函数零点问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点核心考点，涵盖简单函数零点比较与含参问题、多变量零点关系、复合型函数零点（如一元二次型方程根的个数、f(g(x))型方程）等类型，按“考点梳理-典例精讲-过关检测”流程，帮助学生构建系统知识网络，突破零点问题难点。 讲义采用分层突破策略，如复合型问题中通过“内函数横纵分析、外函数图像转化”方法，结合典例解析培养学生数学眼光与逻辑推理能力。设置基础到综合的过关检测，配合即时反馈，助力学生高效掌握零点问题解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

函数零点问题 【考点梳理】 类型一简单函数的零，点问题 题型1.比较零点大小……1 题型2.含参类问题 类型二多变量零点问题.3 类型三复合型…4 题型1.已知函数f(x),一元二次型方程f(x)+bf(x)+c=0根的个数.··4 题型2.f(f(x)=k型方程...· 类型一简单函数的零点问题 题型1.比较零点大小 【典例1-1】 已知函数fx)=xl0-l,gx)=x-lgr-l,h(x)=x-1的零点分别为ab,c,则a,b,c的 大小顺序为（) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 【过关检测】 1.已知函数f(x)=2+x,g(x)=logx+x,h(x)=V+x的零点分别为a,b,C, 则（) A.axb>c B.bxcxa C.c>axb D.b>axc 2.若ae=blnb=clgc=1,则a,b,c的大小关系为（) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b 1 题型2含参类问题 【典例1-2】 x sin x,0<x<π 已知函数f(x)= √，x≥元 ，8)=f()-a(k∈R).若函数g(x)有3个不同的 零点，则实数k的取值范围是() B.(0,1) D.(0,1] 【过关检测】 1.已知函数f(x)=2-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是 2.已知函数f(x)= nxx>0’8)=f四+x+a.若g)存在2个零点，则a的取 e*,x≤0 值范围是（) A.[-1,0) B.[0,+o) C.[-1,+oo) D.[1,+o) 2-1,0≤x<2, 3.已知函数f(x)为偶函数，且f(x= f7≥2.若方程f-a=0有六个不同 2 的实数解，则实数a的取值范围是（) A.(1,2) B.1,2] C.[-2,-1)U(1,2]D.-2,-1)U(1,2) 函数f（x)=max{21-×,4-|x-2},若关于x的 方程f（x)=t有三个不相等的实数解，则实数t的取值范围是 类型二多变量零点问题 【典例2】 已知函数f(x)= 1o82仁r<0若函数g到=a-f(训有四个零点，，，且 x-2,x20, x<x2<x<x4, 则ax,++龙的取值范围是（) A.(1,+o∞） B.[4,+o) c.[1,4 D.[1,2) 【过关检测】 1.已知f(x)= “。若abe互不相手，且@6=/@，a+h 范围是（) A.(e,e2) B. 3,2e+ c.22,2e+ D.[2V2,+0) e 2.已知函数f(x)= 1og2x>0 2中2+2)函数F四)G-h有四个不同的零点生 七，飞，七，且满足<北<5<，则点5+出的取值范阁是(） 2 A.[2,+0） ®号0。 D.(2,+00) 类型三复合型 比如：（多选）定义域和值域均为[-a,网（常数a>0)的函数y=f)和y=g的 图象如图所示，下列四个命题中正确的结论是（) A.方程[g(x]=0有且仅有三个解 B.方程gLf(x)]=0有且仅有三个 解 C.方程f几f(x]=0有且仅有九个解 D.方程g[g(x]=0有且仅有一个 解 题型1.已知函数f(x),一元二次型方程f(x)+bf(x)+c=0根的个数. 嵌套函数零点问题的法则：内函数横着走，外函数竖着走，参变分离横竖皆来。 将函数y=f(g(x)分为t=g(x)和y=f)一内一外两个函数，分别作出其图形，找到 竖着外函数y=f()的零点4,2，与…1n,然后将4，，1n作纵坐标在内函数当中 横插从而找到交点来确定零点 3 (x20) 【典例3-1】已知函数f(x)= 函数 log,(-x)(x<0)' g(x)=f2(x)+f(x)+t(t∈R).关于g(x)的零点，下列判断不正确的是（) A若1g田有一个家点 1 B.若-2<1<48（有两个零点 C.若t=-2,g(x)有三个零点 D.若t<-2,g(x)有四个零点 4 【过关检测】 g,,x>0若关于x的方程[/(]-2a+2=0有六个不相 21+1,x≤0 1.已知函数f(x)= 等的实数根，则实数a的取值范围是（). .(别 2.已知fx)为偶函数，gx为奇函数，且满足fx-gx=2-r. (1)求f(x)、gx: (2)若a创=[到+8到]-，且方程[到-(2k+号到+=0有三个解，求 实数k的取值范围. 题型2.f(f(x)=k型方程 【典例3-2】已知函数f(x)= -x2-2x,x≤0 x2-4x+3,x>0,86= xkx>0，则函数 e,x≤0 h(x)=g(f(x)-1的零点个数为()个. A.7 B.8 C.9 D.10 【过关检测】 1.（多选)已知函数f(x)= kx+1,x≤0 log2x,x>0' 下列是关于函数y=ff)+1的零点个数 的4个判断，其中正确的是() A.当k>0时，有3个零点 B.当k<0时，有2个零点 C.当k>0时，有4个零点 D.当k<0时，有1个零点 [Inx,x>0 2.已知函数f(x)= -r+2心，x≤0，若函数y=ff(川有6个零点，则实数a的取 值范围为() A.a>1 B.a<0 C.a<-1 D.-1<a<0 [-x3+x2,x≤0 3.已知f(x=e,gx= 3elnx ,x>0，若函数y=f(g圳-ag-a恰有4个零 点，则实数a的取值范围为() A()B.写) o.5) 6 函数零点问题 【考点梳理】 类型一 简单函数的零点问题 1 题型1.比较零点大小 1 题型2.含参类问题 4 类型二 多变量零点问题 6 类型三 复合型 7 题型1. 已知函数，一元二次型方程根的个数. 7 题型2. 型方程 8 类型一 简单函数的零点问题 题型1.比较零点大小 【典例1-1】 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果. 【详解】由及得， 由及得， 由及得， 由函数的零点分别为， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为， 在同一坐标系中分别作出函数，，，的图象如图， 由图知 【过关检测】 1．已知函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】令，则， 令，则， 令，则， 在同一直角坐标系中作出函数的图象， 则函数与函数的交点的横坐标分别为，    由图可知，. 故选：B. 2．若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果. 【详解】因为，而当时，，当时，， 所以， 因为，而当时，，所以， 因为，而当时，，所以， 由，得，， 所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示， 由图可得 综上， 故选：A 题型2.含参类问题 【典例1-2】 已知函数，．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B．(0，1) C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用函数零点的意义变形并构造函数，作出函数图象，数形结合求出范围. 【详解】函数，由，得， 令函数，由函数有3个不同的零点， 得方程有3个不同的解，即直线与函数的图象有3个交点， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象，当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点， 所以的取值范围是. 【过关检测】 1.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是　　 ． 答案： 2.已知函数，．若存在2个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 3．已知函数为偶函数，且若方程有六个不同的实数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出分段函数的图像，利用数形结合的方法，可求a的取值范围. 【详解】当时，；当时，, 则当时，， 令，则，方程有6个不同实根， 即直线与函数的图象有6个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得当且仅当时直线与函数的图象有6个交点， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 4.设max函数f（x）＝max{21﹣x，4﹣|x﹣2|}，若关于x的方程f（x）＝t有三个不相等的实数解，则实数t的取值范围是 　 　． 答案：（2，4）． 类型二 多变量零点问题 【典例2】 已知函数若函数有四个零点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【过关检测】 1.已知，若互不相等，且，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2.已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足，则的取值范围是( ) A．， B． C． D． 答案:B 类型三 复合型 比如：（多选）定义域和值域均为（常数）的函数和的图象如图所示，下列四个命题中正确的结论是（ ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 题型1. 已知函数，一元二次型方程根的个数. 嵌套函数零点问题的法则：内函数横着走，外函数竖着走，参变分离横竖皆来． 将函数分为和一内一外两个函数，分别作出其图形，找到竖着外函数的零点，，，然后将，，作纵坐标在内函数当中横插从而找到交点来确定零点． 【典例3-1】已知函数，函数.关于的零点，下列判断不正确的是（ ） A.若有一个零点 B.若有两个零点 C.若有三个零点 D.若有四个零点 答案:D 【过关检测】 1.已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 答案：D 2.已知为偶函数，为奇函数，且满足. （1）求、； （2）若，且方程有三个解，求实数的取值范围. 答案：， 题型2. 型方程 【典例3-2】已知函数，，则函数的零点个数为　　个． A．7 B．8 C．9 D．10 答案：D 【过关检测】 1.（多选）已知函数，下列是关于函数的零点个数的4个判断，其中正确的是　　 A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点 C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点 【答案】． 2.已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【详解】当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有6个零点，所以要有1个解， 即，解得， 故选：D. 3．已知，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而作出函数的图像，令，要使得函数恰有4个零点，则关于的方程要有两个根，不妨设或，即，令，利用导数研究单调性，进而作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意有：当时，，由，所以在单调递减， 当时，，所以， 由，所以在单调递增，在单调递减， 作出的图像： 令，由有， 由图可知，要使得函数恰有4个零点， 则关于的方程要有两个根，不妨设或， 由有，令，所以， 当时，，当或时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 作出的图像： 由图可知：当时，直线与的图像的两个交点的横坐标满足或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 小结：求解复合函数零点问题的技巧: （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $