08函数零点、二分法与隐零点初步应用训练-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

**基本信息** 聚焦函数零点从概念到应用的全链条训练，涵盖求零点个数、定理应用、参数范围等六大模块，精选近三年模拟及真题，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求零点或方程根的个数|4题，含选择、填空、解答|判断零点个数及不可能情况，结合奇偶性等性质|从基础概念到含参数函数零点分析| |零点存在性定理应用|5题，含多选、结论辨析|利用定理判断零点存在及参数范围，结合函数性质|定理直接应用到综合结论推理| |判断零点所在区间|4题，均为选择|给定函数判断零点区间，涉及幂函数等|从简单函数到复合函数区间判断| |根据零点个数求参数范围|4题，含多选、解答|已知零点个数反求参数，含分段函数|从定性判断到定量参数计算| |二分法求近似解|4题，含多选、命题判断|二分法步骤及精确度问题，结合命题真假|算法原理到实际应用辨析| |隐零点初步应用|4题，均为解答|证明零点存在及范围，结合单调性与极值|从直观零点到隐性零点转化应用|

培优专练+三年真题08函数零点、二分法与隐零点初步应用 【考点一】求函数零点或方程根的个数 【考点四】根据函数零点的个数求参数范围 【考点二】零点存在性定理的应用 【考点五】用二分法求方程的近似解 【考点三】判断零点所在的区间 【考点六】隐零点初步应用 【题型一】求函数零点或方程根的个数 1．（2026·重庆·模拟预测）方程的零点个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】等价于函数与函数的交点个数进行求解． 【详解】函数的零点个数等价于函数与函数的交点个数， 则，如图所示： 当时，无交点， 当时，有两个交点， 当或时，有一个交点， 故当时，无零点；当时，有两个零点；当或时，有一个零点．故零点的个数不可能是3个． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解. 【详解】由，知函数的一个周期为2． 因为方程等价于． 令，又当时，， 由此作出函数与的图象， 如图所示．因为，，， 所以和的函数图象交点个数为4，故方程有4个实数根． 3.（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数是奇函数，则函数的零点个数为______． 【答案】2 【分析】由函数奇偶性求得，再结合一元二次方程求解即可. 【详解】因为为奇函数， 所以， 联立解得：，经验证符合题意， 所以，， 令， 当时，得：，解得：， 当时，得：，解得：， 所以函数的零点个数为2. 故答案为：2. 4.（2026·山东潍坊·三模）已知函数（且，，）． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)若或，零点的个数为；若且，零点的个数为 【分析】（1）恒成立等价于恒成立，求导后，分及讨论函数单调性，结合计算即可得解； （2）结合（1）中所得，分、与且讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理可判断零点的个数，即可得零点的个数. 【详解】（1）由恒成立，即恒成立， 即恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，恒成立，则恒成立， 故在上单调递减，又， 故当时，，不符合题意，故舍去； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 故要使得恒成立，则有，即； （2）函数零点的个数等价于函数零点的个数， 由（1）知，当时，在上单调递减， 且，故零点的个数为； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 若，有且仅有，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 若，则，由，则， 又时，，故存在，使得， 此时有两个零点、，故零点的个数为； 综上所述：若或，零点的个数为； 若且，零点的个数为. 【题型二】零点存在性定理的应用 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题得，令，由函数性质可知为增函数， 又，，根据零点存在性定理可知：， 即的取值范围为. 2．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合反函数的性质判断ABC；利用零点存在性定理及不等式性质推理判断D 【详解】由，得，，即可得，， 即有，函数与互为反函数， 在同一坐标系中作出函数，，的图象，如图，，    由反函数性质知，关于对称，则，，，ABD错误； 函数在R上都是增函数，则函数是上增函数， 又，，则， 而点在直线上，即， 所以，C正确. 故选：C 3.（2025·河北保定·二模）已知函数记函数的个零点为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】令，则，时，求出的零点；时，利用零点存在定理得存在零点；时，利用导数研究其单调性，进而得在上无零点，则有两个零点，从而求出函数的零点，即可得解． 【详解】由题可知， 令，则， 当时，，此时有唯一的零点； 当时，， 当时，单调递减，且， 所以存在，使得； 当时，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 所以在上无零点， 所以在其定义域上有两个零点． 当时，因为，所以由，得，解得； 当时，由，得，或， 所以函数共有3个零点，分别为， 所以． 故选：A． 4.（多选）（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出函数关于轴对称的函数为，转化为方程在时有解，构造函数，利用函数的单调性和零点存在性定理，确定的取值范围. 【详解】由题意等价于当时，与的图象有交点， 又，则，即， 即方程在时有解， 令，显然在上单调递增， 当时，趋于时，，则只需，即； 当时，趋于时，趋于时，，即在上有解， 综上，实数的取值范围为.根据选项可得答案为A､B､C. 故选：ABC. 5.（2026·北京昌平·二模）设函数，给出下列四个结论： ①当时，恰有2个零点； ②存在正数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有2个零点； ④存在负数，使得恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是_________________ . 【答案】①③④ 【分析】对于①，将代入，求解即可；对于②，当时，令，当时，令，求导，根据零点存在定理即可求解；对于③，④，求零点转化为两个函数的交点问题求解即可. 【详解】对于①，当时，，当时，即， 解得或，即或，所以恰有2个零点，故①正确； 对于②，当时，，令，则， 由于，所以若，则，函数单调递增，若，则函数先减后增，但只有一个极小值点，， 当时，，因此在上必有且仅有一个零点，当时，， 则，而，所以在内至少还有一个零点，故当为正数时，至少有两个零点，故②错误； 对于③，当为负数时，，令，， 可转化为与，且恒过定点， 两个函数图象的交点问题，如图所示， 所以，存在负数，使得恰有2个零点，故③正确； 对于④，如图所示， 所以，存在负数，使得恰有3个零点，故④正确. 【题型三】判断零点所在的区间 1．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可. 【详解】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 2．（2026·甘肃嘉峪关·三模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是增函数，是增函数，所以函数是增函数. 又， 所以由零点存在性定理可得，函数的零点所在的区间为. 3．（2025·安徽·一模）已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件求出，则，判断函数的单调性及的正负，结合零点存在性定理得出结果. 【详解】由于点在幂函数的图象上，所以， 所以，则. 又因为函数在上都单调递增， 则函数在定义域上单调递增， ， 因为，即，所以， ， 因为，即，所以， 因为在上单调递增，， 所以在上只有一个零点，且在内. 故选：C. 4．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 【题型四】根据函数零点的个数求参数范围 1.（2026·山西忻州·模拟预测）设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导，根据导函数确定函数的单调性即可求解. 【详解】已知，函数，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以在处取到最小值， 因为函数在上恰有一个零点，则必有，解得. 2.（2026·陕西西安·三模）若函数有三个零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的极大值与极小值，再利用三次函数的图象特征求解. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值， 由函数有三个零点，得，解得， 所以实数的取值范围为. 3.（多选）（2026·河北沧州·二模）已知函数在区间上有两个不同的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性的性质、对勾函数的单调性、基本不等式逐一判断即可. 【详解】当时，函数在区间上单调递增，因此此时函数不可能有两个零点，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数在区间上单调递减，因此此时函数不可能有两个零点，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以此时，， 要想函数在区间上有两个不同的零点， 只需， 显然选项A正确； 由，选项B不正确； 因为，所以， 因为， 所以，因此选项C正确； 由， 由， 因为，当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以，因此选项D正确. 4.（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)求的单调性； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域为 (2)当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为，减区间为 (3)的取值范围为 【分析】（1）先根据对数式要求真数大于 0，列出不等式组，再求解交集即可得到函数定义域； （2）先利用对数运算公式合并解析式，拆分内外层函数，再根据复合函数同增异减规律，按底数范围分类讨论，最后判定区间增减性即可； （3）先把函数零点转化为对应方程解的个数，再结合函数值域与图像交点关系，数形结合确定参数取值边界即可得解. 【详解】（1）由题意知， 解得：，即 ， 所以函数 的定义域为 . （2） ， 定义域为 ， 令 ，则 ， 当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 单调递增， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减， 则 单调递减， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 综上： 当 时， 在上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. （3）当 时， ，定义域为 ， 因为 有两个零点，则 在 上有两个不同的解， 即： ， 令 ，，则 ，因此： ， 要使方程 有两个不同解， 即直线 与函数 的图像有两个交点， 则，即 ， 所以实数 的取值范围为. 【题型五】用二分法求方程的近似解 1.（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用二分法后区间长度变为，第二次使用二分法后区间长度变为，第三次使用二分法后区间长度变为，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止. 【详解】解：原始区间长度为， 第一次，区间长度减半，为， 第二次，区间长度减半，为， 第三次，区间长度减半，为， 第四次，区间长度减半，为， 故至少需要重复四次. 故选：B. 2．（多选）（2024·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．方程的解在内 B．函数的零点是 C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 【答案】ACD 【分析】对A，构造函数，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；对C，作出的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得. 【详解】对A，记，易知都在单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以存在唯一零点，且， 即方程的唯一解在内，所以A正确； 对B，令，解得或， 所以函数的零点是或，所以B错误； 对C，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在处相交， 所以有三个不同的零点，所以C正确； 对D，因为，所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，所以D正确. 故选：ACD 3．（多选）（2024·江苏无锡·模拟预测）下列命题错误的是（    ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到 D．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，则1.375和1.4都是精确度为的近似零点 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的性质即可求解A，根据全称命题的否定为特称命题即可求解B,根据二分法的性质即可求解CD. 【详解】对于A, 当时，函数，故图象是两条射线，A错误， 对于B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误， 对于C，开区间的长度等于1，每经过一次操作长度变为原来的一半， 则经过次操作之后，区间的长度变为，故由，得，所以， 即至少经过4次二分后精确度达到0.1，故C正确； 对于D，由于，所以的任何一个值均为精确度为的近似零点，故D错误， 故选：ABD 4.（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】先结合题意由等差和等比数列的基本量法求出两数列的通项进而求出，再构成函数，分析单调性和根即可. 【详解】由题意可得等差数列的公差为，所以，所以， 等比数列的公比为，则， 因为，即，即， 设， 由复合函数的单调性可得在上单调递增， 再由二分法确定当时，， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型六】隐零点初步应用 1.（2026·福建漳州·三模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，求的最大值； (3)若函数有零点，证明：． 【答案】(1)若，则在上单调递增； 若，则在上单调递减，在上单调递增． (2)． (3)法1：若有零点，设零点为， 则， 即， 即， 这说明点在直线上， 设点到直线的距离为， 则，即， 由（2）知，，仅当时，“=”成立， 所以 所以． 法2：若有零点，设零点为， 则， 即， 即， 设，则， 即，其中， 所以， 所以， 由（2）知，，仅当时，“=”成立， 所以 所以． 【分析】（1）通过对求导，分和两种情况，根据导数的符号判断函数的单调性； （2）法1，先由得到，再验证当时恒成立，从而确定的最大值为；法2，分、、三种情况讨论，利用函数最小值非负得到，构造函数，通过求导求其最大值，得到的最大值为的最大值为； （3）由存在零点，将问题转化为点到直线的距离不大于，再利用对不等式放缩，最终得证；通过三角换元，将问题转化为三角函数有界性问题，再利用对不等式放缩，最终得证. 【详解】（1）因为，所以， ①若，则，所以在上单调递增； ②若，则由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）法1：由，即，得． 当，时，，下面证明此时成立， 此时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 所以成立． 综上，的最大值为． 法2：①若，则 当时，， 当时，， 所以当且时，，不合题意． ②若，则的值域为， 所以，所以． ③若，则结合（1）得，， 即，即，所以， 令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以， 当时，． 综上，的最大值为． （3）略 2．（2026·甘肃酒泉·二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间和极值； (2)当时，证明：存在两个零点； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围，并比较与的大小. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为,极小值为0，无极大值 (2)证明如下： 当时，，， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以根据零点存在性定理可知，函数存在两个零点. (3)， 【分析】（1）求导，利用导数的正负分析函数的单调区间及极值； （2）求导，先利用导数分析函数的单调性，进而结合零点存在性定理求证即可； （3）转化问题为对任意恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解的范围即可，进而得到，再结合（1）可得函数在上单调递增，进而判断大小即可. 【详解】（1）当时，，， 则时，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 则时，，时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 时，函数取得极小值，无极大值. （2）略 （3）由， 即对任意恒成立， 设，， 则， 设，，则， 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，则，即， 所以函数在上单调递增，则，即， 所以实数的取值范围为. 由，，， 则， 由（1）知，函数在上单调递增， 且时，，则，即， 所以函数在上单调递增，又， 所以. 3．（2026·山西运城·模拟预测）已知函数． (1)若在区间内存在极值点，求的取值范围； (2)证明：当时，在区间内有且仅有个零点． 参考数据：． 【答案】(1) (2)证明：由题， 故当时，，在区间上单调递增， 因为，当时，，， 所以在区间内有唯一零点． 因为， 令，则， 所以由（1）知在区间内有解，且在区间单调递减， 所以在区间内先增后减， 又因为，， 所以在区间内不存在零点．     当时，令， 则， 所以在区间内单调递增，     又因为，， 所以存在唯一，使得， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 因为， 所以，又， 所以存在唯一，使得， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 因为，， 所以存在唯一，使得．     当时，，单调递增， 又因为，， 所以根据零点存在定理，在时仅有1个零点． 综上，当时，在区间内有且仅有3个零点． 【分析】（1）由题意知在区间内有变号零点，再构造函数，根据函数的单调性，零点存在性定理求解即可； （2）利用含参求导，进而结合（1），分，，，四种情况分析讨论，可对原函数的零点个数作出证明. 【详解】（1）解：因为在区间内存在极值点， 所以在区间内有变号零点， 令，则， 因为，，所以在恒成立， 所以在区间内单调递减   因为，， 为了满足在区间内有变号零点，则必有，解得， 故的取值范围是． （2）略 4．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，记等差数列的前n项和为，记． (1)证明：曲线是对称中心为的中心对称图形； (2)证明：“”是“”的充要条件； (3)时，求函数在区间上的零点个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）由可得答案； （2）由已知得，再由（1）可得充分性；①假设，即，利用导数判断出函数在上单调递增，得出矛盾.②假设，同①理得，矛盾.③假设，同充分性证明方法可以推得，假设成立.必要性得证； （3）的周期，分、、讨论，即可得. 【详解】（1）函数的定义域为，， 所以曲线是中心对称图形，且对称中心为，得证； （2）（i）先证明充分性：若，则， 所以， 所以. 所以，充分性得证； （ii）再证明必要性：若， ①假设，则，即， ，所以函数在上单调递增， ， 同理， 所以，矛盾，假设不成立. ②假设，同①理得，矛盾，假设同样不成立. ③假设，同充分性证明方法可以推得，假设成立. 综上，必要性得证， 所以“”是“”的充要条件； （3）由题设， ①时，（等号不可同时取得），此时，函数无零点. ②时，，所以此时，函数无零点， ③时，， 令， 由复合函数的性质可得函数在区间上单调递增， 时，，， 由零点存在定理：，使得， 所以时，单调递减， 时，单调递增， 因为，所以， 因为在上单调递减， 由零点存在定理：，使得. 综上所述，在上有2个零点，分别为. 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 二、多选题 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 三、填空题 5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 6．（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题. 方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题. 【详解】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 7．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在上的单调性，即可判断；③，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断. 【详解】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值， ②正确； ③同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解， 故③正确； ④由③可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时与有4个交点， 故④正确. 8．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得. 【详解】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究. 四、解答题 9．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可. （2）利用三角函数的性质求解参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 10．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题08函数零点、二分法与隐零点初步应用 【考点一】求函数零点或方程根的个数 【考点四】根据函数零点的个数求参数范围 【考点二】零点存在性定理的应用 【考点五】用二分法求方程的近似解 【考点三】判断零点所在的区间 【考点六】隐零点初步应用 【题型一】求函数零点或方程根的个数 1．（2026·重庆·模拟预测）方程的零点个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3.（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数是奇函数，则函数的零点个数为______． 4.（2026·山东潍坊·三模）已知函数（且，，）． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)讨论零点的个数． 【题型二】零点存在性定理的应用 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·河北保定·二模）已知函数记函数的个零点为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（多选）（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 5.（2026·北京昌平·二模）设函数，给出下列四个结论： ①当时，恰有2个零点； ②存在正数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有2个零点； ④存在负数，使得恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是_________________ . 【题型三】判断零点所在的区间 1．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃嘉峪关·三模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·一模）已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【题型四】根据函数零点的个数求参数范围 1.（2026·山西忻州·模拟预测）设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 2.（2026·陕西西安·三模）若函数有三个零点，则实数的取值范围为______． 3.（多选）（2026·河北沧州·二模）已知函数在区间上有两个不同的零点，则（    ） A． B． C． D． 4.（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)求的单调性； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围． 【题型五】用二分法求方程的近似解 1.（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．方程的解在内 B．函数的零点是 C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 3．（多选）（2024·江苏无锡·模拟预测）下列命题错误的是（    ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到 D．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，则1.375和1.4都是精确度为的近似零点 4.（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为______． 【题型六】隐零点初步应用 1.（2026·福建漳州·三模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，求的最大值； (3)若函数有零点，证明：． 2．（2026·甘肃酒泉·二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间和极值； (2)当时，证明：存在两个零点； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围，并比较与的大小. 3．（2026·山西运城·模拟预测）已知函数． (1)若在区间内存在极值点，求的取值范围； (2)证明：当时，在区间内有且仅有个零点． 参考数据：． 4．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，记等差数列的前n项和为，记． (1)证明：曲线是对称中心为的中心对称图形； (2)证明：“”是“”的充要条件； (3)时，求函数在区间上的零点个数． 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题 5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 6．（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 7．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 8．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 四、解答题 9．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 10．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $