精品解析：陕西麟游县两亭初级中学2025-2026学年上学期七年级开学数学收心练习

2025年秋季七年级新生入学测试数学试题 时间：60分钟 满分：100分 一、填空题（每小题4分，共44分） 1. 【钟面行程】现在是10时整，再过______，时针与分针第一次垂直． 【答案】 分钟 【解析】 【分析】10时整时针与分针相差10小格，垂直时相差15小格，根据分针和时针的速度差，用追及问题公式计算时间即可． 【详解】解：钟面一圈共60小格，分针每分钟走小格，时针每分钟走小格， 10时整，时针指向10，分针指向12，分针领先时针小格， 当时针与分针第一次垂直时，夹角为，对应分针领先时针小格， 因此分针需要比时针多走（小格），分针与时针的速度差为（小格/分钟）， 故所需时间为（分钟）． 2. 【多次相遇】妙妙和奇奇分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间．妙妙的速度是65米/分，奇奇的速度是70米/分，经过5分钟两人第二次相遇，这座桥长______米． 【答案】225 【解析】 【分析】思考出从出发到第二次相遇，两人一共走了三个桥的全长是关键，先计算两人5分钟行走的总路程，再除以3即可得到桥长． 【详解】解：两人从两端同时出发往返运动，‌第二次相遇时合计行走总路程 倍桥长‌（第一次相遇共走 1 个桥长，之后各自到端点再折返再次相遇，累计 3 个桥长） 两人5分钟行走的总路程：米， 桥长：米． 3. 【数列找规律】用表示组成的数字中不是零的几个数字的乘积，例如：；；．则______． 【答案】 2116 【解析】 【分析】将原式按，，拆分计算，对两位数按十位分组求和，再合并得到结果． 【详解】解：将原式拆分为三部分分别计算： 第一部分，计算的和： ； 第二部分，计算的和： 任意两位数可写为，其中是十位数字，，是个位数字，； 根据定义，当时，； 当时，； 因此十位为的个数的值和为： ， 对从到求和，得到的总和： ； 第三部分，计算： 中只有是非零数字，因此， 将三部分相加得： ． 4. 【数的整除特征】如图，现有八个盒子，各盒内装的糖数分别为7，13，24，28，30，31，33，40．甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人取走．已知乙、丙取到的糖块数相同且分别为丁的2倍．甲取走的一盒中有______块糖． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设丁取到的糖为份，则乙、丙各取份，三人共取份，说明剩余盒糖的总数是的倍数，计算盒糖的总和，根据余数性质确定甲取走的那盒糖数除以的余数，即可解答． 【详解】解：设丁取到的糖为份， ∵乙、丙取到的糖块数相同且分别为丁的倍， ∴乙取到份，丙取到份， ∴乙、丙、丁三人取到的糖块总数为（份）， 即剩余盒糖的总数是的倍数． 由题意得，盒糖共有（块）． ∵， ∴盒糖的总数除以余． 又∵剩余盒糖的总数是的倍数， ∴甲取走的那盒糖数除以也应余． 观察各盒糖数：  ，，，，，，，， 发现只有除以余， ∴甲取走的一盒中有块糖． 5. 【牛吃草问题】有一池泉水，泉底不断涌出泉水，且每小时涌出的泉水一样多．如果用10台抽水机20小时可以把水抽干，用15台同样的抽水机10小时可以把水抽干，那么用30台这样的抽水机______小时可以把水抽干． 【答案】 【解析】 【分析】设每台抽水机每小时抽水量为1份，先求出每小时涌出的泉水量，进而求得池中原有的泉水量，再计算30台抽水机抽干所需时间． 【详解】解：设1台抽水机1小时的抽水量为1份， 每小时涌出的泉水量为（份）， 池中原有的泉水量为（份）， （小时） 即用30台这样的抽水机4小时可以把水抽干． 6. 如图所示，足球一般是由许多黑白相间的小皮块缝合而成的，黑块呈五边形，白块呈六边形，已知黑块有块，则白块有______块． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的应用，由题意得五边形与六边形的个数比为，设黑块有块，则白块有块，列出方程，然后求解即可，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 【详解】∵每个五边形都连接着五个六边形，每个六边形都连接着三个五边形， ∴五边形与六边形的个数比为， 设黑块有块，则白块有块， 由题意得：， 解得， ∴白块有， 故答案为：． 7. 【容斥原理】某校对七年级某班新生做一项调查，学生共48人，会唱歌的人数占全班的，会跳舞的占全班的，两项都不会的有3人，两项都会的有______人． 【答案】 23 【解析】 【分析】先根据占比求出会唱歌和会跳舞的人数，再求出至少会一项的人数，利用容斥原理计算两项都会的人数． 【详解】解：计算会唱歌的人数： (人)； 计算会跳舞的人数：(人)； 计算至少会一项的人数：全班人数减去两项都不会的人数，即 (人)； 根据容斥原理，两项都会的人数等于会唱歌人数加会跳舞人数减去至少会一项的人数，代入计算得：(人)． 8. 【图形变化规律】下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第______个图形中面积为1的正方形的个数为2024个． 【答案】404 【解析】 【分析】观察图形可知，后一个图形比前一个图形多个正方形，据此得出第个图形的正方形个数规律式，令其等于2024求解即可． 【详解】解：由图可得，第个图形中面积为的正方形有（个）， 第个图形中面积为的正方形有（个）， 第个图形中面积为的正方形有（个）， …， ∴第个图形中面积为的正方形有（个）， 由题意得， 解得， ∴第404个图形中面积为的正方形的个数为2024个． 9. 【底高模型】如图，把四边形的各边延长，使得，，，，得到一个大的四边形，若四边形的面积是1，则四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、、，设，，利用“等底同高”的等积变形可得，，同理可得，求和即可得到四边形的面积． 【详解】解：如图，连接、、，设，，则， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， 如图，连接、、，设，，则， 同理，， ∴四边形的面积为． 10. 【浓度问题】乐乐把30克糖放入空杯中，倒入240克白开水，充分搅拌，喝去一半糖水后，又加入160克的白开水，要使杯中的糖水和原来一样甜，需要再加______克的糖． 【答案】 20 【解析】 【分析】糖水和原来一样甜说明浓度相同，剩余原有糖水的浓度已经和原浓度一致，因此只需保证新加入的糖和水的比例等于原糖水中糖和水的比例，即可让整体浓度和原来相同． 【详解】解：设需要再加克糖，原糖水中糖与水的比为， 根据题意，得， 交叉相乘得， 计算得 两边同除以240，得． 答：需要再加20克糖． 11. 【逻辑推理】有6个学生都面向北站成一行，每喊一次口令只能有五个人向后转，则最少需要喊______次，才能使这六人都面向南． 【答案】 【解析】 【分析】求出5和6的公倍数，即是最少要向后转的总次数，从而可求得最小要喊的次数． 【详解】解：由题意可知，个学生向后转的总次数是和的公倍数，即，，，…，所以至少要喊（次）． 所以最少需要喊次． 二、解答题（共56分） 12. 【环形跑道问题】如图所示的正六边形是一个环行路，每边长米．甲、乙两人分别从，两地同时按顺时针方向行走，甲每分钟走米，乙每分钟走米．经过几分钟，甲、乙第一次同时到达点？经过几分钟，甲、乙第二次同时到达点？ 【答案】第一次同时到达点经过分钟，第二次同时到达点经过分钟 【解析】 【分析】先求出正六边形周长，得到甲每次回到点的时间间隔，再求出乙从点出发每次回到点的时间，再利用最小公倍数，进而求出甲、乙第一次、第二次同时到达点的时间． 【详解】解：正六边形每边长米， 周长为：米， 甲从点出发顺时针行走，每次回到点时，走过的路程都是米的整数倍， 甲走一圈（回到点）的时间为分钟， 设经过分钟甲到达点，则是的正整数倍， 即为正整数)， 乙从点出发顺时针走到点，需经过条边， 初始路程为米， 乙第一次到达点后，每多走一圈（米）会再次回到点， 设乙到达点时，总共走了圈加初始的米（为非负整数）， 则乙走的总路程为米， 对应时间为， 两人同时到达A点时时间相等， ， ， ， 通过枚举非负整数，寻找使为正整数的解： 当时，，，不是整数，舍去； 当时，，，不是整数，舍去； 当时，，，不是整数，舍去； 当时，，，是正整数，符合条件； 此时分钟，即第一次同时到达点的时间为分钟， 继续枚举寻找第二个解： 当到时，均不为整数，舍去； 当时，，，是正整数，符合条件； 此时分钟，即第二次同时到达点的时间为分钟． 答：第一次同时到达点经过分钟，第二次同时到达点经过分钟． 13. 【百分数的应用】某商店到苹果产地收购了2吨苹果，收购价为每千克2.70元，从产地到商店的距离是500千米，运费为每吨货物每运1千米收150元，如果在运输及销售过程中的损耗为，那么商店要实现的利润率，零售价就是每千克多少元？ 【答案】零售价是每千克元 【解析】 【分析】先求出总成本，从而可得目标总销售额，再求出损耗后的实际销售重量，即可得出结果． 【详解】解：2吨千克， 收购总价：（元）， 运费：（元）， 总成本：（元）， 目标总销售额：（元）， 损耗后的实际销售重量：（千克）， 零售价：（元/千克）， 故零售价是每千克元． 14. 【相遇问题】甲、乙两车分别从，两地同时出发相向而行，出发时，甲和乙的速度比是，相遇后，甲的速度增加，乙的速度增加，这样，当甲到达地时，乙离地还有千米，那么，两地相距多少千米？ 【答案】，两地相距千米. 【解析】 【分析】先根据甲乙两车的速度比得到相遇时的路程比，然后算出相遇后两车的新速度与路程比，求出甲走完剩余路程时乙走的路程，算出千米对应的全程占比，进而求出总路程． 【详解】解：如图，被分为份，为甲、乙车的相遇点，当甲到达点时，乙到达点， 根据题意可知，相遇前，甲、乙两车的路程比为，即， 相遇后，甲、乙两车的速度比为， 则相遇后，甲、乙两车的路程比为，即， 可得相遇后，甲行驶的路程占整个路程的，乙行驶的路程占整个路程的， 占整个路程的， 已知千米， 故，两地相距千米． 15. 【动点问题】如图1，在长方形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1cm，a秒时点P的速度变为每秒，图2是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数关系图象． （1）根据图2中提供的信息，______，______，______； （2）点P出发后几秒，的面积是长方形面积的四分之一？ 【答案】（1）6 2 17 （2）5秒或14.5秒 【解析】 【分析】（1）可根据图象分段利用三角形面积公式“底高”，底为一定，高随时间的变化而变化，解得的值，根据路程、速度、时间的关系求出c的值； （2）可分两种情况：当时或当 时，根据的面积是长方形面积的四分之一分别列方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：当时，，把代入，得 ，即． 当时，，把代入，得，即． 当时， ①当点P从B点运动到C点，的面积一定， 所需时间是(秒)； ②当点P从C点运动到D点，所需时间是(秒)． ∴； 【小问2详解】 解：长方形面积是， 要使的面积是长方形的面积的四分之一，只可能在和上才满足． 当时，，即； 当 时， ， 即； ∴点P出发后5秒或14.5秒，的 面积是长方形面积的四分之一． 16. 如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为． （1）在数轴上与点距离个单位的位置所表示的数是 ； （2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请求出点对应的数是多少？ （3）若当电子蚂蚁从点出发时，以单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以单位/秒的速度也向右运动，求出当两只电子蚂蚁相距个单位时，电子蚂蚁位置对应的数是多少？ 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（）设在数轴上距离点个单位长度的点表示的数是，根据数轴上两点间距离公式列出方程解答即可； （）设点对应的数是，分点在点的右边和点在点的左边两种情况，根据数轴上两点间距离公式列出方程解答即可； （）设点对应的点所表示的数是，分点在点的右边和点在点的左边两种情况，根据数轴上两点间距离公式列出方程解答即可； 本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：设在数轴上距离点个单位长度的点表示的数是， 则， 解得或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：设点对应的数是， 则， 解得， ∴点对应的数是； 【小问3详解】 解：设点对应的点所表示的数是， ①当点在点的右边时， 则， 解得； ②当点在点的左边时， 则， 解得； 答：电子蚂蚁位置对应的数是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季七年级新生入学测试数学试题 时间：60分钟 满分：100分 一、填空题（每小题4分，共44分） 1. 【钟面行程】现在是10时整，再过______，时针与分针第一次垂直． 2. 【多次相遇】妙妙和奇奇分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间．妙妙的速度是65米/分，奇奇的速度是70米/分，经过5分钟两人第二次相遇，这座桥长______米． 3. 【数列找规律】用表示组成的数字中不是零的几个数字的乘积，例如：；；．则______． 4. 【数的整除特征】如图，现有八个盒子，各盒内装的糖数分别为7，13，24，28，30，31，33，40．甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人取走．已知乙、丙取到的糖块数相同且分别为丁的2倍．甲取走的一盒中有______块糖． 5. 【牛吃草问题】有一池泉水，泉底不断涌出泉水，且每小时涌出的泉水一样多．如果用10台抽水机20小时可以把水抽干，用15台同样的抽水机10小时可以把水抽干，那么用30台这样的抽水机______小时可以把水抽干． 6. 如图所示，足球一般是由许多黑白相间的小皮块缝合而成的，黑块呈五边形，白块呈六边形，已知黑块有块，则白块有______块． 7. 【容斥原理】某校对七年级某班新生做一项调查，学生共48人，会唱歌的人数占全班的，会跳舞的占全班的，两项都不会的有3人，两项都会的有______人． 8. 【图形变化规律】下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第______个图形中面积为1的正方形的个数为2024个． 9. 【底高模型】如图，把四边形的各边延长，使得，，，，得到一个大的四边形，若四边形的面积是1，则四边形的面积是______． 10. 【浓度问题】乐乐把30克糖放入空杯中，倒入240克白开水，充分搅拌，喝去一半糖水后，又加入160克的白开水，要使杯中的糖水和原来一样甜，需要再加______克的糖． 11. 【逻辑推理】有6个学生都面向北站成一行，每喊一次口令只能有五个人向后转，则最少需要喊______次，才能使这六人都面向南． 二、解答题（共56分） 12. 【环形跑道问题】如图所示的正六边形是一个环行路，每边长米．甲、乙两人分别从，两地同时按顺时针方向行走，甲每分钟走米，乙每分钟走米．经过几分钟，甲、乙第一次同时到达点？经过几分钟，甲、乙第二次同时到达点？ 13. 【百分数的应用】某商店到苹果产地收购了2吨苹果，收购价为每千克2.70元，从产地到商店的距离是500千米，运费为每吨货物每运1千米收150元，如果在运输及销售过程中的损耗为，那么商店要实现的利润率，零售价就是每千克多少元？ 14. 【相遇问题】甲、乙两车分别从，两地同时出发相向而行，出发时，甲和乙的速度比是，相遇后，甲的速度增加，乙的速度增加，这样，当甲到达地时，乙离地还有千米，那么，两地相距多少千米？ 15. 【动点问题】如图1，在长方形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1cm，a秒时点P的速度变为每秒，图2是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数关系图象． （1）根据图2中提供的信息，______，______，______； （2）点P出发后几秒，的面积是长方形面积的四分之一？ 16. 如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为． （1）在数轴上与点距离个单位的位置所表示的数是 ； （2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请求出点对应的数是多少？ （3）若当电子蚂蚁从点出发时，以单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以单位/秒的速度也向右运动，求出当两只电子蚂蚁相距个单位时，电子蚂蚁位置对应的数是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $