2.1 等式性质与不等式性质课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式的概念、大小比较及性质，课堂导入从生活（限速、酸奶质量）和几何（三角形边关系）实例出发，通过具体不等关系抽象出不等式定义，借助作差法比较大小，类比等式性质构建不等式性质体系，形成从具体到抽象、从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以生活和几何实例为载体，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过类比等式性质的表格对比和问题探讨（如“5≥4”的理解）培养数学思维中的推理意识，用符号语言转换表和例题规范数学表达。采用实例导入、类比迁移、问题驱动的教学方法，帮助学生建立知识联系，提升数学表达能力，教师可直接利用实例和习题开展教学，提高课堂效率。

人教A版必修一数学教学同步课件 第二章 函数的概念与性质 2.1 等式性质与不等式性质 学习目标 1. 会用不等式组表示不等关系; 2. 能够用作差法比较两个数或式的大小； 3. 类比等式的性质,掌握不等式的性质； 4. 会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题. 生活中不等关系 限速40标志牌 0＜v≤40 某品牌酸奶的质量检査规定，酸奶中蛋白质的含量p应不少于2.3%； p≥2.3% 几何中不等关系 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 a+b＞c a-b＜c CD＜CE C A E D B 不等式与不等关系 1.不等式的定义所含的两个要点. (1)不等符号　　　　　　或　　　.  (2)所表示的关系是　　　　　　.  2.不等式中的文字语言与符号语言之间的转换. 文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少 于 不多 于 符号 语言 >  ≥ <  ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ >,<,≥,≤　 ≠ 不等关系 问题探讨 不等式“5≥4”是真命题吗?如何理解? 不等式“5≥4”是真命题,“≥”有两层含义,一是“>”,二是“=”,两者中有一个成立,则不等式就是成立的,所以,如“5≥4”“5≥5”均是正确的. 典型例题 【例1】用不等式或不等式组表示下面的不等关系： (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4m; (2)a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350m²的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(m)大于宽W(m)的4倍 绿地 仓库 5m 5m 5m 5m 0＜h≤4 a+b≥0 L＞4W (L+10)(W+10)＜350 L＞0 W＞0 实数大小比较 如何刻画实数a,b的大小关系？ 形 数 实数大小比较 比较实数a,b的大小的依据 a>b a<b a=b 实数大小比较 比较实数大小的方法 类别 作差法 作商法 依据 a-b>0⇔a>b; a-b<0⇔a<b; a-b=0⇔a=b a>0,b>0且 >1⇒a>b;a>0,b>0且 <1 ⇒a<b;a>0,b>0且 =1⇒a=b 应用范围 数(式)的大小不明显,作差后可化为积或商的形式 同号两数比较大小 问题探讨 如果给定实数a与b,那么如何比较它们的大小呢? 通常是通过判断它们的差(a-b)的符号来比较它们的大小.当a与b同号且都不为0时,也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小. 重要不等式 在正方形ABCD中设AE=a,BE=b（a＞b） 则 a 0，b 0，AB= 正方形的面积为S=　　　。 四个全等的直角三角形面积总和是 S’= 此时S’ S 字母表示为： ＞ ＞ 2ab ＜ 重要不等式 ∀a,b∈R,a2+b2　　　2ab,当且仅当　　　　　时,等号成立.  ≥ a=b 证明： 当且仅当a=b时，等号成立 不等式的性质 等式的性质 不等式的性质 a=b⇔b=a a>b⇔　　　　  a=b,b=c⇒a=c a>b,b>c⇒　　　　  a=b⇔a+c=b+c a>b⇔　　　　  a=b⇒ac=bc a>b,c>0⇒　　　;a>b,c<0⇒　　　  a=b,c=d⇒a+c=b+d a>b,c>d⇒　　　　  a=b,c=d⇒ac=bd a>b>0,c>d>0⇒　　　  a=b⇒an=bn a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) b<a a>c a+c>b+c　 ac>bc　 ac<bc　 a+c>b+d ac>bd 类比等式的性质,掌握不等式的性质 理解不等式 (1)在上表中,从上往下数,性质1和性质2,分别称为“对称性”与“传递性”,反映了相等关系与不等关系的特性. (2)性质3—7反映了等式及不等式在运算中的不变性,这也是代数问题研究的重点内容. (3)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据; 性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”; 性质5(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”; 性质6和性质7(即同向同正可乘性,可乘方性),即均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,并无相除式. 问题探讨 “a>b>0⇒an>bn>0(n∈N,n>1)”成立的条件是什么?b>0的条件能去掉吗? 成立的条件是“n为大于1的自然数,且a>b>0”.不能,假如去掉“b>0”这个条件,取a=3,b=-5,n=2,那么就会出现32>(-5)2的错误结论.这一点对于不等式最易疏漏,出错. 课堂习题 1.(多选题)下列关于不等关系的说法正确的是(　 　) A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h米满足关系为h≤4.5 B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为a-b>0 C.不等式x≥2的含义是指x不小于2 D.若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确 ACD 解析 因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”.不超过用“≤”表示,故说法A正确;因为“非负数”即为“不是负数”,所以a-b≥0,故说法B错误;因为不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2,故说法C正确;因为不等式a≤b表示a<b或a=b,故若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b一定正确,故说法D正确. 17 课堂习题 2.已知0<b<a,a+b=2,则(　　) A.0<a<1 B.1<b<2 C.0<a-b<2 D.ab>a2 C 解析 取a=1.2,b=0.8,满足0<b<a,a+b=2,故A,B,D错误.因为0<b<a,a+b=2,则0<b<a<2,故0<a-b<2.故选C. 18 课堂习题 19 课后作业 1. 完成课本第40页练习的2.3、第42页练习以及习题2.1; 2. 预习课本2.2基本不等式的内容. 3.若bc-ad≥0,bd>0,求证:. 证明 因为bc-ad≥0,所以ad≤bc. 因为bd>0,所以,所以+1≤+1, 所以. $