4.7 函数零点问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数零点这一高考核心考点，按定义理解、定理应用、方法提炼到分题型突破的逻辑架构，系统整合零点个数判断、参数范围求解、隐零点处理及max/min函数零点四大题型，通过考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生构建完整解题体系。 讲义以数学思维与数学语言为导向，创新采用“题型-方法-素养”三维教学模式，如隐零点问题通过“范围确定-整体代入”策略培养推理能力，参数范围问题结合参变分离与分类讨论发展模型意识。设置分层练习与即时反馈，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

§4.7 函数零点问题 目录 题型1：函数零点个数的判断与证明 3 题型2：由零点个数求参数取值范围 4 题型3：隐零点问题 5 题型4：max/min函数零点 6 1. 函数零点的定义 对于函数，使的实数叫做函数的零点。函数的零点就是方程的实数根，也是函数的图象与轴交点的横坐标。 注意 函数的零点是一个实数，而不是一个点（坐标）。 2. 零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得。 注意 (1)零点定理仅能判断零点的存在性，不能确定零点的个数； (2)若在内单调，则在内至多有一个零点，此时结合可确定恰有一个零点； (3)若在内不单调，则需进一步结合单调性和极值分析零点个数。 3. 利用导数研究零点的一般思路 利用导数研究函数零点问题（或方程根的个数问题）的一般思路： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值（最值）、端点值等性质，进而画出其大致图象； 第三步：结合图象（或性质）判断零点个数，或根据零点情况分析参数取值范围。 4. 函数零点的常见研究方法 (1) 直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。 (2) 零点存在性定理法：利用定理不仅要函数在区间上连续且，还必须结合函数的单调性才能确定零点个数。 (3) 数形结合法：将函数变形为两个函数的差（如），画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。 (4) 构造函数法：对于较复杂方程的根的问题，可构造辅助函数，利用该函数的性质（单调性、极值等）研究零点。 (5) 同构法：将方程变形为的形式，利用的单调性得到，从而简化问题。 (6) 隐零点法：当零点不易求出时，设出零点(设而不求)，利用零点满足的关系式整体代入求解或证明。 题型1：函数零点个数的判断与证明 方法提炼 (1) 判断函数零点个数的一般步骤：①求导，确定函数的单调区间和极值；②计算端点值和极值，判断函数值符号变化；③在每个单调区间上应用零点存在性定理，确定零点个数；④综合各区间零点个数，得出结论。 (2) 证明"恰有个零点"时，需证明两个方面：一是存在性（利用零点定理证明至少有个零点），二是唯一性（利用单调性证明每个区间至多一个零点）。注意分析函数在端点附近的趋向（如时的趋向），这对判断零点个数至关重要。 【例1.1.】 已知函数在处有极值，且极值为8，则的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1.2.】 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． 【例1.3.】 已知，函数，. (1)证明：函数，都恰有一个零点； (2)设函数的零点为，的零点为，证明. 【例1.4.】 已知函数．实数，讨论关于x的方程的解的个数． 【例1.5.】 已知函数和有相同的最大值. (1)求，并说明函数在（1，e）上有且仅有一个零点； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 【例1.6.】 设. （1）讨论在上的单调性； （2）令，试证明在上有且仅有三个零点. 题型2：由零点个数求参数取值范围 方法提炼 由零点个数求参数范围的主要方法：①分类讨论法：对参数分类讨论，分析每种情况下函数的单调性和极值符号，结合零点定理确定参数范围；②参变分离法：将方程变形为 ，通过求的值域（或图象与水平直线的交点个数）确定参数范围；③数形结合法：将问题转化为两个函数图象的交点个数问题，通过分析图象位置关系确定参数范围。注意：当参变分离不方便时（如分式、指数、对数混合），优先考虑分类讨论法；当能顺利分离参数时，参变分离法通常更简洁。 【例2.1.】 已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 设函数，其中．若函数在区间上有三个零点，则的取值范围为______． 【例2.3.】 已知函数，若函数存在零点，则实数的取值范围为_______． 【例2.4.】 已知函数（），若函数在区间内存在零点，求实数a的取值范围________ 【例2.5.】 已知函数（为自然对数的底数）在恰好有两个不同的零点，则实数的取值范围为________． 【例2.6.】 已知函数存在零点，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型3：隐零点问题 方法提炼 隐零点问题的一般解题思路：①确定隐零点的范围：利用零点存在性定理和导数单调性，尽可能缩小零点的范围（设而不求）；②以零点为分界点，将函数划分为单调性不同的区间；③根据零点满足的关系式，整体代入求解或证明。 【例3.1.】 方程在上有且仅有一个实数根，则实数__________. 【例3.2.】 已知，函数存在零点，则实数的最小整数值是______. 【例3.3.】 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，有且只有一个零点； (3)若在区间各恰有一个零点，求的取值范围. 【例3.4.】 已知． (1)若函数在上有1个零点，求实数的取值范围． (2)若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围． 【例3.5.】 已知函数，，． (1)若，求证： （ⅰ）在的单调减区间上也单调递减； （ⅱ）在上恰有两个零点； (2)若，记的两个零点为，求证：． 题型4：max/min函数零点 方法提炼 max/min函数零点问题的解题策略：①分段讨论：根据的定义，需比较 和的大小关系，将定义域划分为若干区间；②在每个区间上，或，分别研究零点；③注意边界点（如的点）处零点的判定；④综合各区间结果得出零点总数。 【例4.1.】 已知函数，其中为自然对数的底数. (1)当时，求函数的极值； (2)用表示，中的最大值，记函数，当时，讨论函数在上的零点个数. 【例4.2.】 用表示两个数中的最大数，设函数，若函数有2个零点，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【例4.3.】 已知函数． (1)当时，求函数在上的极值； (2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数． 【例4.4.】 已知函数， . (1)求证：曲线的图象是一个中心对称图形，并求对称中心； (2)若，求过曲线上一点的切线方程； (3)用表示、中的最小值，设函数 ()，讨论的零点的个数. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.7 函数零点问题 目录 题型1：函数零点个数的判断与证明 3 题型2：由零点个数求参数取值范围 10 题型3：隐零点问题 16 题型4：max/min函数零点 24 1. 函数零点的定义 对于函数，使的实数叫做函数的零点。函数的零点就是方程的实数根，也是函数的图象与轴交点的横坐标。 注意 函数的零点是一个实数，而不是一个点（坐标）。 2. 零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得。 注意 (1)零点定理仅能判断零点的存在性，不能确定零点的个数； (2)若在内单调，则在内至多有一个零点，此时结合可确定恰有一个零点； (3)若在内不单调，则需进一步结合单调性和极值分析零点个数。 3. 利用导数研究零点的一般思路 利用导数研究函数零点问题（或方程根的个数问题）的一般思路： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值（最值）、端点值等性质，进而画出其大致图象； 第三步：结合图象（或性质）判断零点个数，或根据零点情况分析参数取值范围。 4. 函数零点的常见研究方法 (1) 直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。 (2) 零点存在性定理法：利用定理不仅要函数在区间上连续且，还必须结合函数的单调性才能确定零点个数。 (3) 数形结合法：将函数变形为两个函数的差（如），画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。 (4) 构造函数法：对于较复杂方程的根的问题，可构造辅助函数，利用该函数的性质（单调性、极值等）研究零点。 (5) 同构法：将方程变形为的形式，利用的单调性得到，从而简化问题。 (6) 隐零点法：当零点不易求出时，设出零点(设而不求)，利用零点满足的关系式整体代入求解或证明。 题型1：函数零点个数的判断与证明 方法提炼 (1) 判断函数零点个数的一般步骤：①求导，确定函数的单调区间和极值；②计算端点值和极值，判断函数值符号变化；③在每个单调区间上应用零点存在性定理，确定零点个数；④综合各区间零点个数，得出结论。 (2) 证明"恰有个零点"时，需证明两个方面：一是存在性（利用零点定理证明至少有个零点），二是唯一性（利用单调性证明每个区间至多一个零点）。注意分析函数在端点附近的趋向（如时的趋向），这对判断零点个数至关重要。 【例1.1.】 已知函数在处有极值，且极值为8，则的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】根据题意求导后结合已知极值，得出，即可根据导数得出其单调性，再结合特值得出其零点个数. 【详解】由题意得， 因为函数在处有极值，且极值为8， 则，， 解得(经检验适合题意)，或（经检验不合题意舍去） 故，， 当或时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 又因为，，，， 则有3个零点， 故选：C. 【例1.2.】 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． 【答案】(1)的单调递减区间为；单调递增区间为，； (2)1个． 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，掌握通过导数符号判断单调性，结合单调性与函数值符号分析零点个数的方法是解题的关键． （1）对函数求导，令导数为零求出极值点，根据导数符号判断单调区间； （2）结合单调区间，分析各区间端点函数值符号，判断零点个数． 【详解】（1）解：由题可得， 令，解得或， 令，解得；令0，解得或， 所以的单调递减区间为；单调递增区间为，． （2）解：由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 故在上的最大值为， 因此在上无零点 在区间上，单调递增，且，， 故在上存在唯一零点 综上，函数仅有1个零点． 【例1.3.】 已知，函数，. (1)证明：函数，都恰有一个零点； (2)设函数的零点为，的零点为，证明. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为，， 时，，时，， 在上单调递减，在上单调递减增， 时，，，， 函数恰有一个零点. 函数的定义域为，， 时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增， 时，，， 令（表示中最大的数），， 函数恰有一个零点； （2）由（1）得函数的零点为，且，的零点为，且， 则有，， ，，， 在上单调递增，由（1）可得，，， ，， ，，.原式得证. 【例1.4.】 已知函数．实数，讨论关于x的方程的解的个数． 【答案】答案见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究方程的根 【分析】由题意可得：，构建函数，，利用导数分析函数的单调性和图象，结合图象分析方程的根的个数. 【详解】因为，即，等价于， 不是方程的根，可得， 构建函数，，则， 当且仅当时，等号成立， 可知在和内单调递增， 若，当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于； 若，当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 画出函数的大致图象如图所示，      且，由图像可知： 当时，直线与的图象有两个交点，即关于x的方程有两个解； 当时，直线与的图象有一个交点，即关于x的方程有一个解 【例1.5.】 已知函数和有相同的最大值. (1)求，并说明函数在（1，e）上有且仅有一个零点； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 【答案】(1)，说明答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求导分析的单调性，并讨论与0的大小关系可得，，从而可得，故，再求导根据零点存在性定理证明即可； （2）根据（1）中函数的单调性，数形结合分析，代入各零点满足的关系式，结合指对数的运算分析即可. 【详解】（1），令可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴时，取得最大值.即. ， 当时， 时，，单调递增； 时，，单调递减， ∴. 当时，，不合题意； 当时，可知，不合题意. 故，即. ∴. ∵， 当时，，， ∴，∴在上单调递增， 又，， ∴在上有且仅有一个零点. （2）由（1）知，，的图象大致如下图： 直线与曲线，三个交点的横坐标从左至右依次为，，， 且， ∴且 由即，，，∴ 即.① 由即， ∴.② 由①，②，，又，即， ∴. 【例1.6.】 设. （1）讨论在上的单调性； （2）令，试证明在上有且仅有三个零点. 【答案】（1）的单调递增区间是，递减区间是； （2）， 因为，所以是的一个零点. ， 所以是偶函数， 即要确定在上的零点个数，需确定时，的零点个数即可. ①当时， 令，即或. 时，单调递减，且， 时，，单调递增，且， 在有唯一零点 ； ②当时，由于，. ， 而在单调递增，， 所以恒成立，故在无零点， 所以在有一个零点， 由于是偶函数，所以在有一个零点，而， 综上在有且仅有三个零点. 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）首先求导得到，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间. （2）首先根据，得到是的一个零点，再根据是偶函数得到在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，再求出在时的单调性和最值，确定其零点个数即可. 【详解】， 令，则或. 时，，单调递增， 时，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减. 的单调递增区间是， 递减区间是. （2） 略. 题型2：由零点个数求参数取值范围 方法提炼 由零点个数求参数范围的主要方法：①分类讨论法：对参数分类讨论，分析每种情况下函数的单调性和极值符号，结合零点定理确定参数范围；②参变分离法：将方程变形为 ，通过求的值域（或图象与水平直线的交点个数）确定参数范围；③数形结合法：将问题转化为两个函数图象的交点个数问题，通过分析图象位置关系确定参数范围。注意：当参变分离不方便时（如分式、指数、对数混合），优先考虑分类讨论法；当能顺利分离参数时，参变分离法通常更简洁。 【例2.1.】 已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.52 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】求出函数的导数，再按分类讨论函数单调性，结合有两个零点列出不等式求解. 【详解】函数的定义域为R，求导得 ，而， 当时，，函数在R上单调递减，函数最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，，当时，， 函数有两个零点，当且仅当，令函数， 而函数在上都单调递增，则函数在都单调递增， 又，因此不等式的解集为. 所以实数m的取值范围是. 【例2.2.】 设函数，其中．若函数在区间上有三个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.56 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】将函数零点问题，转化为函数图像交点问题，利用导数分析函数单调性、最值和极值，通过草图即可得到结果. 【详解】由函数在区间上有三个零点， 可得在上有三个不等的实根， 等价为在上有三个不等的实根． 设，， 令，得，令，得或， 可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则的最小值为，的极大值为，， 画出在的图象，如图， 可得当时，和在上有三个不同的交点． 故的取值范围为． 【例2.3.】 已知函数，若函数存在零点，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】将零点问题转化为分段函数图象与过定点直线有交点，先分析分段函数单调性与图象关键点，算出定点到左段端点连线的临界斜率，再利用导数求出直线与指数曲线相切的临界斜率，结合图象确定参数的取值范围． 【详解】函数存在零点，即有解， 当时，，， 令，得， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，， 时，， 当时，，， 所以在上单调递增，且， 直线：恒过定点， 综上，的大致图象为 ，， 所在直线的斜率， 设直线：与相切于，切点处的导数为， 所以过点的切线方程为， 由切线过，得，解得， 此时切线的斜率为， 由图可知，要使函数存在零点， 则实数的取值范围为． 【例2.4.】 已知函数（），若函数在区间内存在零点，求实数a的取值范围________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】先根据函数结构特征将问题同构得得在区间内有解，接着根据函数最值情况得到，分离参数研究即可求得参数范围. 【详解】由题意可得在区间内有解， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以即当等号成立， 所以，即，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，且当时，当时， 所以. 故答案为：. 【例2.5.】 已知函数（为自然对数的底数）在恰好有两个不同的零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.32 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】令，整理转化为，令，求导，判断函数的单调性，得到，分离参数，令，求导，判断函数的性质，根据函数在恰好有两个不同的零点求出的取值范围. 【详解】由得，即， 即，令，则. 则，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 且当时，；当时，， 所以当时，， 令， ，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 因为函数在恰好有两个不同的零点， 所以与在恰好有两个不同的交点， 所以，故实数的取值范围为. 【例2.6.】 已知函数存在零点，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】构造新函数，利用导数求单调性，再运用基本不等式即可求解 【详解】由得， 设，， 设，， 由得，由得， 所以在单调递增，在单调递减，所以， 而， 当且仅当，即时，等号成立， 因为有零点，则，所以， 故选：D. 题型3：隐零点问题 方法提炼 隐零点问题的一般解题思路：①确定隐零点的范围：利用零点存在性定理和导数单调性，尽可能缩小零点的范围（设而不求）；②以零点为分界点，将函数划分为单调性不同的区间；③根据零点满足的关系式，整体代入求解或证明。 【例3.1.】 方程在上有且仅有一个实数根，则实数__________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究方程的根 【分析】令，其中，由题意可知函数在上有且仅有一个零点，利用导数分析该函数的单调性，求出其最小值，根据可求得实数的值. 【详解】由可得， 令，其中， 则， 因为，则，令，其中，则， 故函数在上为增函数， 因为，，则， 由零点存在定理可知，存在使得， 即，所以，即，， 当时，，即，故函数在上单调递减， 当时，，即，故函数在上单调递增， 因为函数在上有且只有一个零点， 故，解得. 故答案为：. 【例3.2.】 已知，函数存在零点，则实数的最小整数值是______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】令，将问题转化为方程在上有解；分离参数可得，令，利用导数和零点存在定理可求得的单调性和最大值，结合最大值的范围可确定的范围，进而求得结果. 【详解】由题意知：的定义域为，， 令， ，在上单调递增，， 则存在零点等价于方程在上有解； ，， 令，则， 令，则， 在上单调递减， ， ，， ，使得，且当时，，当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，又， ， 能取得的最大值为，，实数的最小整数值为. 故答案为：. 【例3.3.】 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，有且只有一个零点； (3)若在区间各恰有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.15 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）分析在和，时的正负判断即可； （3）根据（2）可得，又，设，根据时为临界条件，分与两种情况，分别求导分析的单调性，进而得到的正负区间，进而得到的单调区间，同时结合零点存在定理求解即可 【详解】（1）由题意，，，故，又，故曲线在点处的切线方程为，即 （2）由题意，因为，故当时，，当时，，当时，，故当时，有且只有一个零点 （3）由（2）可得，，故 设，则 ①若，则，在上为减函数，故，故在上为减函数，不满足题意； ②若， i）当时，，单调递减，且，，故存在使得，故在上单调递增，在上单调递减.又，，且，设，易得，故在单调递增，故，故，故.故在上有一个零点，综上有在区间上有一个零点 ii）当时，，设，则，故为减函数，因为，，故存在使得成立，故在单调递增，在单调递减.又，，故存在使得成立，故在上，单调递减，在上，单调递增.又，故，且，，故，故存在使得，综上有在区间上有一个零点. 综上所述，当时，在区间各恰有一个零点 【例3.4.】 已知． (1)若函数在上有1个零点，求实数的取值范围． (2)若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数判断即可； （2）由可得，令，则，由关于的方程有两个不同的实数解，即方程有两个不同的实数解，令，求出函数的最值，即可得解. 【详解】（1）解：，，， 所以， 当时，，所以在，单调递增， 又因为，所以在，上无零点； 当时，，使得， 所以在，单调递减，在单调递增， 又因为，， 所以若，即时，在，上无零点， 若，即时，在，上有一个零点， 当时，，在，上单调递减，在，上无零点， 综上当时，在，上有一个零点； （2）解：由， 即，即， 则有， 令，则， ，所以函数在上递增， 所以，则有，即， 因为关于的方程有两个不同的实数解， 则方程有两个不同的实数解， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以， 当时，，当时，， 所以. 【例3.5.】 已知函数，，． (1)若，求证： （ⅰ）在的单调减区间上也单调递减； （ⅱ）在上恰有两个零点； (2)若，记的两个零点为，求证：． 【答案】(1)（i） 因为， 由 令得的递减区间为 当时，， 所以在的递减区间上也递减． （ii） 因为，由得， 令，则. 因为，且，所以必有两个异号的零点，记正零点为， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增，若在上恰有两个零点，则 由，得， 所以，又对称轴， 所以 所以. 又，所以在上有且仅有一个零点． 又 令，解得. 所以取，当时， 所以在上有且仅有一个零点． 故时，在上恰有两个零点． (2) 由（ⅱ）知，对在上恰有两个零点， 不妨设，因为， 所以 因为， 所以 所以 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、求零点的和 【分析】（1）（i）求出函数的导数，求出导数的递减区间，证出在此区间也递减即可； （ii）求出，构造函数，求出其导数，根据函数的单调性进行比较判断； （2）根据（ii）中分别求出的范围，相加即可； 【详解】（1） (ⅰ) 略 (ⅱ)略 （2）略 题型4：max/min函数零点 方法提炼 max/min函数零点问题的解题策略：①分段讨论：根据的定义，需比较 和的大小关系，将定义域划分为若干区间；②在每个区间上，或，分别研究零点；③注意边界点（如的点）处零点的判定；④综合各区间结果得出零点总数。 【例4.1.】 已知函数，其中为自然对数的底数. (1)当时，求函数的极值； (2)用表示，中的最大值，记函数，当时，讨论函数在上的零点个数. 【答案】(1)，, (2)时，有2个零点；或时，有1个零点；时，无零点. 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，再依据单调性判断出极值点，最后求出极值点对应的函数值即为极值； （2）对和的范围进行分类讨论，分别判断出和的零点，从而得出的零点个数. 【详解】（1）当时，，， 由得：或；由得： 列表： 0 1 + 0 0 + 极大值 极小值 ∴；； （2）由知： （i）当时， ，故在上无零点. （ii）当时，，知：当时，，， 是的零点； 当时，，，不是的零点； （iii）当时，，故在的零点就是在的零点. 由得：， 设，则， 在上单调递增， 又∵，， ∴当时，即在上无零点； 当时，即在上有1个零点； 当时，即在上无零点； 综上所述：时，有2个零点； 或时，有1个零点； 时，无零点. 【例4.2.】 用表示两个数中的最大数，设函数，若函数有2个零点，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.42 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】先结合取大函数的定义合理拆分，将其化为分段函数，再将零点问题转化为交点问题，最后结合导数求解即可. 【详解】由题意得，令， 则，令， 可得，令，解得， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，则，即，， 当时，，当时，， 而，， 则在上存在一个零点，在上存在一个零点， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，， 当时，，则， 而，后面讨论的正负， 当时，在上各有1个零点，此时， 设这三个零点分别为，而，则， 而，， 且，由零点存在性定理得存在作为零点， 令，可得， 令，可得， 即当时，， 当时，， 若函数有2个零点，则有2个根， 可得有2个根，即和有2个交点， 当时，可得， 令，则， 且，当时，， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，可得，令， 则，令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，，若和有2个交点， 可得，即实数k的取值范围是， 当时，，， 且，由零点存在性定理得存在作为零点， 令，，令，， 则当时，，当时，， 若函数有2个零点，则有2个根， 可得有2个根，即和有2个交点， 当时，可得，令，则， 且，当时，， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，可得，令， 则，此时恒成立，可得在上单调递减， 当时，，若和有2个交点， 可得，即实数k的取值范围是，故C正确. 【例4.3.】 已知函数． (1)当时，求函数在上的极值； (2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数． 【答案】(1)极大值为，极小值 (2) 当时，有2个零点； 当时，有1个零点； 当时，无零点. 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，得到函数的单调性和极值情况； （2）分，和，结合，对进行分类讨论，求出零点个数. 【详解】（1）当时，， 由，得或，则和随的变化如下表所示： 0 + 0 - 0 + 0 - 极大 极小 极大 ∴在上有2个极大值：在上有1个极小值． （2）由，知． （ⅰ）当时，， ∴，故在上无零点． （ⅱ）当时，． 故当时，即时，是的零点； 当时，即时，不是的零点． （ⅲ）当时，．故在的零点就是在的零点， ． ①当时，，故时，在是减函数， 结合，可知，在有一个零点， 故在上有1个零点． ②当时，，故时，在是增函数， 结合可知，在无零点，故在上无零点． ③当时，，使得时，在是增函数； 时，在是减函数； 由知，． 当，即时，在上无零点，故在上无零点． 当，即时，在上有1个零点，故在上有1个零点． 综上所述，时，有2个零点；时，有1个零点；时，无零点 【例4.4.】 已知函数， . (1)求证：曲线的图象是一个中心对称图形，并求对称中心； (2)若，求过曲线上一点的切线方程； (3)用表示、中的最小值，设函数 ()，讨论的零点的个数. 【答案】(1)； 证明：设的对称中心为，则对，， ∴ ， ∴，∴， ∴曲线的图象是一个中心对称图形，对称中心为； (2)， (3)当或时，有一个零点； 当或时，有两个零点； 当时，函数有三个零点. 【难度】0.42 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）设的对称中心为，根据求解即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义，求出切线方程，再代入求解即可； （3）由时，得在零点；当时，若，则，可判断出是函数的一个零点；若，则，可判断出不是函数的零点；当时，只考虑在内的零点个数即可，然后分或、，利用函数的单调性可得答案． 【详解】（1）略 （2）∵，∴， 设切点为，则切线方程为 将代入得， 整理得，即，∴或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即. （3）（ⅰ）当时，，函数 ∴在时无零点. （ⅱ）当时， 若，则，， 故是函数的一个零点； 若，则，， 故不是函数的零点； （ⅲ）当时，，因此只考虑在内的零点个数即可. ①当或时，在内无零点， 因此在区间内单调而，， ∴当时，在区间内有一个零点， 当时，在区间内没有零点； ②当时，函数在内单调递减，在内单调递增， ∴， 若，即，则在内无零点. 若，即，则在内有唯一零点. 若，即，由，， ∴当时，在内有两个零点， 当时，在内有一个零点. 综上可得：当或时，有一个零点； 当或时，有两个零点； 当时，函数有三个零点. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $