2.2 基本不等式 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式\(a + b \geq 2\sqrt{ab}\)，涵盖概念生成、证明、最值应用等内容。通过复习上节重要不等式\(a^2 + b^2 \geq 2ab\)，经变量替换导出基本不等式，结合篱笆围矩形问题建立前后知识联系，搭建学习支架。 其亮点在于以分析法（执果索因）和几何意义（半圆图）培养数学思维，通过“一正二定三相等”原理及拼凑、“1”的代换技巧强化应用，实际问题解决提升数学语言表达。帮助学生发展逻辑推理与应用意识，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

a + b ≥ 2√a̅b̅ 2.2 基本不等式 人教A版必修第一册　·　第二章　一元二次函数、方程和不等式 （本节共2课时：概念与证明 · 最值应用） 1 a + b ≥ 2√a̅b̅ 章节导览 这一节我们要走过的四段路 概念 从重要不等式 a²+b²≥2ab 出发，得到只对正数成立的基本不等式 证明 用分析法（执果索因）严格证明，再看它的几何意义 原理 一正、二定、三相等——用基本不等式求最值的三个前提 应用 拼凑、"1"的代换与实际最优化问题 2 a + b ≥ 2√a̅b̅ 学习目标 理解基本不等式的内容与成立条件——两个正数的算术平均数不小于几何平均数，其中 a、b 为正、a＝b 时取等； 掌握算术平均数与几何平均数的概念，理解"两个正数的算术平均数不小于几何平均数"； 会用分析法证明基本不等式，能借助半圆图说明它的几何意义； 掌握用基本不等式求最值的方法，牢记"一正、二定、三相等"； 能用拼凑、"1"的代换处理常见题型，并解决简单的实际最值问题。 3 a + b ≥ 2√a̅b̅ 复习回顾 上一节的重要不等式 上节课我们从赵爽弦图得到了一个对任意实数都成立的重要不等式： a² + b² ≥ 2ab 成立范围：a、b ∈ R（任意实数）　　取等条件：当且仅当 a＝b 这节课，我们把这个"平方和不小于两倍积"的不等式，加工成一个专门用来求最值的新工具。 4 a + b ≥ 2√a̅b̅ 导入 一个很常见的问题 乘法公式在代数运算里很有用。有没有一些不等式，在解决"求最大值、最小值"时也像乘法公式一样好用？ 问 一段长 40 米的篱笆，围成一个矩形。长和宽怎么取，围出的面积最大？ 这类"和一定、求积的最大"的问题，用今天的基本不等式一步就能解决。我们先把这件工具造出来。 5 a + b ≥ 2√a̅b̅ 概念生成 从重要不等式到基本不等式 在 a² + b² ≥ 2ab 中，如果 a＞0、b＞0，用 ，分别代替 a、b： ()² + ( )² ≥ 2· · 即　a + b ≥ 2 两边同除以 2，就得到： ≤ a + b 2 （a＞0，b＞0，a＝b 取等） 6 a + b ≥ 2√a̅b̅ 基本不等式 ≤ 成立条件：a ＞ 0，b ＞ 0　　　等号成立：当且仅当 a ＝ b 这就是基本不等式（basic inequality）。它只对正数成立，这一点和上一节的重要不等式不同——务必看清前提。 7 a + b ≥ 2√a̅b̅ 算术平均数与几何平均数 叫做正数 a、b 的算术平均数 叫做正数 a、b 的几何平均数 基本不等式：两个正数的算术平均数，不小于它们的几何平均数。 8 a + b ≥ 2√a̅b̅ 想一想 问 重要不等式 a²+b²≥2ab 和基本不等式 ≤，有什么区别和联系？ 明确 联系：后者由前者用 、代入得到，是同一件事的两种样子。　 区别：重要不等式对一切实数 成立，比较的是平方和与 2ab；基本不等式只对正数 成立，比较的是算术平均数与几何平均数。用基本不等式前，先确认各项为正。 9 a + b ≥ 2√a̅b̅ 能不能不靠弦图， 直接把它证出来？ 10 a + b ≥ 2√a̅b̅ 分析法 执果索因 要证一个不等式，可以从要证的结论出发，一步步找它成立的充分条件，直到找到一个显然成立的式子——这种"倒着走"的方法叫分析法。 书写的关键：每一步都写"只要证"，最后再把过程倒过来，才是严格的证明。 下面我们用分析法证明 ≤ （a、b＞0）。 11 a + b ≥ 2√a̅b̅ 分析法 · 证明 要证 ≤ 只要证 2 ≤ a + b 只要证 2 － a － b ≤ 0 只要证 －()² ≤ 0 只要证 ( )² ≥ 0 末式 ( )² ≥ 0 显然成立。 12 a + b ≥ 2√a̅b̅ 分析法 · 明确 末式 (² ≥ 0 恒成立，当且仅当 ＝ ，即 a＝b 时取等。 结论 把上面五步倒过来写（从 ()²≥0 出发，逐步推回 ≤ ），就是一个完整、严格的证明。 难点提示： 第③步到第④步，是把 a、b 看成 ()²、()²，再配成完全平方，这一步最容易卡住。 13 a + b ≥ 2√a̅b̅ 几何意义 看图说话 A B C D 问 AB 是直径，AC＝a，BC＝b，CD⊥AB 交圆于 D。CD 和半径各等于什么？ 14 a + b ≥ 2√a̅b̅ 几何意义 · 明确 明确 由 △ACD ∽ △DCB 得 CD² ＝AC·CB ＝ ab， 所以半弦 CD ＝ （几何平均数）； 半径 ＝ （算术平均数）。 半弦不大于半径，就是 ≤ ； 当 C 与圆心重合， 即 a＝b 时，半弦等于半径，取等。 A B C D 15 a + b ≥ 2√a̅b̅ 常用变形 一个不等式，几副面孔 同一个基本不等式，换个样子就是一个新工具（a、b＞0，都在 a＝b 时取等）： a + b ≥ 2 　——求"和"的最小值常用它 ab ≤ 　——求"积"的最大值常用它 (a+b)² ≥ 4ab ＋ ≥ 2　（a、b 同号即可，两项互为倒数） 16 a + b ≥ 2√a̅b̅ 练一练 问 已知 a、b＞0。填空：a + b ≥ ＿＿＿；ab ≤ ＿＿＿。（用含 a、b 的式子表示，并说明取等条件） 答案 a + b ≥ 2 ；　ab ≤ 。两式都在 a ＝ b 时取等。 17 a + b ≥ 2√a̅b̅ 基本不等式最有用的地方—— 求最大值、最小值 18 a + b ≥ 2√a̅b̅ 例1 直接求最值 已知 x ＞ 0，求 x + 的最小值。 问 两项 x 与 都是正数，它们的积 x·是不是一个定值？ 19 a + b ≥ 2√a̅b̅ 例1 · 解 因为 x ＞ 0，两项都是正数，且积 x· ＝1 是定值，由基本不等式： x ＋ ≥ 2 （当且仅当 x ＝ ，即 x ＝ 1 时取等） 结论 所以当 x ＝ 1 时，x + 取得最小值 2。 20 a + b ≥ 2√a̅b̅ 例1 · 追问 问 为什么解答里一定要写出"x＝1 时取等"？只写 x+ ≥ 2 行不行？ 明确 x + ≥ 2 只说明 2 是下界。只有验证了 x＝1 时确实取到 2，才能说最小值是 2。 如果取等的 x 不在定义域内，"最小值"就是假的。 所以：求最值必须写出取等的取值。 21 a + b ≥ 2√a̅b̅ 求最值三查 一正 · 二定 · 三相等 一 正 各项都必须是正数 二 定 和为定值（求积的最大）或积为定值（求和的最小） 三 相等 等号能取到，即存在使各项相等的取值 三者缺一不可，尤其"三相等"最容易被忽略。 22 a + b ≥ 2√a̅b̅ 例2 最值原理 已知 x、y 都是正数，求证： (1) 如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x+y 有最小值 2； (2) 如果和 x+y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 。 这两条就是"积定和最小、和定积最大"的原理。 23 a + b ≥ 2√a̅b̅ 例2 · 解（1）积定和最小 因为 x、y 都是正数，所以 ≥ ，即 x + y ≥ 2 。 解 当积 xy 等于定值 P 时， ＝ ，于是 　　x + y ≥ 2 ， 当且仅当 x ＝ y 时取等。 所以当 x＝y 时，和 x+y 有最小值 2 。 24 a + b ≥ 2√a̅b̅ 例2 · 解（2）和定积最大 同样由 ≤ ： 解 当和 x+y 等于定值 S 时， ≤ ，两边平方得 　　xy ≤ ， 当且仅当 x ＝ y 时取等。 所以当 x＝y 时，积 xy 有最大值 。 25 a + b ≥ 2√a̅b̅ 一句话记住 积定 和最小 和定 积最大 积为定值，求和的最小；和为定值，求积的最大。"定谁，求谁的反面"。 26 a + b ≥ 2√a̅b̅ 练一练 问 已知 x、y ＞ 0 且 xy ＝ 16，求 x + y 的最小值。 答案 积 xy＝16 是定值，x + y ≥ 2 ＝ 2＝ 8，当且仅当 x＝y＝4 时取等。所以最小值为 8。 27 a + b ≥ 2√a̅b̅ 拼凑法 积不是定值怎么办 问 已知 x＞1，求 x + 的最小值。直接用行吗？两项之积是定值吗？ 分析 x· 不是定值，不能直接用。但 x－1＞0，可以把 x 拆成 (x－1) ＋ 1，凑出积为定值的两项。 28 a + b ≥ 2√a̅b̅ 拼凑法 · 解 因为 x＞1，所以 x－1＞0。 解 x + ＝ (x－1) + + 1 　　　　 ≥ 2̅ + 1 ＝ 2 + 1， 当且仅当 x－1 ＝ ，即 x ＝ 1＋ 时取等。 所以最小值为 2 + 1。 29 a + b ≥ 2√a̅b̅ 拼凑法 · 三步 拆：把式子拆成"能凑出定积的两项"＋"多出来的常数"； 凑：让两项之积为常数，用基本不等式得下界； 验：回代求取等的取值，确认它在定义域内。 凑完一定要验取等——这一步漏了，答案就可能不对。 30 a + b ≥ 2√a̅b̅ ★ "1"的代换 优生班课上完成 已知 a ＞ 0，b ＞ 0，a + b ＝ 1，求 + 的最小值。 问 "和 a+b＝1"这个条件怎么用起来？能不能把它当作"1"乘到式子上？ 31 a + b ≥ 2√a̅b̅ ★ "1"的代换 · 解 解 因为 a + b ＝ 1，把它当作"1"乘上去： + ＝ (+ )(a + b) 　　　　 ＝ 1 + 4 + + ＝ 5 + (+ ) 　　　　 ≥ 5 + 2＝ 5 + 4 ＝ 9， 当且仅当 ＝ ，即 b ＝ 2a（a＝、b＝）时取等。 所以最小值为 9。 32 a + b ≥ 2√a̅b̅ 例3 实际应用 · 篱笆问题 (1) 用篱笆围一个面积为 100 m² 的矩形菜园，边长为多少时篱笆最短？最短是多少？ (2) 用一段长 36 m 的篱笆围矩形菜园，边长为多少时面积最大？最大面积是多少？ 设矩形相邻两边长为 x m、y m。 33 a + b ≥ 2√a̅b̅ 例3 · 解（1）积定 → 和最小 解 由已知 xy ＝ 100（积为定值）。 x + y ≥ 2＝ 2＝ 20， 所以篱笆长 2(x+y) ≥ 40，当且仅当 x＝y＝10 时取等。 即菜园为边长 10 m 的正方形时篱笆最短，最短 40 m。 34 a + b ≥ 2√a̅b̅ 例3 · 解（2）和定 → 积最大 解 由已知 2(x+y)＝36，即 x + y ＝ 18（和为定值）。 面积 xy ≤ ＝ ＝ 81， 当且仅当 x＝y＝9 时取等。 即菜园为边长 9 m 的正方形时面积最大， 最大 81 m²。 35 a + b ≥ 2√a̅b̅ 例4 贮水池造价 建造一个长方体形无盖贮水池，容积为 4800 m³，深为 3 m。池底每平方米造价 150 元，池壁每平方米造价 120 元。怎样设计使总造价最低？最低是多少？ 设池底相邻两边长为 x m、y m，总造价为 z 元。 36 a + b ≥ 2√a̅b̅ 例4 · 解 解 z ＝ 150 × (4800÷3) + 120 × (2·3x + 2·3y) ＝ 240000 + 720(x + y)。 由容积 3xy ＝ 4800 得 xy ＝ 1600（积为定值）。 x + y ≥ 2 ＝ 2＝ 80， 所以 z ≥ 240000 + 720 × 80 ＝ 297600， 当 x＝y＝40 时取等。 即池底为边长 40 m 的正方形时总造价最低，最低 297600 元。 37 a + b ≥ 2√a̅b̅ 实际最值 · 四步 设：设出变量，写清它们的正负与实际含义； 列：列出"和"或"积"的定值关系； 判：判断求的是和还是积，套原理（和定积最大、积定和最小）； 答：验取等，回到实际情境把结论说清楚。 38 a + b ≥ 2√a̅b̅ 辨一辨 陷阱一：忘了"一正" 问 有人说"x + ≥ 2 对一切 x 都成立"，对吗？ 明确 错。基本不等式要求各项为正。当 x ＜ 0 时，x + ≤ －2（方向相反）。 用基本不等式前，第一件事就是确认"一正"——各项都大于 0。 39 a + b ≥ 2√a̅b̅ 辨一辨 陷阱二：凑不出定值 问 求 x + （x＞0）的最小值，直接写 ≥ 2行不行？ 明确 不行。x · ＝ 不是定值，得到的下界会随 x 变，不是真正的最小值。 正确做法：把 x 拆成 ＋ ，与 三项凑出定积（三元均值），或改用函数方法。 40 a + b ≥ 2√a̅b̅ ★ 拓展 三个正数的均值不等式 对三个正数，也有"算术平均数不小于几何平均数"：三数之和 ≥ 3 倍的（三数之积的立方根）。 已知 f(x) ＝ x² + + 1（1 ≤ x ≤ 3），求它的最小值。 问 两项 x² 与 之积不是定值。能不能把 拆成两份，凑成三项？ 41 a + b ≥ 2√a̅b̅ ★ 拓展 · 解 解 把 x分之16 拆成 + ，得 f(x) ＝ x² + + + 1。 三项之积 x²· ·＝ 64 为定值，由三元均值不等式： x² + + ≥ 3 × ＝ 3 × 4 ＝ 12， 所以 f(x) ≥ 13，当 x² ＝ ，即 x³ ＝ 8、x ＝ 2（在 [1，3] 内）时取等。 最小值为 13。 42 a + b ≥ 2√a̅b̅ 当堂检测（一） 1. 已知 a、b＞0，ab＝2，求 + 的最小值。 2. 已知正实数 a、b 满足 ab＝8，求 a + 2b 的最小值。 答案1 + ＝ ＝ ≥ ＝ （a＝b＝时取等）。 答案2 a + 2b ≥ 2 ＝ 2＝ 8（a＝2b，即 a＝4、b＝2 时取等）。 43 a + b ≥ 2√a̅b̅ 当堂检测（二） 3. 当 x＞1 时，求 x + 的最小值。 4. 用一段长 36 m 的篱笆围矩形菜园，边长多少时面积最大？最大是多少？ 答案3 (x－1) ++ 1 ≥ 2+ 1，当 x ＝ 1＋ 时取等，最小值 2 + 1。 答案4 x+y ＝ 18，面积 xy ≤ ＝ 81，当 x＝y＝9 时取等。边长 9 m 的正方形时面积最大，最大 81 m²。 44 a + b ≥ 2√a̅b̅ 本课小结 基本不等式 a+b ≥ 2（两个正数的算术平均数不小于几何平均数，a、b＞0，a＝b 取等），由重要不等式 a²+b²≥2ab 用 、代入得到； 两种理解：分析法（执果索因）证明；几何上"半弦不大于半径"； 求最值三查：一正、二定、三相等——积定求和的最小，和定求积的最大； 常用技巧：拼凑（拆·凑·验）、"1"的代换；实际问题按"设·列·判·答"四步。 45 a + b ≥ 2√a̅b̅ 易错提醒 考试丢分就在这几处 丢"一正"：没确认各项为正就用；x＜0 时 x+≤ －2。 凑不出定值硬用：积（或和）不是常数，得到的"最值"是假的。 忘验"三相等"：取等的取值不在定义域内，最值不成立。 和定、积定用反：记住"和定求积、积定求和"。 只写"≥某数"不写取等：必须写出使等号成立的取值，最值才算求出。 46 a + b ≥ 2√a̅b̅ 课时作业 A组（全体必做）：基本不等式概念与命名；直接求最值；拼凑与"1"的代换； B组（★优生班必做、普通班选做）：大小比较、三元均值拓展、证明题； 所有求最值、证明题要写出完整过程与取等条件。 建议用时 25 分钟。题目见《2.2 基本不等式·课时作业》。 47 a + b ≥ 2√a̅b̅ 这一节到这里 下一节　2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 把"求最值"的经验，接着用到二次函数上。 48 $