2.1 等式性质与不等式性质 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式与不等式性质，通过作差法比较代数式大小，从装修工资预算等实际问题导入不等关系，衔接初中等式性质，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于分层训练（基础、中档、拔高）与思维导图整合知识，结合“糖水不等式”“水果促销”等实例，以数学眼光观察现实问题，通过作差法、换元法培养数学思维，助力学生提升解题能力，教师可实现一体化教学。

高一数学●2024人教A版必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 本节学习等式与不等式的相关性质，掌握作差法比较两个代数式大小，熟悉不等式的运算法则，能正确对不等式进行变形，运用转化思想解决简单的大小比较问题。 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括73张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 不等关系与不等式 1 不等关系与不等式 （1）在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号“”“ ”“ ”“ ”“ ”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号 的式子叫做不等式. （2）用“ ”或“ ”连接的不等式叫严格不等式；用“ ”或“ ”连接的不等式叫非 严格不等式. 4 2 用不等式组表示不等关系 当问题情境中包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示不等关系. 例1 ［教材改编P37问题2］完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工 需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元（工资总额不能超过预算），设木 工人，瓦工 人，则请工人需满足的关系式是_______________. 【解析】由题意知，，满足的不等式关系为 （不能超过预 算，因此为“”），即 . 5 知识点2 实数大小比较的依据 关于实数， 大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么；如果等于0，那么；如果 是负数，那 么 ．反过来也对. 这个基本事实可以表示为（等价符号）； ； ． 知识剖析 1.“ ”符号的左边反映的是实数的大小，右边反映的则是实数的运算性质，合起来 就是实数的大小与运算性质之间的关系．它是不等式这一章的理论基础，也是证明 不等式性质、证明不等式和解不等式的主要依据． 2.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大 小.（作差法） 6 例2 ［教材改编P38例1](2026·上海市青浦区第一中学月考)已知, ，设 ,，则与 的值的大小关系是( ) D A. B. C. D. 【解析】（作差法） 因为 （通常在作差后进 行配方，通过与0的大小关系比较大小），所以 ． 7 知识点3 等式的性质 别名 性质内容 性质1 对称性 如果,那么 性质2 传递性 如果,,那么 性质3 同加（减）性 如果,那么 性质4 同乘性 如果,那么 性质5 同除性 如果,，那么 8 例3 (2026·广州市第四中学月考)已知，则“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】,但,原因是当时（【避坑】注意 是 否为0），， 的大小不确定，因此“”是“ ”的充分不必要条件. 9 知识点4 不等式的性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 可逆 性质2 传递性 , 同向 性质3 可加性 可逆 性质3的推论 移项法则 （注意移项要变号） 可逆 性质4 可乘性 正同向， 负反向 性质5 同向可加性 同向 10 别名 性质内容 注意 性质6 同向同正可 乘性 同向同正 性质7 可乘方性 同正 续表 特别提醒 如何准确把握不等式的基本性质（1）在应用性质2时，如果两个不等式中 有一个带等号，而另一个不带等号，那么等号不能传递下去. （【举例子】如由,不能得到，只能得到 ）#1.1.1 （2）在应用性质4时，要特别注意的符号．当时，有 ；若 没有“”这个条件，则“ ”是错误的． （在使用不等式的性质时，一定要弄清它们成立的前提条件） （3）注意不等式的单向性和双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性．性质1和 性质3及性质3的推论是可逆的，其余的性质在一般情况下是不可逆的． （4）不等式还具有正数可开方性： . （前提条件为正数才可以） 12 例4 ［教材改编P42练习T2]下列命题中为真命题的是( ) D A. B. C. D. 13 【解析】对于A，由可知,,则由性质7可知, ,即 ，故A为假命题. 对于B，性质7不具有可逆性，如令,,有,但得不到 ,故B 为假命题. 对于C，只有当且时， 才成立，故C为假命题. 对于D， 方法1：（作差化简） 因为,所以 ，所以 ,故 ，D为真命 题.（反过来，我们也可以由得到 ） 14 方法2：（利用性质7进行判断） 若,则 ; 若,则, ， 所以 ; 若,则 ， 所以，即,所以 ； 当,中有一个为0时， . 综上，.（事实上，若,则 ） 知识点5 倒数法则及其应用 1 倒数法则教材深挖 此处是对教材第42页例2的挖掘. 如果，且，那么 . 证明：方法1：（性质法）， （符号法则）， 又, （性质4）， 即, （性质1）. 方法2：（作差法），， , ，， . 知识延伸 给定以下三个条件:;; .知二推一都是正确的,即 ；； . 16 2 倒数法则的函数解释 考虑反比例函数 （借助熟知的反比例函数，以图帮助理解），根据它的图象我 们知道在和时，都随着 的增大而减小，由此即可解释上述不等式. 例5 ［教材改编P42练习T2（2）](2026·江西省上饶市期末)若， ， 则( ) B A. B. C. D. 【解析】因为，所以，所以.又 ，所以 ，所以 . 17 方法帮丨解题突破 题型1 用不等式（组）表示不等关系 例6 ［教材改编P43 T10］糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖 水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？ （1）如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了; 【解析】设糖水克，含糖克，易知糖水浓度为，加入克糖后的糖水浓度为 ， 则提炼出的不等式为：若，，则 .（该不等式常称为“糖水不 等式”，因为糖水浓度小于1，所以该不等式仅适合真分数比较大小，否则，根据倒 数法则，结果相反） 方法帮 18 （2）把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡 的浓、比浓的淡． 【解析】设淡糖水克，含糖克，易知淡糖水浓度为 ； 设浓糖水克，含糖克，易知浓糖水浓度为，则混合后的糖水浓度为 ，所 提炼出的不等式为：若，，且 , 则 . 方法帮 19 糖水变甜（浓）、变淡与浓度有关，所得到的不等式即浓度的大小比较. 与本题有关的常见不等式如下: ,,都为正实数,且,则 ①;（向糖水中加点糖，糖水变甜了） ,,,都为正实数,且,,则 ②;（向糖水中加糖，加糖少的比加 糖多的淡） ,,,都为正实数,且,则 ③. 方法帮 20 解题通法 用不等式表示不等关系的步骤 （1）认真审题，设出所求量,并用代数式表示相应各量; （2）找出体现不等关系的关键词,并将其转化成对应的不等号,如至少，至多 ， 不少于，不多于，超过，不超过 等; （3）确认所表示各量满足的不等关系，并用关键词连接.在将关键词转化成数学语 言时，特别需要考虑“ ”能否取到. 方法帮 21 题型2 实数的大小比较 例7 已知,，试比较与 的大小. 方法帮 22 【解析】方法1：（作差法） .（利用平方差公式得 ） ， ， ,, ， ， . 方法2：（作商法） （利用立方和公式分解）. 方法帮 23 ,,, ,（在利用作商法比较大小时，要先判断符 号） . 方法3：（平方法） , , . ,, , ,,故 . 方法帮 在对多项式化简时，要注意数学公式的运用. 平方差公式： . 完全平方公式： ， . 立方差公式： . 立方和公式： . 完全立方公式： , . 方法帮 25 解题通法 作差法、作商法和平方法比较大小的依据、应用范围及步骤#1.1 依据 应用范围 步骤 作差法 ; ; 两数（式）的大小关系不 明显，作差后可化为积、 商且易于判断与0的大小 关系的形式 ①作差；②变形； ③判断差与0的大小 关系； ④下结论 方法帮 26 依据 应用范围 步骤 作商法 , ,则 ; ; 同号的两数（式）比较大 小，两数（式）的大小关 系不明显，作商后易于判 断与1的大小关系 （利用作商法的前提是先 判断所给数与0的大小关 系） ①作商； ②变形； ③判断商与1的大小 关系； ④下结论 , ,则 ; ; 续表 方法帮 27 依据 应用范围 步骤 平方法 若， ，则 应用于无理式大小的比较 ①平方；②变形； ③借助作差或作商分 别判断与0或1的大小 关系；④下结论 续表 方法帮 28 练变式1 [新考法·数学建模］现有一级小麦，二级小麦 ，某粮食收购站有两 种收购方案.方案一：分两个等级收购小麦，一级小麦元/，二级小麦 元/ ；方案二：以方案一两种价格的平均数收购.对粮食收购站而言，收购方式 更加优惠的是( ) D A.方案一 B.方案二 C.同样优惠 D.以上均有可能 方法帮 29 【解析】若分类收购，则总钱数为 ，若以两种价格平均数收购，则总钱数为 ， 记 ,则 ，（【巧转化】巧妙分解因式，转化为积的形式） 因为 , 所以当时， ，方案二更优惠； 当 时，两种方案一样； 当时， ，方案一更优惠. 综上，以上均有可能． 方法帮 30 题型3 不等式性质的应用 类型1 判断命题的真假 例8 ［多选题］(2026·安徽省合肥市模拟)已知，，，且 ，则下列命题 中是真命题的是( ) CD A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，那么 D.如果,那么 方法帮 31 【解析】取，, ，满足选项A，B中的前提条件．（求解此类问题， 常利用不等式的性质或者举反例进行判断） 对于选项A，有 ,故A是假命题. 对于选项B，有 ,故B是假命题. 对于选项C，， ，由不等式的性质4知（在应用性质4时，一定要注意 符号），C是真命题. 对于选项D， , 同乘以,得 , 又, ,故D是真命题. 方法帮 32 判定一个命题是假命题，有下面两种方法：（1）从已知条件入手， 推出与结论相反的结论；（2）举出反例. 方法帮 33 练变式2 [多选题，新考法·数学文化](2026·山东省青岛市质检)十六世纪中叶，英国 数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ ”作为等号使用，后来英国数学家哈 利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的 发展影响深远．下列关于不等式的命题，正确的是( ) ACD A.如果,,那么 B.如果，那么 C.若，则 D.如果，，，那么 方法帮 34 【解析】对于A，若,则,又,则 ,A正确； 对于B，当，时， ，B错误； 对于C，因为，所以，所以,所以 ，故C正确； 对于D，如果，，则，则有 ，故 ，又，则，D正确．故选 ． 方法帮 35 练变式3 ［开放题］(2026·北京市平谷中学月考)能说明“若,则 ”为假命题 的一组, 的值依次为__________________________________________. 1，（答案不唯一，满足,即可） 【解析】由不等式的性质，当时，由可得 ， 又，所以当命题为真命题时，或 . 因为命题为假命题，所以,,取， 即可. 方法帮 36 类型2 证明不等式 例9 ［教材改编P43 T7］若,,，求证： . 【解析】方法1：（性质法）, . 又, , ， 上式两边同乘以（向着所证不等式的方向看齐）,得 . 又, . 方法帮 37 方法2：（作差法） . （之所以如此变形，是为了结合已知条件判断大小） , , ,,, , , . , 方法帮 38 . 又, , 即 . 方法3：（作商法） . , . , , ,（性质7的应用） , . 又,, . 方法帮 解题通法 1.简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证. 2.对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证,可考虑 将不等式的两边作差或作商，然后进行变形，根据条件确定每一个因式（式子）的 符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明. 方法帮 40 练变式4 已知，求证: . 【答案】方法1：（作差法）, , （拆分 为 ，把 当成一个整体）， 故 . 方法2：（平方法）,， ， , . 方法帮 41 图D 2.1-1 方法3：（几何法） 如图D 2.1-1，在中，， 分别 是斜边 上的高和中线． 设，，则由 可知， ,,由 可知， .（借助几何直观求解，培养数学思维） 方法帮 42 类型3 利用不等式的性质求范围 例10（1）［教材改编P43 T5］已知,,试求与 的取值范围; 【解析】, , ,， . , . 又, , 即 . 的取值范围是,的取值范围是 . 方法帮 43 （2）已知,,求 的取值范围; 【解析】,.（先转化为 ,再利用同向同正可乘性求解） 又,,即 . 的取值范围是 . （3）已知,,求 的取值范围. 【解析】, . 当时,（的值包含特值0，分类讨论） ； 当时, . 由①②得,即的取值范围是 . 方法帮 44 （1）同向不等式具有可加性及同向同正不等式具有可乘性，但是不 能相减或相除.应用时,要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性. （2）不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变;同乘一个负数,不等号方向改变.求解 中,应明确所乘数的正负. 方法帮 45 例11 已知,,求 的取值范围. 方法帮 46 【解析】这是一道出错率高达 的经典试题，各位读者先看以下常见错解. 已知 ①, ②， 等价于 ③,相加,解得 . 错解一 ①③相加，解得，从而， ，故 . 错解二 ①③相加得，, ,从而 . 错解三 易知 ④， 得 . 不难发现，这类问题在求解时,若分别求, 的取值范围，可能存在问题，那么应该如 何解决呢？先看下面的问题. 方法帮 47 基础题 若，，求 的取值范围. 【解析】由得， ⑤, 由得， ⑥. ⑤⑥相加得 . 若令,，那么 ，于是例11就有以下解法： 方法1： ,（利用整体思想求解） 因为, , 所以, , 所以 . 方法帮 48 方法2： （换元法） 令，，则， ，则 . 因为， ， 所以， ， 所以，即 . 方法帮 图2.1-1 （1）前三种解法的错误 在于“， ” 与“，”并不等价. , 的范围虽是正确的，但, 之间的制约关 系丢失了，所以需要整体利用 和 来求 .我们可以应用如图2.1-1 所示的不等式表示的平面区域来解释： 方法帮 50 说明：图2.1-1中阴影部分为点 所在区域，此处只是为了说明范围如何扩大了， 平面区域如何得出不需学生掌握. （2）上面解法中，中的系数3和 的系数 确定过程如下： 令 . 由得 （常被称为待定系数法） 从而有 . 方法帮 51 解题通法 利用不等式性质求范围的一般思路 （1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）整体使用所给条件，切不 可随意拆分； （3）结合不等式的传递性进行求解. 方法帮 52 练变式5 已知，且，则 的取值范围是_____ _____. 【解析】方法1：（待定系数法） 设 ， 则解得 所以 . 由， ， 得， ， 方法帮 53 所以，即 . 方法2：（换元法） 令，，则， ， 则 . 因为， ， 所以， ， 所以，即 . 方法帮 题型4 不等式的实际应用 例12 [新情境·水果促销](2026·北京市第五十七中学期中)李明自主创业,在网上经营 一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、 80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到 120元,顾客就少付元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的 . ①当 时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付_____元; 130 【解析】顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,共需 （元），总价达到120元， 又 ，即顾客少付10元， 所以需要支付 （元）. 方法帮 55 ②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则 的 最大值为____. 15 【解析】设顾客买水果的总价为 元. 当时，顾客支付元，李明得到元，且 ，显然符合题意， 此时 ； 当时，则恒成立，即恒成立， ，又 ，所以，所以 . 综上可知，，所以 的最大值为15. 方法帮 56 方法帮 57 练变式6 某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方 案：每年购买的数量相等.乙方案：每年购买的金额相等.假设今明两年该物品的价格 分别为， ，则乙方案今明两年购买这种物品的平均价格为______，两 种方案购物比较经济合算的是____.（填“甲”或“乙”） 乙 【解析】对于甲方案，设每年购买的数量为，则两年购买的总金额为 ， 平均价格为 ； 对于乙方案，设每年购买的总金额为，则总数量为 ，平均价格为 . 因为，所以 .因此乙方案购 物比较经济合算. 方法帮 58 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：25分钟 1.下列运用等式性质变形不正确的是( ) D A.若,则 B.若,则 C.若，则 D.若,则 【解析】对于选项A，由等式的性质3知，若,则 ，正确； 对于选项B，由等式的性质4知，若,则 ,正确； 对于选项C，由等式的性质4知，若,则 ,正确； 对于选项D，若,则的前提条件为 ，故此选项错误. 练习帮 59 2.(2026·河北省保定市期中)已知，，则与 的大小关系 正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】因为 ，所 以 . 练习帮 60 3.已知，且 ，则( ) A A. B. C. D. 【解析】方法1：令,，则,,，从而 . 方法2：由，且可得,且 . 因为,所以 ， 又,所以，所以 . 练习帮 61 4.［多选题］ (2026·安徽省合肥市第六中学质检)已知实数，满足 ， ，则( ) BCD A. B. C. D. 【解析】对于A，，，所以 ，故A错误； 对于B，，，所以 ，故B正确； 对于C，，，所以 ，故C正确； 对于D，，，，所以 ，故D正确．故 选 . 练习帮 62 5.［多选题］ (2026·河北省唐山市质检)设， ，则( ) BC A. B. C. D. 【解析】因为，，所以，即 ，故A错误； 因为，,所以，， ，所以 ，即 ，故B正确； 因为，所以，，则 ， 所以 ，故C正确； 取，，可得，， ，故D错误．故选 ． 练习帮 63 6.如图2.1-1所示的两种广告牌，其中图2.1-1（1）是由两个等腰直角三角形构成的， 图2.1-1（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关 系用含字母, 的不等式表示为________________. 图2.1-1 【解析】由题图可知，第一个广告牌的面积 ,第二个广告牌的面积 ,从题图中容易看出,即 . 练习帮 64 7.已知，，则 的取值范围是_____________ _______． 【解析】设 ,则 解得 ， ， ， ， ， ，即 ． 练习帮 65 8.已知三个不等式：①；②；③ .若以其中两个作为条件，余下 的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程． 【答案】命题一：若，且，则 . 证明：因为，且，所以，即 . 命题二：若，且，则 . 证明：因为，所以，又 ， 所以，即 . 命题三：若,且,则 . 证明：,又,所以 . （只要写出一个即可） 练习帮 66 B 综合练丨高考模拟 建议时间：25分钟 9.(2026·福建省泉州市联考)已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后 （物理和历史二选一）选报物理方向的学生人数多于历史方向的学生人数，则 ( ) C A.物理方向的男生人数多于物理方向的女生人数 B.历史方向的女生人数多于历史方向的男生人数 C.物理方向的女生人数多于历史方向的男生人数 D.物理方向的男生人数多于历史方向的女生人数 练习帮 67 【解析】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生人数为，男生人数为 ， 选报历史方向的女生人数为，男生人数为，根据题意可得 所 以，即 ，故物理方向的女生人 数多于历史方向的男生人数. 练习帮 68 10.(2026·湖南省邵东市振华中学月考)有外表一样、质量不同的四个小球，它们的质 量分别是,,,，已知,, ，则这四个小球的质量 由大到小的排列顺序是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】, , ,即， . 又,且， . 综上可得， . 练习帮 69 11.(2026·广西桂林市开学考试)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用 一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位:）分别为 , ,,且,三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为,, ，且 .在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是( ) B A. B. C. D. 练习帮 70 【解析】方法1：（作差法） 因为, ,所以 ,故 ; 同理, ,故 . 又 ,故 . 综上可得，最低的总费用为 . （即最大的房间用最便宜的涂料，最小的房间用最贵的涂料时，总费用最低） 方法2：（特殊值法） 若,,,,,,则 , ,, .由此可知最低的总费用是 . 练习帮 71 12.［多选题］已知的三边长分别为,, ，以下4个命题是真命题的为( ) AC A.以,, 为边长的三角形一定存在 B.以,, 为边长的三角形一定存在 C.以，， 为边长的三角形一定存在 D.以，， 为边长的三角形一定存在 练习帮 72 【解析】的三边长分别为，，，不妨设 , 则 . 对于A, （三角形两边之和大于第三边）， 所以，所以以，， 为边长的三角形一定存在，故A为真命题； 对于B,取,,,则,,,,因此以， ， 为边长的三角形不一定存在，故B为假命题； 对于C,，因此以，， 为边长的三角形一定存在，故 C为真命题； 对于D,取，，,,因此以，， 为边长的三角形存在，而 ，因此以，， 为边长的三角形不一定存在，故D为假命题. 练习帮 73 $