大值0，故该选项正确，不符合题意； C. 二次函数中，当时，随的增大而增大，故该选项正确，不符合题意； D. 不论是正数还是负数，抛物线（）的顶点一定是坐标原点，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数（）的性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 题型02 比较不同 a 值对应的抛物线开口宽窄 对于抛物线 (a≠0)，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口程度，|a|越大，抛物线开口越小，|a|相等，说明抛物线的开口大小相同. 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·河南新乡·期中）有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小．比较三个函数的值即可得出开口大小顺序． 【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小， 对于①，； 对于②，； 对于③，． 从小到大为：②③①， 故开口从大到小为：②③①，即②③①． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．在同一坐标系中画出的图象，正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．根据二次函数开口大小和方向与a的关系，分析得出答案． 【详解】解：依题意，开口向下，和开口向上，且开口较小，开口较大， 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东临沂·月考）如图所示四个二次函数的图像中，分别对应的是①；②；③；④．比较的大小，用“”连接：_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．取，把它代入函数解析式，其函数值分别等于二次项系数，结合图像作出比较即可． 【详解】解：∵直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，如图， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期中）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；越大，抛物线的开口越小，即可解答，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线：和的对称轴都是轴，顶点坐标都是，开口方向都向上，而抛物线的开口比抛物线的开口大， ∴和原图象相比，发生改变的是开口大小， 故选：B． 4．（22-23九年级上·山东烟台·期中）关于函数的图象，下列叙述正确的是（    ）． A．的值越大，开口越大 B．的绝对值越大，开口越大 C．的绝对值越大，开口越小 D．的值越小，开口越小 【答案】C 【分析】抛物线的开口方向由a的符号确定，开口大小由确定，据此回答． 【详解】解：因为越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的开口，开口大小由确定：越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大． 题型03 已知二次函数开口方向求相关参数或解析式 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·江西宜春·月考）若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质．由抛物线开口方向可求得a的取值范围，可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象是一条开口向下的抛物线， ∴， ∴， 观察发现只有选项A符合题意， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】理解二次函数解析式，决定抛物线的形状，开口向上，开口向下；由题意可得，进而由开口方向确定具体值． 【详解】解：由题意知，或， ∵开口方向相反， ∴． 故选：D 2．（25-26九年级上·贵州安顺·期中）已知二次函数，请写出一个二次函数，要求它的图象与函数的图象开口大小相同、方向相反，则________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数a的符号决定，开口大小由决定，要求开口大小相同、方向相反，故a取相反数． 【详解】解：对于二次函数，其二次项系数为2，因此图象开口向上，且开口大小由决定， 要使的图象与的图象开口大小相同，则；方向相反，则， 故， 因此． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（21-22九年级上·上海静安·期末）如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最_________点（填“高”或“低”） 【答案】低 【分析】根据抛物线的形状开口方向向上即可得出结果． 【详解】解：∵抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，抛物线中，a=>0开口方向向上， ∴该抛物线有最低点， 故答案为：低． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的图象开口向上是解题的关键． 题型04 已知抛物线上一点坐标，求参数a的值 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·北京石景山·月考）若点在函数的图象上，则________． 【答案】 【分析】把代入函数解析式，建立方程求解即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，掌握待定系数法是解本题的关键． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·上海·课后作业）若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，关键是二次函数的对称轴的确定； 函数的对称轴为轴，点关于轴的对称点即为点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：∵的对称轴是：直线， ∵点在函数的图象上， ∴关于直线对称， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数 的图象过点，则必在该图象上的点还有 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性即可判断，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数 的图象的对称轴为轴， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴点必在该图象上， 故选：． 3．（24-25九年级上·陕西延安·月考）已知是关于x的二次函数． (1)若函数图象有最低点，求k的值； (2)判断点是否在（1）中的函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的定义，二次函数的性质： （1）根据二次函数的定义可得，则，再由函数有最低点，即二次项系数大于0，据此求解即可； （2）根据（1）所求求出当时的函数值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， ∵函数图象有最低点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得函数解析式为， 当时，， ∴断点不在（1）中的函数图象上． 题型05 已知自变量求函数值，或已知函数值求自变量 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像的性质，根据抛物线关于轴对称的性质，由于点和点的纵坐标相同，因此它们的横坐标互为相反数，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为轴，且点和的纵坐标均为， 点和点关于轴对称， ， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级上·江苏苏州·月考）点在函数的图象上，则代数式的值等于____． 【答案】 【分析】先把代入二次函数图象图象上，求出，再将化简，然后代入即可求出结论． 【详解】∵点在函数图象上， ∴， 由， ∴原式， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若点在二次函数的图像上，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．7 【答案】C 【分析】该题考查了二次函数图像上点的特征，算术平方根，根据题意求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵点在二次函数的图像上， ∴， ∴， 故选：C． 3．（22-23九年级上·山东临沂·阶段检测）根据如图所示的程序计算函数值． （1）当输入的的值为时，输出的结果为______________； （2）当输入的数为__________时，输出的值为． 【答案】 6或 【分析】观察图形可知，输入后选择适用的关系式：当时，；当时，；当时，．然后根据的值来确定计算程序． 【详解】解：（1）∵，， ∴代入计算，输出的结果为：． 故答案为：． （2）输出值，， 输入的的取值范围不可能为； 对于，当时，得， 解得； 对于，当时，得， 解得． 故答案为：6或． 【点睛】本题考查求二次函数的函数值、一次函数自变量的值，解题的关键是看懂题目中的程序流程图． 4．（24-25九年级下·重庆·开学考试）对于二次函数，已知当x由1增加到2时，函数值减少6，则常数a的值是 _______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别代入的值，再相减是解题的关键．分别计算出自变量为1和2时的函数值，再利用函数值减少6，列方程，然后解此一元一次方程即可． 【详解】解：当时，； 当时，， 所以，解得． 故答案为：． 题型06 比较抛物线上两点的函数值大小 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·重庆·月考）已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键． 根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点距离对称轴有2个单位长度， 点距离对称轴有0个单位长度， 点距离对称轴有1个单位长度， ∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）点都在二次函数的图象上，则的大小（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵二次函数为 ∴对称轴为轴，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴水平距离越远，函数值越小， ∵ ∴ 故选：C． 2．（2025·安徽亳州·一模）已知点和点都在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．以上结果都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，对称轴是y轴，时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大． 根据时抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴是y轴，离对称轴越远函数值越大． ∵， ∴． 故选C． 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知，是二次函数的图象上的两点．若，则__________ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．确定抛物线的对称轴为y轴，由于抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，于是可判断与的大小． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 题型07 画二次函数图象 典｜例｜精｜析 1．（23-24九年级上·广西南宁·月考）用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请按照要求回答下列问题：    (1)在表格内填空； x … 0 1 2 … … 8 … (2)在平面直角坐标系中画函数的图象； (3)观察图象回答问题： 当_________时，y随x的增大而_________； 当_________时，y随x的增大而_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)0，减少；0，增大 【分析】（1）计算出y的值，即可完成填表； （2）描点、连线画出图象即可； （2）观察图象即可得答案． 【详解】（1）解：如表： x … 0 1 2 … … 8 2 0 2 8 … （2）解：描点、连线，函数的图象如图； （3）解：观察图象得， 当时，y随x的增大而减少； 当时，y随x的增大而增大． 故答案为：0，减少；0，增大． 【点睛】此题主要考查了画二次函数的图象，二次函数图象的性质，关键是正确确定x的值，画出二次函数图象． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·青海西宁·月考）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)画出此抛物线图像并写出三条性质 【答案】(1) (2) (3)①图象开口向下，②对称轴为y轴，③顶点坐标为（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解决问题的关键． （1）将点代入求解即可． （2）将代入（1）中的解析式求值即可． （3）根据开口方向，对称轴，顶点等分析写出性质即可． 【详解】（1）抛物线经过点， 将点代入， 得， 解得． （2）由（1）可知，， ， 当时，． （3）图象如图所示， 则抛物线的性质有，①图象开口向下， ②对称轴为y轴， ③顶点坐标为．（答案不唯一） 2．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段检测）通过课本上对函数的学习，我们积累了研究函数性质的经验，以下是探究函数，的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题． (1)完成表格 … 0 1 2 … … 2 3 4 3 … … 2 n 0 2 … ___________；___________． (2)在同一平面直角坐标系中，根据表中数值画出这两个函数的图象；并写出这两个函数图象共有的一条性质：___________． (3)观察画出的图象，直接写出使的自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析，两个函数图象都关于轴对称 (3) 【分析】（1）把对应的x的取值代入相应解析式，即可求解； （2）利用描点法画出函数图象，即可求解； （3）观察图象可得当时，函数的图象位于函数的图象的上方，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，； 故答案为：； （2）解：两个函数的图象，如图所示， 观察图象得：这两个函数的图象都关于y对称； （3）解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴使的自变量的取值范围为． 【点睛】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键． 题型08 二次函数增减性与含参问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上，在对称轴右侧函数递增；由题意，需要二次项系数，解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴，且当时，随增大而增大， ∴函数图像开口向上， ∴二次项系数， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东滨州·期中）若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 首先根据二次函数的定义，确定指数必须为2，求出m的可能值；再根据函数在时的增减性条件，判断开口方向，从而确定m的符号，得到m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴指数， 解得， ∴． 又∵当时，y随x的增大而增大， 函数为， 当时，开口向下，在时y随x增大而增大， ∴，故． 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知：是二次函数，且当时，随的增大而减小，则的值为 ________ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义以及性质，解题的关键是熟练运用二次函数的定义以及性质．根据二次函数的定义以及性质，求解即可； 【详解】∵ 是二次函数， ∴ ， 解得或， 当时，随的增大而减小， 抛物线开口向下，即， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）已知是关于的二次函数，且当时，随的增大而减小，求的值． 【答案】 【分析】首先根据二次函数的定义可得：，又因为当时，随的增大而减小，可知抛物线的开口向下，所以可知，解一元二次方程可以求出的值，再根据确定的取值范围把不符合条件的解舍去． 【详解】解：是关于的二次函数，且对称轴为， 当时，随的增大而减小， 可知抛物线的开口向下， 可得：， 由得：， 用十字相乘法分解因式可得：， 解得：，， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义和性质．解决本题的关键是根据二次函数的定义得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，再根据二次函数图像的性质确定的取值范围． 题型09 二次函数的最值问题 典｜例｜精｜析 1．（24-25九年级上·四川德阳·月考）对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据的取值范围和函数图象的性质，找到函数取得最大值和最小值时的的取值是解答本题的关键．先判断对称轴和开口方向，再根据的取值范围，结合二次函数的图象，得出最大值和最小值时的的取值，即可得出函数的最大值和最小值． 【详解】解：， 二次函数图象的对称轴为，且开口向上， 在范围内，当时，函数取最小值， 当时，函数取最大值， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级上·河北·月考）当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，对称轴为直线，即轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，即轴，， ∴当时，二次函数有最大值， 由，根据距离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，有最小值， ∴当时，函数的取值范围为， ∴最大值与最小值的和为， 故选：． 2．（24-25九年级上·天津·月考）已知二次函数有最小值，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用二次函数，当时，开口向上，有最小值，即可解答． 【详解】解：∵有最小值， ∴二次函数的图象开口向上， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·山东淄博·月考）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，该函数图象的开口向下 (3)当时，最小值为 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ，即 ∵抛物线顶点坐标为， ∴该函数最小值为． 题型10 二次函数对称问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性与单调性，需结合函数性质逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴为（y轴），在时单调递减，时单调递增，且点到对称轴距离越远，函数值越大． 选项A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确． 选项B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确． 选项C：若，则，∵函数在时单调递增，∴，C正确． 选项D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（21-22九年级·广东河源·月考）若点在抛物线上，则点的坐标是_________，点关于轴的对称点的坐标是______________． 【答案】 【分析】先将点代入抛物线的解析式可得的值，由此即可得点的坐标，再根据关于轴对称的两点的横坐标互为相反数、纵坐标相同即可得出答案． 【详解】解：将点代入抛物线得：， 则点的坐标是， 点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了求二次函数的函数值、点坐标与轴对称变化，熟练掌握求二次函数的函数值的方法是解题关键． 2．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）若点在抛物线上，则点A关于原点对称点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查抛物线上点的坐标特征，求关于原点对称点的坐标，求出点A的坐标是解题的关键． 把把代入，求出a值，即可得出点A的坐标，再根据关于原点对称点的坐标特征：横纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴把代入，得a＝－4， 即点A的坐标是，它关于原点对称点的坐标为． 故答案为：． 题型11 二次函数与一次函数交点问题 典｜例｜精｜析 1．（22-23九年级上·山东德州·月考）抛物线与直线的一个交点坐标是，则另一个交点坐标是__________． 【答案】 【分析】把交点坐标代入抛物线求出m的值，再代入直线求出b的值，最后联立方程组解方程即可得出另一个交点坐标． 【详解】解：将代入得，， ∴交点坐标为， 将其代入直线得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立 ，解得，， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、求一次函数解析式和两函数图象交点的求解方法，求出题中参数m和b的值是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级上·贵州遵义·月考）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线与线段的交点需要在之间，将，分别带入函数求出a的值，抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大，即可得出结果． 【详解】解：由题意可知二次函数经过原点，想要抛物线与线段有交点，如下图： 抛物线与线段的交点需要在之间， 当抛物线经过A点时，，解得：， 当跑五项经过B点时，，解得：， 抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大， ． 故答案为： 2．（23-24九年级上·浙江金华·月考）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为______． 【答案】或/或 【分析】分别画出当抛物线过四边形的四个顶点时的图象，观察图象可得． 【详解】解：把代入，得； 把代入，得，解得； 把代入，得，解得； 把代入，得，解得， 分别画出当抛物线过四边形的四个顶点时的图象，如图， 如图，若抛物线与四边形的边有没有交点， 则a的取值范围为或， 故答案为或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，数形结合是解题的关键． 3（21-22九年级上·广东惠州·期中）抛物线与直线交于点． （1）求，的值； （2）求抛物线与直线的两个交点，的坐标（点在点右侧）． 【答案】（1）；（2）点坐标，点坐标． 【分析】（1）将点代入求出，再把点代入抛物线求出即可． （2）解方程组即可求出交点坐标． 【详解】解：（1）点在直线上， ， 点坐标， 把点代入得到， ． （2）由解得或， 点坐标，，点坐标，． 【点睛】本题考查二次函数性质，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会利用方程组求函数图象交点坐标． 题型12 二次函数与几何图形综合 典｜例｜精｜析 1．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，二次函数与几何综合，解题的关键是对阴影部分的面积进行转换． 根据对称性得到阴影部分面积就是一个圆心角度数为，半径为2的扇形面积是解题的关键． 【详解】解：抛物线与抛物线的图象关于轴对称， 直线中当时，， 直线与轴的正半轴的夹角正切值为，故直线与x轴的正半轴的夹角为，且抛物线和抛物线的图象自身都关于轴对称， ∴根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分面积就是一个扇形面积，并且扇形的圆心角为，半径为2， ， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴的直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法，掌握归纳总结的方法是解题的关键． 由可得，，则可得，则可得，再利用，进行计算即可． 【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点， ∴令，可得纵坐标为，纵坐标为 ， ，， ． ， ． 故选：D． 2．（25-26九年级上·安徽滁州·月考）如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点．当点A在抛物线上运动的过程中，有以下结论：①；②；③的面积为定值；④直线必过一定点．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合，勾股定理，正确的计算是解题的关键． 由点的坐标，根据勾股定理可得②正确，进而可以判断①，由，在抛物线上，得到，结合直线解析式可得，进而判断④，根据割补法进行列式计算，即可判断③． 【详解】解：， ∴ 则， ， 即 ， 即， 故①正确， ，在抛物线上 ， ∵， ， ， 故②正确， ，在抛物线上， ， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， ， 当时，则， 直线必过一定点， 故④正确， 分别过点作轴，作轴， ∴ ∵都是会变化的， 故不为定值， 故③不正确． 故选B 3．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键． 根据正方形性质得和是等腰直角三角形．设的直角边长为，则，代入抛物线的解析式中解得，则的直角边长为，同理可求得等腰直角的直角边长为，依此类推，等腰直角的直角边长为，即可求得其周长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先根据二次函数的解析式求出，，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $