基本初等函数零点问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦基本初等函数零点问题，通过25道题系统覆盖零点个数判断、参数范围讨论等核心考法，强化数形结合与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |零点个数判断|8题|多函数图像交点、分段函数零点|从函数图像与性质（奇偶性、周期性）出发，将零点问题转化为方程根或图像交点问题，体现几何直观| |参数范围讨论|10题|含参方程根的个数、复合函数零点|通过分类讨论参数对函数图像的影响，结合单调性分析零点存在条件，培养推理意识与运算能力| |零点关系应用|7题|零点之和、零点集合、多零点性质|基于函数对称性与周期性推导零点间数量关系，构建方程与函数的转化逻辑，发展应用意识|

基本初等函数零点问题综合训练卷 一、单选题 1.已知函数 =2x+ 设()=(（刃，则 g()在[0，上的零点个数为〈) A.2 B.3 C.4 3 2.函数y=x-3的图象与函数y=2sin(r,xe-l,7]的 图象所有交点的横坐标之和等于() A.12 B.18 C.24 3.已知函数= 2,x≤1 log2(x+1),x>1,若方程 [f(x)'-(a+3)f(x)+3a=0 恰有5个不同的实数根，则口 的取值范围是() A.0,2 B.(0,2) C.(W2,2) [2,2) 4.若函数f四=x+2,8)=x+eh=x+nx 的零 点分别为，5，。 ,则() A x2<< B.5<￥<6 C.<< D.<为<5 通数回-20 若函数 试卷第1页，共3页 g(x)=[f(x)了-a时(x)+5 有8个不同的零点，则实 数a的取值范围是() B 25, C. 8 D 3) 6.已知 2l0g2x-x=0,3log3y-y=0,5logsz-z=0 则x,y,2的大小关系不可能 为() A.x<y<z B x<Z<y C.z<x<y D 作图区 二、多选题 7.己知函数) [Inx,x>0 x2+4x+1,x≤0，若方程f(x)=k有 四个不同的零点，。，，，且 <五<<，则 下列结论正确的是() A.0<k<1 B.3比=1 试卷第2页，共3页 c 0<x+x2+x3+x4< 1 0≤xx2x3x4<1 D 8.已知函数 +1,x≤0 f(x)= l0g2x,x>0,下列 是关于函数 y=f[f(刃+'的零点的 判断，其中正确的是( A.在1.0内一定有 零点B.在 定有零点 C.当k>0时，有4个 零点D.当k<0时， 有1个零点 三、填空题 9.函数f(x)=-|2x-1. 则方程21 的实根 的个数是 10.函数 f)-(-g:的零点个数为 11.函数 f(x)=2|g-1 的零点的个数为 log2(x-1,1<x≤3 12.设函数f()= (x-4),x>3，若关于的方程 [f(x)]=(a+)f()a有7个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 log4,0<x≤4 13.已知函数f) -x+5,x>4,若关于x的方程 f(x)-k= 有3个不相等的实数解，，。，则的 取值范围是 作图区 试卷第3页，共3页 14.函数 f倒-2-小-as2 x2-6x+11-a,x>2 的零点最多有 个，此时a的取值范围为_ 15.已知函数 f(x)= 3-2x2 1-x-,x≤2， 则函数8（闭=(-1的 零点的个数为 16.已知函数 x(x-2),x≤1 f(x)= x-2,1<x≤3 ，若函数 至少有 4-x,x>3 (x)=f(x)-f1-m) 2个零点，则实数的取值范围为一 17.已知函数f(,= x+2,x<0 2-4+2x≥08()=+1，若西 数'=f)-8() 的图象经过四个象限，则实数《的取值 范围是 (x)= 2 0<0< 18.已知函数 2+1,若 2,则函数 g(x)=f(f(x)-cos0。 的零点个数是 19.方程 2inr=cosx,x∈[0,2π 有 个实数根 x+1,x≤0 20.已知函数 (x)= log2x,x>0,则函数y=f(f(x)-1 的所有零点构成的集合为 作图区 试卷第4页，共3页 21.定义在R上的奇函数 (☒满足 f(x+2)=-f(冈，当 0<x≤1时，f八)=，则 函数”=f儿，因的零点的个数为 2.已知函数()= x2+x+2,x≤0 nx,x>0,若存在实数 ,,且<五<5，使得f)=f3)=f)=a,则 x(x+x2+h3) 的最大值为 23.函数f)=sinxcosx-hx的零点个数为 24.方程e:树-sin=0根的个数为 25,若函数”=fxeR）满足x+2列=f因，且 时，=1-中，已脚知圆数)=他0 e,x<0, 则函数()=f()8(四)在区间-66内的零点个数为 试卷第5页，共3页 作图区 答案第1页，共2页 基本初等函数零点问题综合训练卷 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A D A B BD CD 1．A 【分析】先令推出，令，作出函数与函数的图象即可判断. 【详解】由题得，，令，则，解得， 因为，因此，解得， 故，此时，满足条件. 令，由，则，则， 作出函数与函数的图象如下： 由图知，函数在上的零点个数为2. 2．C 【分析】函数关于点对称，函数也关于点对称，所以先找函数的图象与函数，的图象所有交点的个数，再计算出横坐标之和. 【详解】函数关于点对称，函数也关于点对称，作出两函数在的图象，由图象可知共有8个交点，两两关于点对称， 所以函数的图象与函数，的图象所有交点的横坐标之和为. 3．A 【分析】由题可得方程的根即为方程与的根，画出函数的图象，数形结合即可求出的取值范围. 【详解】由题可得，方程的根即为方程与的根． 结合函数的图象可知，有2个不同的根，则要有3个不同的根，才能使方程有5个实数根， 所以，由图象可知． 4．D 【分析】根据题意，转化为函数，，与的图象的交点的横坐标，在同一坐标系下，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 5．A 【分析】先分析函数，作出函数大致图象，分析函数，把零点问题转化为关于的方程有2个不同的根和，且关于的方程分别有4个不同的根，进而结合判别式和韦达定理构造方程组，并分情况讨论求出实数的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， ； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增； 作出的大致图象如下， 设，则关于的方程有2个不同的根和， 且关于的方程分别有4个不同的根． 不妨设，则关于的方程需满足：， ①若，则，故， 且，即， 解得； ②若，则，此时，符合题意，故． 6．B 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示：      由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. 7．BD 【分析】利用分段函数零点问题转化为方程的解的问题，再利用数形结合，来分析四个零点的分布，再结合对数运算即可判断各选项. 【详解】当时，令，得； 当时，令，解得或； 画出函数的大致图象如图所示. 若方程有四个不同的零点，，，，且， 则由图象可知，故A错误． 由图象可知，且， 所以，故，故B正确. 因为，所以，又， 由，根据对勾函数的单调性可知：在上单调递减， 则， 所以，故C错误． 由的两根为，，且， 则， 又因为，所以，故D正确. 8．CD 【分析】分及并画出相应图象进行讨论即可得. 【详解】当时，，图象如图（1）， 此时即， 若，则， 若，则， 又有2个零点，也有2个零点， 故有4个零点，故C正确； 当时，，图象如图（2）， 此时即，只有一种情况， 此时仅有1个零点， 所以当时，有1个零点，故D正确； 由图象可得A、B错误. 9．2 【分析】对绝对值函数进行分段处理，由得，利用函数图象交点个数确定方程实根的个数. 【详解】. ，，. 方程的实根的个数等价于函数与图象的交点个数，如图所示： 由图可知，函数与图象有2个交点，即方程有2个实数根. 10．2 【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 故答案为：. 11．2 【分析】令，转化为两个函数图象交点个数，来判断出零点的个数. 【详解】令，得，即， 作出与的图象，可知它们只有2个交点. 故答案为：2. 12． 【分析】由分段函数解析式画出函数图象，根据题设方程根的个数，结合函数图象可得有三个根，有四个实数根，即可确定的取值范围． 【详解】由题设可得：，且， 作图象如图所示，    由得：， ∴，如上图，有三个根， ∴有四个实数根，如上图可得：． 故答案为： 13． 【分析】先画出函数的图像，由题意可得的取值范围，进而确定的范围，由条件结合对数运算即可得 ，最终有. 【详解】当时，，则有， 若x的方程有3个不相等的实数解，则，如图所示： 不妨设，则，，，且， 所以，即， 所以， 故答案为：. 14． 3 【分析】把问题转化为与函数的交点个数问题，再数形结合，可得问题答案. 【详解】函数的零点个数可转化为与函数的交点个数. 函数的图象如下图： 当时，函数的零点个数最多，为3个. 故答案为：3， 【点睛】方法点睛：该题判断函数零点个数，可以转化为两个函数图象的交点各式，再利用数形结合法求解. 15． 【分析】将问题转化为与的交点个数问题，通过讨论可作出两个函数的图象，结合图象可得零点个数. 【详解】，的零点个数等价于与的交点个数； 当时，，此时； 当时，，此时，……依此类推， 当，时，， 则，，， 设，则，，， 当，且时，， 在，且上恒成立， 由此可得图象如下图所示， 当时，，由解得，此时两个函数图象只有一个交点， 由图象知：两个函数图象有个交点，即函数的零点个数为个. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：判断函数零点的个数常用的方法： （1）方程法：直接求解方程得到方程的根，根的个数即为零点个数； （2）图象法：作出函数图象，根据函数图象与轴交点个数得到零点个数； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，将问题转化为两个函数的交点个数问题. 16． 【分析】作出分段函数的图象，利用数形结合思想即可求解． 【详解】作出的大致图象如图所示，    由的零点，即为 观察可知． 当时，令，可得，当时，令，可得，所以，故． 故答案为：． 17． 【分析】作出与的图象，将问题转化为“只要时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负”，求得直线的斜率，再求得直线与相切的切线斜率（注意取舍）即可求出结果． 【详解】令，直线过定点， 若的图象经过四个象限，则时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负； 当时，与轴的公共点为，， 当时，， 设与相切于，且， 所以，解得或(舍去)， 此时，即切线的斜率为， 由图象可知，即实数的取值范围是， 故答案为：. 18． 【分析】本题需要先分析函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性和极值，得到函数的图象，然后再通过换元法，把零点问题转换成两个函数图象的交点问题. 【详解】函数的定义域为，由，得， 所以函数是偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，上单调递减， 又为偶函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又时，，所以的值域为． 令，则，由，得， 因为，所以，画出与的图象如图所示， 所以在区间有唯一零点， 令，,函数的图象与函数的图象有4个交点，故函数的零点个数是4． 19． 【分析】根据给定条件，确定的取值范围，再换元结合指数函数、二次函数图象交点个数确定方程根的个数. 【详解】由，得， 两边平方得，令，，则原方程化为， 函数与函数在有两个交点，设其横坐标分别为，且， 观察图象得，由，得，有唯一解， 由，得有两解，所以方程有个根. 故答案为：3 20． 【分析】根据复合函数与分段函数的性质化简方程，分别解方程即可. 【详解】因为函数 所以等价于或, 求解可得，， 即或或或， 求解可得，， 故答案为：. 21．5 【分析】先由和函数奇偶性求得函数的周期，进而结合和作出函数在区间上的图象，再由周期性作出在上的函数，同时作出函数的图像，根据零点定义可将题目问题转化成两个函数和图像交点个数问题，则求出两函数图像交点个数即可得解. 【详解】因为， 所以，可得函数是周期为4的奇函数， 因为，可得的图象关于直线对称， 当时，，又易知，所以时，， 由对称性可先画出函数在区间上的图象， 根据函数为奇函数且周期为4，可以画出函数在上的图象， 由，得， 分别画出函数和的图象，如图，    由，又，，而， 可以得到函数和的图象有5个交点，所以函数零点的个数为5. 故答案为：5. 22． 【分析】根据题意作出函数的图象即可得，,从而将化简为，再利用导数研究其单调性可得其最值. 【详解】由题时，；时，；时，；时，； 所以作出函数和的图象，如图所示， 由图可得，，， 所以， 令， 则恒成立，所以在上单调递增， 所以的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是作出函数的图象，数形结合得， ，，从而将化简为，再利用导数工具即可求解最大值. 23．2 【分析】化简函数，所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，分析函数和的单调性，结合图象，通过一些特殊值可知和只有两个交点，即函数的零点的个数为2. 【详解】因为， 所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数， 而，， 且，所以和在只有一个交点位于内， 同理可得和在也只有一个交点位于内， 画出图象如图所示，由图象知，函数的零点的个数为2. 故答案为：2. 24．6 【分析】将问题转换成函数图象交点，结合函数图象即可求解. 【详解】画出的函数图象， 由图象可知，两个函数共有6个交点， 故方程根的个数为6. 25． 【分析】结合函数周期性和解析式可作出与在上的图象，根据图象交点个数可得所求函数零点个数. 【详解】，是周期为的周期函数； 当时，；当时，；， 又，，， 可作出与在上的图象如下图所示， 由图可知：与在上有个交点， 函数在区间内的零点个数为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $