高考尖子生培优专题07：函数与方程中的零点问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与方程中的零点问题，覆盖零点概念、存在定理、二分法及五类核心题型，按“概念-定理-方法-应用”逻辑架构，通过思维导图梳理、解题策略指导、真题变式训练等环节，帮助学生系统构建零点问题的解题框架。 讲义突出“四步法”“三步核心法”等解题策略，结合数形结合培养几何直观（数学眼光），通过嵌套函数零点换元转化训练推理能力（数学思维），设置分层练习保障复习效果，能有效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题07：函数与方程中的零点问题 解题技巧一 函数的零点及所在区间的判断 3 解题技巧二 函数零点个数问题 5 解题技巧三 根据函数零点个数求参数范围 8 解题技巧四 嵌套函数的零点问题 12 解题技巧五 函数零点综合问题 17 思维导图 函数零点的概念 1．函数的零点：对于函数y＝f (x)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点． 【注意】函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 函数零点存在定理：如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 【注意】1．①函数f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f (a)·f (b)<0．这两个条件缺一不可． 2．该定理是一个充分不必要条件，反过来，若在(a，b)上有零点，则不一定有f (a)f (b)<0成立．如：函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号． 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【注意】用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点0，但不能用二分法求解． 用二分法求函数零点的近似值 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f (x)零点x0的近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f (a)f (b)<0． 2．求区间(a，b)的中点c． 3．计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f (c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f (a)f (c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f (c)f (b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c． 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 【注意】 (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点． (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分． 解题策略： (1)若连续函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数f(x)，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号． (3)连续不断的函数f(x)通过零点时，函数值不一定变号． (4)连续不断的函数f(x)在闭区间[a，b]上有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0. 核心原理均依托函数零点存在定理（连续函数，区间内有零点）+函数单调性/图像特征，将零点问题转化为函数图像与x轴交点问题，数形结合求解。 讨论零点个数问题：解题思路（四步法） 求定义域：确定函数的取值范围，划定分析区间； 研单调性/极值：求导，找驻点、判断单调区间，求极值/最值/端点极限； 画简图：根据单调性、极值、端点趋势（如时的变化），画出函数草图； 定交点数：看草图与x轴的交点个数，即为零点个数（注意：单调函数最多1个零点，极值点处函数值符号决定零点个数）。 关键：极值点的函数值符号是判断零点个数的核心，结合端点趋势无遗漏。 经典重现+解题技巧 解题技巧一 函数的零点及所在区间的判断 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系 技巧：若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f（x）＝0的实根. 1.确定函数的零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点； （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 2.函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断. 【例1】（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 【变式1-1】（2026·浙江·三模）直线与曲线的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与曲线的交点，整理可得， 而，， 所以方程无实根，交点个数为个．故A正确． 【变式1-2】（2025·山东枣庄·二模）函数在区间上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数，求出零点即可判断. 【详解】函数，由，得或， 当时，，因此函数在上的零点个数为4. 故选：B 【变式1-3】（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论 【详解】定义域为，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 其中，故，，， 由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为， 其他选项均错误. 解题技巧二 函数零点个数问题 【例2】（2026·江西九江·二模）定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数值为整数可求零点个数. 【详解】的零点即为的解， 而的函数值为整数，故或，其中， 由可得，且， 若为正整数，则， 若，则； 若为负整数，设，则为正整数， 则， 综上，当为整数时，总有，故，故； 由可得，同理可得， 故，所以，故， 而为整数，故与不相等， 故函数的零点个数为. 【变式2-1】（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】D 【分析】判断函数的周期，作出函数和的图象，数形结合，观察图象的交点个数，即可确定答案. 【详解】因为定义在R上的函数满足，故是以2为周期的函数， 结合当时，，可作出的图象； 又函数，在同一坐标系中可作出其图象：    由图象可知当时，的图象和的图象有5个交点， 则此时有5个零点； 当时，的图象和的图象有6个交点， 则此时有6个零点； 故在区间内的零点个数为， 故选：D 【变式2-2】（24-25高三上·天津和平·期末）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用构造不同函数与反比例函数的交点横坐标就是零点，再通过数形结合来加以判断即可. 【详解】 又由，得，即函数与的交点横坐标就是， 根据递增且过点，在递减，由图可得：， 又由，得，即函数与的交点横坐标就是， 根据递增且过点，在递减且过点，由图可得：， 由于，根据幂函数，解得，即，（也可以数形结合判断） 综上可知：， 故选：A. 【变式2-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解. 【详解】由，知函数的一个周期为2． 因为方程等价于． 令，又当时，， 由此作出函数与的图象， 如图所示．因为，，， 所以和的函数图象交点个数为4，故方程有4个实数根． 解题技巧三 根据函数零点个数求参数范围 已知零点个数求参数范围问题 解题思路（三步核心法，含2大常用方法） 通用前提：分离参数/构造函数 将含参函数转化为无参函数与常函数交点问题（核心转化思路），分2种方法： 方法1：分离参数法（优先用，计算简洁） 分离参数：将方程变形为（确保分离后等价，无漏解/增解）； 研：求的单调性、极值、最值、值域、端点趋势，画草图； 定参数范围：根据零点个数（即与的交点个数），结合图像找的取值范围。 注意“零点存在定理”的补充：时，区间内可能有0个/多个零点，需结合单调性判断。 【例3】（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数，若函数有两个零点，则实数m的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数单调性画出简图，将零点问题转化为 与 的交点问题求解. 【详解】 当 时， 单调递增，值域为 ； 当 时，，所以在上单调递增， 且 ，，可画简图，如图所示， 要使 有两个零点，即与有两个交点， 结合图象可知，即， 故选：C. 【变式3-1】（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得在上有个不同零点即可，利用正弦函数的性质列出不等式，解出正实数的范围． 【详解】令，解得，即在上仅有一个零点， 所以只需在上有个不同零点即可． 当时，，所以，即. 故选：C. 【变式3-2】（2026·天津北辰·二模）已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】对于AB，代入选项的的值并依据正弦函数的图象性质判断即可，对于C，由图象变换结合辅助角公式即可求解，对于D，使用整体代入法结合图象的交点个数即可求解. 【详解】由题意得，最小正周期满足，即， 则，即， 代入得，即， 由此可得，解得， 因为，令，则， 综上，， 对于①，若为对称轴，则或， 代入得， 因为或，故①错误； 对于②，若的图象关于点对称，则， 代入得， 因为，故②错误； 对于③，设， 则，故③错误； 对于④，若，则，设，， ，即， 则与在上有两个交点， 即，解得，故④错误. 所以有0个命题正确. 【变式3-3】（25-26高三下·安徽蚌埠·阶段检测）设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画出函数的图像，分析，，，间的关系，然后结合二次函数求解即可. 【解答】函数的图像如图所示， ，，， ，，，， ， 又因为，所以. 解题技巧四 嵌套函数的零点问题 对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 【例4】（25-26高三上·海南海口·期中）设函数则方程的实数根的个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先对求导，利用导求出的单调区间和极值，画出的大致图象，然后令，则，可得方程有两个不相等的实根，设为，将问题转化为与，交点个数，利用图象求解即可. 【详解】的定义域为， 由，得， 由，得，由，得或， 所以在上递增，在和上递减， 所以的极大值为，极小值为， 当时，，则的大致图象如图所示， 令，则， 所以方程有两个不相等的实根，，， 所以由图可知，的图象与有2 个不同的交点，的图象与有1 个不同的交点， 所以原方程有3个不同的根. 故选：B 【变式4-1】（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可. 【详解】先作出的大致图象，如下：    令，则，根据的图象可知： 要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意， 因为，当且仅当时取得等号， 又，易知其定义域内单调递减， 即，此时有两个整数根或， 而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根大于0小于2， 显然只有符合题意，当时有，则， 解方程得的另一个正根为， 又，此时五个整数根依次是， 显然最大的根和最小的根和为. 故选：B. 【变式4-2】（2025·四川巴中·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 【变式4-3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，则方程的互异的实根个数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，，时可得实根个数为1，2，4，进而证明3个实根不可能即可得结论． 【详解】方程的互异的实根个数可能为，举例如下： 当时，方程 故若，则方程只有1个实根． 当时，，解得或， 故若，则有2个实根， 若，则， 解得或或，故有4个实根． 下证明3个实根不可能． 设的判别式， 的判别式． 若，则，最多有两个实根． 若．则是的二重根， 代入得 . 则的根也是的根，则有两个实根． 若，则的根满足的根满足． 若 与  有公共根，可推出 ，与 的假设矛盾， 故两方程没有公共根，因此，当时，方程 有4个互异的实根, 故选：C. 解题技巧五 函数零点综合问题 【例5】（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知函数，的零点分别是，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为，和的函数图象的交点的横坐标，利用反函数的对称性可求. 【详解】由题意可知，分别是，和的函数图象的交点的横坐标， 而和互为反函数，所以其函数图象关于对称， 因为和垂直，所以两个交点也关于对称， 联立、，得，故. 故选：D 【变式5-1】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则函数的图象与函数的图象的所有交点的横坐标之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的对称性，可知交点关于对称中心对称，即可求解. 【详解】函数与函数的图象都关于对称. 作出两函数的图象如图， 由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于. 故选：C 【变式5-2】（24-25高三上·江苏·期末）已知函数满足，且当时，，若关于的方程在区间上有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用周期性得到函数解析式，进而作出图象，将方程有根的问题转化为函数有交点的问题求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 得到的周期为，当时，， 此时解析式为， 而，由二次函数性质得对称轴为，且， 当时，， 此时解析式为， 而，同理可得， 由题意得当时，， 同理可得，， 若在区间上有个不同的实数根， 则和在区间上有个不同的交点， 如图，我们作出的图象， 由图象可得，故A正确. 故选：A 【变式5-3】（24-25高三上·山东青岛·期末）(多选题)如图，已知曲线的方程为，是曲线上任意一点，则（    ） A．点横坐标的范围是 B．直线与曲线有两个交点 C．已知，则 D．设，是曲线上两点，若，，则 【答案】CD 【分析】解不等式可知A错误，构造函数求得在上的最值，再由数形结合即可判断B错误；利用两点间距离公式构造函数并求得其最值，可求得，即C正确，分别对和分类讨论，利用两点间距离公式计算即可得，可知D正确. 【详解】对于A，易知，即，解得，即A错误； 对于B，令函数， 则，令，可得， 因此当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 所以在处取得极大值， 因此可得时，，即可得； 易知，所以直线与曲线在上有两个交点，在上有一个交点，共三个交点，即B错误； 对于C，设，则， 令， 可得，令，则或； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 又，所以当时，； 当时，， 所以，因此可得，因此C正确； 对于D，由，， 即异号时，； 当时，不妨设，即，解得； 又，所以； 此时，即此时 当时， 不妨设， 可得， ； 所以 综上可知，，即D正确. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：解决本题关键在于通过构造函数并利用导数求得函数单调性，得出函数最值；再结合函数与方程的思想以及两点间距离公式计算可判断出结论. 1．（2026·天津·二模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以“0”和“1”为中间量，结合指数函数及对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】在上为增函数，所以. 在上为增函数，所以. 当时，，，此时； 当时，，，此时； 又在上为减函数，在上为增函数， 所以方程的解应在之间，即. 综上， 2．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）方程在下列哪个区间内有实数解（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 且，， 因此在内有零点， 故方程在内有实数解， 故选：B 3．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】函数的定义域为，因为在上连续且为增函数． 且，则． 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是． 故选：C. 4．（25-26高三上·天津和平·期末）函数的零点所在的一个区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用零点存在定理及对数函数值计算求解. 【详解】因为，所以，，， 又因为单调递增， 所以函数的零点所在的一个区间为. 故选：C. 5．（25-26高三上·天津·阶段检测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在定理计算判断即可. 【详解】函数是由指数函数和幂函数相减而成. 单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减. ， 因为为减函数，所以，即， ， 因为在上为增函数，所以，即， 所以，所以该区间存在零点，C正确； 结合在上单调递减. 在、、无零点，故ABD错误. 故选：C. 6．（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线与的交点的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，可得答案. 【详解】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图所示： 所以曲线与的交点的个数为个. 7．（2025·河北·模拟预测）函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】分析函数的性质，再按分段并结合导数及零点存在性定理推理判断. 【详解】令函数，，则定义域为， ，是奇函数， 当时，； 由为奇函数可得当时，， 而函数是偶函数，且当时，， 则函数与的图象在时无交点； 当时，令，求导得， 函数在上单调递增，又， ，因此在上只有一个零点， 所以函数与的图象交点只有一个. 故选：B 8．（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】令，可得或，分，求导判断的单调性及极值，进而可得，的解的个数，进而可得的零点个数. 【详解】令，则，所以， 解得，解得或， 当时，，求导得， 令，则，解得， 若时，，若，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，， 当时，在上单调递增，且， 所以有3个解，有2个解， 所以的零点个数为5个. 故选：D. 9．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】首先解得或，再根据函数的图象，利用数形结合，即可求解. 【详解】由得，解得或， 画出的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．（图中只显示了6个交点，当或时，和与图象还有4个交点，） 故选：D. 10．（25-26高三下·湖北十堰·阶段检测）已知函数若有个不同的实数根，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简分段函数，画出函数的图象，分析的根的个数，确定的范围. 【详解】， 将函数的图象关于轴对称并将轴下方部分翻折到轴上方，即可得到的图象； 对于，最小正周期为， 故上有个周期，令，， 则可得，， 由此作出函数的图象， 如图， 当时，由图可知，当时，， 取其他值时，，故D正确. 11．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式画出的草图，将问题化为的图像与直线和，共有6个交点，数形结合有的图像与直线有2个交点，从而得解. 【详解】画出函数的图像如图所示， 函数有6个零点， 等价于有6个解， 即或共有6个解， 等价于的图像与直线和直线，共有6个交点， 由图得的图像与直线有4个交点， 所以的图像与直线有2个交点， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：A. 12．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）(多选题)下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象过点，则 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为 D．函数的单调增区间为 【答案】AC 【分析】求出幂函数的解析式，进而求出函数值判断A；利用抽象函数的定义域列式求解判断B；利用一元二次方程实根分布求解判断C；利用导数求出单调递增区间判断D. 【详解】对于A，令，则，解得，，因此，A正确； 对于B，函数中，则，即函数的定义域为， 由，得，因此函数的定义域为，B错误； 对于C，由函数在上只有一个零点，得，无解， 或，解得，因此实数a的范围为，C正确； 对于D，由，得，而，解得， 因此函数的单调增区间为，D错误. 故选：AC 13．（2021·福建·模拟预测）已知函数，，对任意的，总存在至少两个不同的使得，则的范围是______． 【答案】 【分析】由已知可得，令，则，构造函数，再利用函数求出其单调区间在递增，在递减，要在至少两个不同的使得，则要，而，从而可求出的范围 【详解】解：因为，， 所以， 令则， 令，， 得在递增，在递减， 又时，， 又时，，， 因为对任意的，总存在至少两个不同的使得， 所以当，恒成立， 故． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题主要考查函数的性质、值域等基础知识；考查推理论证、运算求解能力；考查数形结合、化归与转化思想；体现基综合性、创新性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注，解题的关键是令则，再构造函数，利用导数求出函数的单调区间，从而可得方程要有两个不同的交点时，只要，再结合可求出的范围，属于较难题 14．（23-24高三上·山西运城·期末）设是函数的两个极值点，若，则的范围为____________. 【答案】 【分析】根据极值点定义可将问题转化为与有两个不同交点；利用导数可求得单调性，并由此得到的图象；采用数形结合的方式可确定且；假设，由可确定，进而得到的值，结合图象可确定的取值范围. 【详解】由，可得， 因为是函数的两个极值点， 所以是的两根，当时，方程不成立， 故是的两根，即与的图象有两个交点， 令则， 当时，，当时，， 所以在单调递减；在上单调递增. 则图象如下图所示，    由图象可知：且 因为，所以， 当时，不妨令， 则，即，化简得，即， 当时，， 若，则，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 15．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知，若存在实数，满足，则的最大值是__________. 【答案】 【分析】作出的函数图象，得出，，将化简为，设，利用导数研究的单调性，从而得到最大值. 【详解】作出的函数图象如图所示： ∵存在实数，满足， ， 由函数图象可知，设， 则，显然在上单调递增， 在上为增函数， 的最大值为. 故答案为： 16．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知函数，若函数，则的所有零点之积为__________；方程有三个不同的解，则实数的范围为__________. 【答案】 1 【分析】根据题意函数的零点即方程的根，作出函数的图象，数形结合求解；方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点，求出曲线过原点的切线斜率，数形结合求解. 【详解】由题，函数的零点即方程的根，作出函数的图象，如图， 与的图象共4个交点，从右到左依次是， 当时，，则，得，故，即， 同理，可得， 所以，即的所有零点之积为1. 作出函数的图象如图， 方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点， 当时，，则，设切点为， 所以曲线过原点的切线斜率，解得， 所以曲线过原点的切线斜率， 要使得与的图象有三个不同的交点，则，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：1，. 17．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数则函数的值域为___________.若函数有3个零点，则k的范围是___________. 【答案】 【分析】利用导数说明函数在时的单调性，即可做出函数图象，结合函数图象即可求出函数的值域，函数有3个零点，即可与有3个交点，结合函数图象即可求出参数的取值范围； 【详解】解：因为，当时，则，当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增，则当时取得极小值，且 当时，所以，函数图象如下所示： 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题07：函数与方程中的零点问题 解题技巧一 函数的零点及所在区间的判断 3 解题技巧二 函数零点个数问题 4 解题技巧三 根据函数零点个数求参数范围 5 解题技巧四 嵌套函数的零点问题 6 解题技巧五 函数零点综合问题 7 思维导图 函数零点的概念 1．函数的零点：对于函数y＝f (x)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点． 【注意】函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 函数零点存在定理：如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 【注意】1．①函数f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f (a)·f (b)<0．这两个条件缺一不可． 2．该定理是一个充分不必要条件，反过来，若在(a，b)上有零点，则不一定有f (a)f (b)<0成立．如：函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号． 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【注意】用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点0，但不能用二分法求解． 用二分法求函数零点的近似值 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f (x)零点x0的近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f (a)f (b)<0． 2．求区间(a，b)的中点c． 3．计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f (c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f (a)f (c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f (c)f (b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c． 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 【注意】 (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点． (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分． 解题策略： (1)若连续函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数f(x)，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号． (3)连续不断的函数f(x)通过零点时，函数值不一定变号． (4)连续不断的函数f(x)在闭区间[a，b]上有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0. 核心原理均依托函数零点存在定理（连续函数，区间内有零点）+函数单调性/图像特征，将零点问题转化为函数图像与x轴交点问题，数形结合求解。 讨论零点个数问题：解题思路（四步法） 求定义域：确定函数的取值范围，划定分析区间； 研单调性/极值：求导，找驻点、判断单调区间，求极值/最值/端点极限； 画简图：根据单调性、极值、端点趋势（如时的变化），画出函数草图； 定交点数：看草图与x轴的交点个数，即为零点个数（注意：单调函数最多1个零点，极值点处函数值符号决定零点个数）。 关键：极值点的函数值符号是判断零点个数的核心，结合端点趋势无遗漏。 经典重现+解题技巧 解题技巧一 函数的零点及所在区间的判断 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系 技巧：若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f（x）＝0的实根. 1.确定函数的零点所在区间的常用方法 （1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点； （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 2.函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要结合函数性质进行分析判断. 【例1】（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·浙江·三模）直线与曲线的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·山东枣庄·二模）函数在区间上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 解题技巧二 函数零点个数问题 【例2】（2026·江西九江·二模）定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【变式2-2】（24-25高三上·天津和平·期末）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 解题技巧三 根据函数零点个数求参数范围 已知零点个数求参数范围问题 解题思路（三步核心法，含2大常用方法） 通用前提：分离参数/构造函数 将含参函数转化为无参函数与常函数交点问题（核心转化思路），分2种方法： 方法1：分离参数法（优先用，计算简洁） 分离参数：将方程变形为（确保分离后等价，无漏解/增解）； 研：求的单调性、极值、最值、值域、端点趋势，画草图； 定参数范围：根据零点个数（即与的交点个数），结合图像找的取值范围。 注意“零点存在定理”的补充：时，区间内可能有0个/多个零点，需结合单调性判断。 【例3】（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数，若函数有两个零点，则实数m的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·天津北辰·二模）已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-3】（25-26高三下·安徽蚌埠·阶段检测）设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 解题技巧四 嵌套函数的零点问题 对于嵌套型复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. 注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质． 【例4】（25-26高三上·海南海口·期中）设函数则方程的实数根的个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-1】（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·四川巴中·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 【变式4-3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，则方程的互异的实根个数不可能是（   ） A． B． C． D． 解题技巧五 函数零点综合问题 【例5】（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知函数，的零点分别是，则满足（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则函数的图象与函数的图象的所有交点的横坐标之和为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高三上·江苏·期末）已知函数满足，且当时，，若关于的方程在区间上有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高三上·山东青岛·期末）(多选题)如图，已知曲线的方程为，是曲线上任意一点，则（    ） A．点横坐标的范围是 B．直线与曲线有两个交点 C．已知，则 D．设，是曲线上两点，若，，则 1．（2026·天津·二模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）方程在下列哪个区间内有实数解（　　） A． B． C． D． 3．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·天津和平·期末）函数的零点所在的一个区间为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·天津·阶段检测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线与的交点的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（2025·河北·模拟预测）函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2025·宁夏银川·三模）若函数，则的零点个数为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（25-26高三下·湖北十堰·阶段检测）已知函数若有个不同的实数根，则的范围为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）(多选题)下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象过点，则 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若函数在上只有一个零点，则实数a的范围为 D．函数的单调增区间为 13．（2021·福建·模拟预测）已知函数，，对任意的，总存在至少两个不同的使得，则的范围是______． 14．（23-24高三上·山西运城·期末）设是函数的两个极值点，若，则的范围为____________. 15．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知，若存在实数，满足，则的最大值是__________. 16．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知函数，若函数，则的所有零点之积为__________；方程有三个不同的解，则实数的范围为__________. 17．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数则函数的值域为___________.若函数有3个零点，则k的范围是___________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $