3.3.2 抛物线的简单几何性质同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦抛物线几何性质，通过基础认知、理解应用、综合拓展三层设计，实现从单一性质判断到综合问题解决的知识巩固路径，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|抛物线开口方向、大小比较|选择填空结合，如判断开口方向（题1-3）、比较开口大小（题5），夯实概念理解| |理解应用|范围、对称性|解答题逐步深化，如范围最值（题7-9）、对称性判断（题11-13），发展数学思维| |综合拓展|对称性应用及参数求解|综合问题探究，如与圆结合（题19）、轨迹方程（题22），提升数学语言表达与创新意识|

3.3.2 抛物线的简单几何性质 题型一 判断抛物线的开口方向 1．已知圆的圆心为抛物线的顶点，且圆经过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 3．抛物线的准线方程是，则实数___________. 4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且过点. (1)求抛物线的方程； (2)若点也在抛物线上，且，求线段的长. 题型二 比较抛物线的开口大小 5．在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 6．在同一坐标系中画出下列抛物线：再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系. （1） （2）； （3）. 题型三 抛物线的范围 7．已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 9．设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 10．动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点为曲线与抛物线的一个公共点，点. ①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围. 题型四 求抛物线的对称性 11．设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（   ） A． B． C． D． 12．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 13．抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是__________． 14．在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2. （1）求点的轨迹的方程； （2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由. 题型五 抛物线的对称性的应用 15．已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 16．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为2 17．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为______． 18．已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 题型六 根据抛物线的对称性求相关参数 19．设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 20．已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（    ） A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个 B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个 C．使得的点M有且仅有4个 D．使得的点M有且仅有4个 21．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为__________. 22．已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 抛物线的简单几何性质 题型一 判断抛物线的开口方向 1．已知圆的圆心为抛物线的顶点，且圆经过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到圆的圆心坐标为，再根据圆经过点求得半径即可. 【详解】解：因为抛物线的顶点坐标为， 所以圆的圆心坐标为， 又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为 故选：B 2．对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【答案】AC 【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案. 【详解】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误； C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确； D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AC. 3．抛物线的准线方程是，则实数___________. 【答案】/ 【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数. 【详解】抛物线化为标准方程：， 其准线方程是，而 所以 ，即 ， 故答案为： 4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且过点. (1)求抛物线的方程； (2)若点也在抛物线上，且，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线的方程，将点A代入，即可求得抛物线的标准方程； （2）由，可得直线的方程，代入抛物线方程得到点坐标，再求线段的长. 【详解】（1）抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且过点，则抛物线开口向上， 设抛物线，因为抛物线过点，所以，解得. 所以所求的抛物线方程为； （2）因为，所以， 由，所以 所以的方程，由解得， 所以，即线段的长为. 题型二 比较抛物线的开口大小 5．在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 6．在同一坐标系中画出下列抛物线：再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系. （1） （2）； （3）. 【答案】图形见详解，由图可知：的系数越大，抛物线的开口越大. 【分析】由抛物线方程结合图形可知，的系数越大，抛物线的开口越大. 【详解】    由图可知：的系数越大，抛物线的开口越大. 题型三 抛物线的范围 7．已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 8．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定方程，求出焦点坐标及准线方程判断AB；利用抛物线的定义，结合范围求解判断CD. 【详解】对于AB，由抛物线方程，得其焦点，准线方程为，A错误，B正确； 对于C，由及，得，则，C正确； 对于D，依题意，，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 9．设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________． 【答案】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 10．动点到直线与直线的距离之积为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点为曲线与抛物线的一个公共点，点. ①求的取值范围；②当，且时，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1)或. (2)①；②. 【分析】（1）根据给定条件，利用点到直线距离公式列式化简即得. （2）①联立的方程与抛物线方程，用表示并建立不等式求出范围；②利用斜率坐标公式，结合二次函数性质求出范围. 【详解】（1）依题意，，化简得， 所以曲线的方程为：或. （2）①由（1）可知，或， 当时，由，得，而，，无解； 当时，由，得，由，解得， 所以的取值范围为. ②直线的斜率，由①知，且， 令，则，则， 当，即时，， 当，时，， 所以直线的斜率取值范围为. 题型四 求抛物线的对称性 11．设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，根据图形分别表示出和即可得解. 【详解】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为，则其焦点为， 点是的准线与的对称轴的交点，其坐标为， 点在上，设为，若，则， 且，则. 故选：B. 12．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 13．抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是__________． 【答案】1或9 【分析】设该点的坐标为，根据题中条件列出方程组求解即可. 【详解】抛物线的准线方程为，对称轴为轴， 设该点的坐标为， 由题意可得，，则， 即，解得或， 因为，所以或. 故答案为：1或9. 14．在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2. （1）求点的轨迹的方程； （2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由. 【答案】（1）；（2）对称性：曲线关于轴对称；顶点：；范围：曲线在直线右侧，且右上方和右下方无限延伸.理由见解析 【分析】（1）设，根据题意列出等量关系，化简整理，即可得出结果； （2）根据由抛物线向右平移一个单位得到，结合抛物线的性质，即可得出结果. 【详解】（1）由题意可得：动点到直线的距离与到的距离相等， 设，则， 化简整理，可得， 所以点的轨迹的方程为； （2）由（1）得的方程为； 即由抛物线向右平移一个单位得到； 所以曲线也关于轴对称，顶点为，范围为，. 题型五 抛物线的对称性的应用 15．已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设，，讨论点的坐标为或者，即可根据，求出p的值，即可求得答案. 【详解】由抛物线的方程，得， 由抛物线的对称性，不妨设，， 当点的坐标为时，，， 因为，所以，则（不合题意，舍去）； 当点的坐标为时，， 因为，所以，则， 所以抛物线的准线方程为， 故选：A． 16．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为2 【答案】ACD 【分析】先根据对称性求出抛物线的方程即可求出焦点坐标及准线，准线和焦点距离分别判断A，C，D，再代入判断函数的对称性判断B. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线为， 所以抛物线的焦点坐标是，抛物线的准线方程为， 抛物线的焦点到准线的距离为2，A,C,D选项正确； 代入抛物线为不成立，所以抛物线不关于轴对称，B选项错误. 故选：ACD. 17．已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为______． 【答案】 【分析】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，不妨取在第一象限，根据对称性求出点坐标，代入抛物线方程中可得答案． 【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 故答案为：. 18．已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1)，焦点； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出焦点的坐标，再联立直线与抛物线方程求出值即可得解. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，再求出直线的方程，并联立求出交点的横坐标即可. 【详解】（1）抛物线：的焦点，则直线，由得， 依题意，，解得， 所以抛物线的方程为，焦点. （2）由抛物线对称性，不妨令点在上方，由（1）知，, 显然直线不垂直于坐标轴，设其方程为，，， 由消去得：，显然，， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 由消去得：， 整理得， 因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上.    题型六 根据抛物线的对称性求相关参数 19．设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解． 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以．    20．已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（    ） A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个 B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个 C．使得的点M有且仅有4个 D．使得的点M有且仅有4个 【答案】ABD 【分析】为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点；为直角三角形，考虑直角顶点，结合图形，可得有4个点；考虑直线，与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得有2个；考虑直线，代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点有4个． 【详解】如图，    由为等腰三角形，若，则有两个点；若，则不存在，若，则有两个点，则使得为等腰三角形的点有且仅有4个,故A正确； 由中为直角的点有两个；为直角的点不存在；为直角的点有两个，则使得为直角三角形的点有且仅有4个，故B正确； 若的在第一象限，可得直线，代入抛物线的方程可得，解得，由对称性可得在第四象限只有一个，则满足的有且只有2个，故C错误； 使得的点在第一象限，可得直线， 代入抛物线的方程，可得，， 可得点有2个；若在第四象限，由对称性可得也有2个，则使得的点有且只有4个，故D正确． 故选：ABD 21．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为__________. 【答案】或 【分析】由题设有且，关于轴对称，若，结合，有，则，即可求参数值. 【详解】由题设的焦点为，且为已知圆的圆心， 又的半径，其与抛物线有两个交点，则， 由交点为，它们关于轴对称，若，又， 则，所以， 当，可得（负值舍）；当，可得（负值舍）； 综上，或. 故答案为：或 22．已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）由题意可得上的任意点到点的距离等于它到直线的距离，根据抛物线的定义即可求解； （2）由题意可设直线方程为,由题可得与有两个不同交点,根据韦达定理及根的判别式可得的中点坐标及的取值范围，根据的中点坐标在直线上即可求解. 【详解】（1）因为上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1， 所以上的任意点到点的距离等于它到直线的距离， 所以曲线是以为焦点的抛物线. 因为曲线在轴右侧， 所以曲线的方程是. （2）设关于直线对称，所以. 设直线方程为, 代入,得. 因为与有两个不同交点, 所以,解得. 当直线经过原点时，, 所以且. 所以, , 所以中点坐标为. 又中点坐标为在直线上, 所以,即, 因为且，所以且. 所以的取值范国是.    1 学科网（北京）股份有限公司 $