3.3.2 抛物线的简单几何性质 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦抛物线几何性质，通过基础巩固、中档应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的递进，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|标准方程、焦点准线|直接应用定义求方程（如选择1），强化概念辨析| |中档层|直线与抛物线位置关系|结合弦长计算（如填空9）、几何性质综合（如选择6）| |综合层|含参数问题、面积与方程综合|探究性解答（如解答15），培养推理能力与模型观念|

课时作业26 抛物线的简单几何性质 一、选择题 1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝－x　　　　　　　 B．x2＝－8y C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y 2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是(　　) A．8　　　　B．6　　　　C．4　　　　D．2 3．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为(　　) A．(4，2)或(4，-2) B．(4，2)或(-4，2) C．(2,4)或(-2,4) D．(2，4)或(2，-4) 4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　) A．(2，2)或(2，-2) B．(1，2)或(1，-2) C．(1,2) D．(2,2) 5．在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为(　　) 6．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 7．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 8.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,其准线与x轴交于点M,经过点M的直线l与抛物线交于不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法正确的是(　　) A.=5 B.存在∠AMF=50° C.不存在以AB为直径且经过焦点F的圆 D.当△ABF的面积为4时,直线l的倾斜角为 二、填空题 9．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________． 10．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________． 11．已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________． 12.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的方程及抛物线的准线方程为 ． 三、解答题 13．设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x＋m与抛物线W相交于A，B两点，点Q为线段AB的中点． (1)求m的取值范围； (2)求证：点Q的纵坐标为定值． 14．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程． 15．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B． (1)求抛物线C的方程； (2)若|AB|＝8，求k的值． 课时作业26 抛物线的简单几何性质 （答案） 一、选择题 1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝－x　　　　　　　 B．x2＝－8y C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y 解析：选D　若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x.若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y. 2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是(　　) A．8　　　　B．6　　　　C．4　　　　D．2 解析：∵抛物线的方程为y2＝8x， ∴其准线l的方程为x＝－2， 设点P(x0，y0)到其准线的距离为d， 则d＝|PF|， 即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2， ∵点P到y轴的距离是6， ∴x0＝6， ∴|PF|＝6＋2＝8．故选A. 3．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为(　　) A．(4，2)或(4，-2) B．(4，2)或(-4，2) C．(2,4)或(-2,4) D．(2，4)或(2，-4) 解析：抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有 ⇒⇒ 所以符合题意的点为(2，4)或(2，-4)．故选D. 4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　) A．(2，2)或(2，-2) B．(1，2)或(1，-2) C．(1,2) D．(2,2) 解析：由题意知F(1,0)，设A，则＝，＝，由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，2)或(1，-2)，故选B． 5．在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为(　　) 解析：选D　将方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0转化为＋＝1与y2＝－x，所以椭圆的焦点在y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左．故选D. 6．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 解析：选C　∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过定点(1,0)．∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 7．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2. 由得x2－4x＋1＝0， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝1. ∴|AB|＝ ＝＝＝2. 8.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,其准线与x轴交于点M,经过点M的直线l与抛物线交于不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法正确的是(　　) A.=5 B.存在∠AMF=50° C.不存在以AB为直径且经过焦点F的圆 D.当△ABF的面积为4时,直线l的倾斜角为 解析：对A项,由题意得F(1,0),准线方程为x=-1,则M(-1,0),显然当直线AB的斜率为0,即直线AB的方程为y=0,此时不合题意,设直线AB的方程为x+1=my,联立抛物线方程y2=4x,得y2-4my+4=0,Δ=16m2-16>0,解得m>1或m<-1,y1+y2=4m,y1·y2=4,=4x1,=4x2,则=16x1x2,16=16x1x2,则x1x2=1,=(x1,y1),=(x2,y2),则=x1x2+y1y2=1+4=5,A正确;对B项,当直线AB与抛物线相切时,∠AMF最大,则Δ=16m2-16=0,解得m=±1,根据抛物线对称性取m=1分析:此时直线方程为y=x+1,此时直线斜率为1,则∠AMF=45°,因此不存在∠AMF=50°,B错误;对C项,假设存在以AB为直径且经过焦点F的圆,则=0,=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),则=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+y1y2+1=0,x1+x2=my1-1+my2-1=m(y1+y2)-2=4m2-2, 即2-(x1+x2)+y1y2=0,即2-(4m2-2)+4=0,m=±,满足m>1或m<-1,即存在以AB为直径且经过焦点F的圆,C错误;对D项,S△ABF=|MF||y2-y1|=2=4,即m=±,此时直线斜率为±,则直线l的倾斜角为,故D正确. 故选AD. 二、填空题 9．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________． 解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3， ∴＝＝＝2. ∴所求点的坐标为(3,2)． 答案：(3,2) 10．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________． 解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝＝＝＝.所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝. 答案： 11．已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________． 解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′.由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2.又|PQ|＝y0＋，所以y0＋＝2，解得y0＝. 答案： 12.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的方程及抛物线的准线方程为 ． 解析：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3和x＝3． 答案：x＝－3和x＝3． 三、解答题 13．设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x＋m与抛物线W相交于A，B两点，点Q为线段AB的中点． (1)求m的取值范围； (2)求证：点Q的纵坐标为定值． 解：(1)直线l：y＝x＋m与抛物线W联立得x2＋(2m－4)x＋m2＝0， ∴Δ＝(2m－4)2－4m2＞0，解得m＜1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2，则点Q的纵坐标为＝＝2. ∴点Q的纵坐标为定值2. 14．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程． 解：如图，依题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)， 则直线方程为y＝－x＋p. 设直线交抛物线于A(x1，y1)， B(x2，y2)， 过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则由抛物线定义，得 |AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋， 即x1＋x2＋p＝8.① 又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点， 由 消去y，得x2－3px＋＝0. 所以x1＋x2＝3p，② 将②代入①，得p＝2. 所以抛物线的标准方程为y2＝4x. 当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时， 同理可求得抛物线标准方程为y2＝－4x. 故抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x. 15．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B． (1)求抛物线C的方程； (2)若|AB|＝8，求k的值． 解：(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－， 由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2． 所以抛物线的方程为y2＝4x． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0， ∴x1＋x2＝． ∵直线l经过抛物线C的焦点F， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8， 解得k＝±1， 所以k的值为1或－1． 学科网（北京）股份有限公司 $