第十七章 因式分解（单元自测卷·内蒙古专用）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册数学因式分解单元卷，以情境化问题与分层设计为特色，覆盖提公因式法、公式法等核心知识，适配单元复习，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|基本因式分解（第1题）、公式应用（第5题）|结合图形面积推导公式（第8题），渗透几何直观| |填空题|4/12|物理电阻串联（第9题）、图形分解（第11题）|引入“鸿蒙数”新定义（第12题），培养创新意识| |解答题|6/64|整体思想（第15题）、特值法（第18题）|设计密码编译情境（第7题）、新运算探究（第16题），强化应用与推理能力|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第十七章 因式分解 建议用时：90分钟，满分：100分 1、 选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.以下因式分解正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义与提公因式、十字相乘法，因式分解要求分解彻底，结果为整式乘积形式。 【详解】 A. ，分解不彻底，错误； B. ，提取公因式后无法继续分解，正确； C. 右边不是整式乘积形式，不属于因式分解，错误； D. 十字相乘展开：，分解错误； 故选：B。 2.多项式因式分解的结果为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查提公因式法因式分解，先统一公因式符号再提取。 【详解】 原式，公因式为， 提取公因式得：， 故选：B。 3.若，，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查提公因式整体代入求值，先分解代数式再整体代换已知条件。 【详解】 ， 代入， 原式， 故选：D。 4.已知，，是的三边长，且满足，则的形状为(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 无法判断 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查分组分解因式结合三角形三边关系判断三角形形状。 【详解】 ，分组得， 提取公因式：， ∵三角形边长，∴，即， 两边相等，故是等腰三角形， 故选：A。 5.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式因式分解特征：两平方项同号，中间项为两底数积的 2 倍。 【详解】 A. 中间项不是的 2 倍，不符合； B. 常数项为负，不满足两平方项同号，不符合； C. 是平方差形式，不是完全平方式； D. ，符合完全平方公式； 故选：D。 6.下列各数中，不能整除的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查多次提公因式 + 平方差分解，再判断因数。 【详解】 ， ， 式子包含因数，不含因数，故不能被 7 整除， 故选：D。 7.一名密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是(    ) A. 爱数学 B. 我爱数学 C. 爱祖国 D. 我爱祖国 【答案】D 【分析】本题综合提公因式 + 平方差分解，匹配对应文字。 【详解】 ， 对应：我，祖，爱，国，组合为 “我爱祖国”， 故选：D。 8.如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于，的恒等式，这个恒等式为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式几何意义，分别表示两图形阴影面积建立等式。 【详解】 正方形阴影面积：； 梯形上底，下底，高，面积； 面积相等：， 故选：C。 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，把，单位：两个电阻串联起来，线路上的电流为单位：，电压为单位：，则当，，时，的值为          ． 【答案】 【分析】本题提公因式简化计算，物理公式结合因式分解简便运算。 【详解】 。 10.若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值是          ． 【答案】 【分析】本题完全平方公式参数求解，分两种完全平方式讨论。 【详解】 ， 完全平方式中间项：， 原式中间项为，故，即。 11.如图，根据图形把多项式分解因式的结果为          ． 【答案】 【分析】本题几何面积法十字相乘因式分解，大长方形长，宽。 【详解】 图形总面积：，整体长方形长，宽， 故。 12.对于任意两个数，，定义新数，称所得新数为，的“鸿蒙数”若，，则          填“”“”“”或“”． 【答案】 【分析】本题新定义运算 + 作差法配完全平方比较大小。 【详解】 代入，， 作差：， 把代入： ， ，即。 三、解答题：本题共6小题，共64分。 13（10分）分解因式： ． 【答案】 (1)解:原式=-2a(-6a+9)=-2a.  (2)解:原式=(x-y)(9-4)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b).  (3)解:原式==.  14.7分 我校数学社团的小亮、小颖两位同学利用分组分解法进行因式分解： 小亮： ． 小颖： 请你在他们解法的启发下，解决下面问题： 因式分解：． 已知，，是的三边长，且满足，判断的形状并说明理由． 【答案】 (1) 【解】a3-3a2+a-3＝(a3-3a2)+(a-3)＝a2(a-3)+(a-3)×1＝(a2+1)(a-3)．  (2)△ABC是等腰三角形． 理由如下： ∵a2-2ac+c2＝ab-bc， ∴a2-2ac+c2-ab+bc＝0， ∴(a-c)2-b(a-c)＝0， ∴(a-c)(a-c-b)＝0， ∴a-c＝0或a-c-b＝0． ∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a＝c， ∴△ABC为等腰三角形．  15.10分 分解因式：． 解：，将看成整体，令，则原式将还原，则原式上述解题过程用到的是“整体思想”． 请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】分解因式：． 【拓展探索】求证：无论，取何值，的值一定是非负数． 【答案】(1)解:令a-2b=M 则原式=-6M+9= 将M还原,则原式=  (2)证明:令-4a=N, 则原式=N(N-2)+1=-2N+1=, 将N还原,则原式=. 无论a,b取何值,(-4a)(-4a-2)+1的值一定是非负数.  16.12分 让我们来规定一种运算：，例如：，再如：按照这种运算规定，请解答下列问题：            当时，求的值 将下面的式子进行因式分解：． 【答案】 (1)14  (2)由题意得2x-(1-x)1=0,解得x=.  (3)原式=(-2x)(-2x-11)-(-3)8 =-11(-2x)+24 =(-2x-3)(-2x-8) =(x+1)(x-3)(x+2)(x-4). 17.12分 阅读材料： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为 根据题意，得， 则 解得 另一个因式为，的值为． 请根据上述材料回答下列问题： 若二次三项式可分解为，则          ； 若二次三项式可分解为，则          ； 若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】 (1) -3  (2)9  (3)设另一个因式为(x+n)．  根据题意，得2x2+3x-k＝(2x-5)(x+n)＝2x2+(2n-5)x-5n，  则2n-5＝3，k＝5n，  解得n＝4，k＝20， ∴另一个因式为(x+4)，k的值为20．  18.13分 特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法综合与实践课上，田老师展示了如下例题： 例：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：由题意，设为整式， 由于上式为恒等式，为了方便计算，取， 则，解得． 【数学思考】“”处的值为           【方法应用】已知多项式有一个因式是，求的值 【深入探究】若多项式有因式和，求，的值． 【答案】 (1)24  (2)由题意,设2--x+b=A(2x-3)(A为整式). 令2x-3=0,即x=,代入式子, 得2--+b=0, 解得b=-3;  (3)依题意,设+a+bx-4=A(x+1)(x-2). 由于上式是恒等式,为方便计算,取x=-1, 得+a+b(-1)-4=0, 即a+b=-3, 取x=2,得+a+b2-4=0, 即4a+b=-6, 解方程组 解得 a=-1,b=-.  学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第十七章 因式分解 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.以下因式分解正确的是(    ) A. B. C. D. 2.多项式因式分解的结果为  (    ) A. B. C. D. 3.若，，则的值为  (    ) A. B. C. D. 4.已知，，是的三边长，且满足，则的形状为(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 无法判断 D. 等腰直角三角形 5.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(    ) A. B. C. D. 6.下列各数中，不能整除的是(    ) A. B. C. D. 7.一名密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是(    ) A. 爱数学 B. 我爱数学 C. 爱祖国 D. 我爱祖国 8.如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于，的恒等式，这个恒等式为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，把，单位：两个电阻串联起来，线路上的电流为单位：，电压为单位：，则当，，时，的值为           ． 10.若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值是           ． 11.如图，根据图形把多项式分解因式的结果为           ． 12.对于任意两个数，，定义新数，称所得新数为，的“鸿蒙数”若，，则           填“”“”“”或“”． 三、解答题：本题共6小题，共64分。 13（10分）分解因式： ． 14.7分我校数学社团的小亮、小颖两位同学利用分组分解法进行因式分解： 小亮： ． 小颖： 请你在他们解法的启发下，解决下面问题： 因式分解：． 已知，，是的三边长，且满足，判断的形状并说明理由． 15.10分分解因式：． 解：，将看成整体，令，则原式将还原，则原式上述解题过程用到的是“整体思想”． 请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】分解因式：． 【拓展探索】求证：无论，取何值，的值一定是非负数． 16.12分 让我们来规定一种运算：，例如：，再如：按照这种运算规定，请解答下列问题：            当时，求的值 将下面的式子进行因式分解：． 17.12分阅读材料： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为 根据题意，得， 则 解得 另一个因式为，的值为． 请根据上述材料回答下列问题： 若二次三项式可分解为，则          ； 若二次三项式可分解为，则          ； 若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 18.13分特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法综合与实践课上，田老师展示了如下例题： 例：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：由题意，设为整式， 由于上式为恒等式，为了方便计算，取， 则，解得． 【数学思考】“”处的值为           【方法应用】已知多项式有一个因式是，求的值 【深入探究】若多项式有因式和，求，的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测（内蒙古专用） 第十七章因式分解（参考答案) 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A D 0 D 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 220 10. ±12 11. （a+b)(a+4b】 12. 2 三、解答题（共6小题，共64分） 13.(10分)（第1-2小题每题3分，第3小题4分） 【详解】 (1)解： 原式=2a(a-6a+9)2分 =2aa-3}3分 (2)解：原式-K-y）)9a2-4b.2分 -(k-y）3a+2b)(3a-2b).3分 (3)解：原式气2x+(x-yPo…2分 (3X-y24分 14.(7分) 【详解】 (1)a3-3a2+a-3 =(a3-3a2)t(a-3) 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =a2(a-3)+(a-3)×1 =(a2+1)a-3). 3分 (2)△ABC是等腰三角形..4分 理由如下： .a2-2ac+c2=ab-bc, a-2ac+c2-ab+bc=0, .∴(a-c)2-b(a-c)=0, ∴.(a-c(a-c-b)=0, .a-C=0或a-C-b=0.6分 .a,b,c是△ABC的三边长， .∴.a=c, ∴.△ABC为等腰三角形. .7分 15.(10分) 【详解】 (1)解：令a-2b=M 则原式二M2-M什9M-32…… 3分 将M还原则原式=（a-2b-32 5分 (2)证明：令a2b2-4aN, 则原式N0N-2+1=N2-2N+15(N-1 7分 将N还原，则原式(a6-4a-1之09分 .无论ab取何值ab24a。7b24a-21的值一定是非负数…10分 16.(12分) 【详解】 (1)14。 2分 2/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)由题意得2×X-(1-X)×1=0,4分 解物x 5分 (3)原式-(x2-2x(x2-2x-11)-(-3)×8. 8分 (x2-2x-11x-224 X2-2X-30X2-2X-8).10分 -(x+1)0区-3)(8+2)(x-4).… 12分 17.(12分) 【详解】 (1)-3… …2分 (2）94分 (3)设另一个因式为(x+n). 根据题意，得2x2+3x-k=(2x-5)x+n)=2x2+(2n-5)x-5n, 7分 则2m-5=3,k=5n, 9分 解得n=4,k=20,11分 .另一个因式为(4)，k的值为20.12分 18.(13分) 【详解】 (1)24.… 3分 (2)由题意，设2x3-x2-x+b=A'(2x-3)(A为整式) 令a0即x号代入武子。 得2x名月号-号身b0mm5分 解得b=-3;7分 (3)依题意，设x4+ax3+bx-4A'(K+1)k-2). 由于上式是恒等式，为方便计算，取x=1, 3/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得(-1}ta×-1bx1)-40.8分 即a叶b=-3,9分 取x2,得24+a×23+b×2-4=0, 即4a十b=-6,… 10分 a+b=-3, 解方程组 4a+b=-6, a=-1, 解得 b=-2,… 12分 :.ae-1,b=2 .13分 4/4 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第十七章 因式分解 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.以下因式分解正确的是(    ) A. B. C. D. 2.多项式因式分解的结果为  (    ) A. B. C. D. 3.若，，则的值为  (    ) A. B. C. D. 4.已知，，是的三边长，且满足，则的形状为(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 无法判断 D. 等腰直角三角形 5.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(    ) A. B. C. D. 6.下列各数中，不能整除的是(    ) A. B. C. D. 7.一名密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是(    ) A. 爱数学 B. 我爱数学 C. 爱祖国 D. 我爱祖国 8.如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于，的恒等式，这个恒等式为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，把，单位：两个电阻串联起来，线路上的电流为单位：，电压为单位：，则当，，时，的值为           ． 10.若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值是           ． 11.如图，根据图形把多项式分解因式的结果为           ． 12.对于任意两个数，，定义新数，称所得新数为，的“鸿蒙数”若，，则           填“”“”“”或“”． 三、解答题：本题共6小题，共64分。 13（10分）分解因式： ． 14.7分我校数学社团的小亮、小颖两位同学利用分组分解法进行因式分解： 小亮： ． 小颖： 请你在他们解法的启发下，解决下面问题： 因式分解：． 已知，，是的三边长，且满足，判断的形状并说明理由． 15.10分分解因式：． 解：，将看成整体，令，则原式将还原，则原式上述解题过程用到的是“整体思想”． 请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】分解因式：． 【拓展探索】求证：无论，取何值，的值一定是非负数． 16.12分 让我们来规定一种运算：，例如：，再如：按照这种运算规定，请解答下列问题：            当时，求的值 将下面的式子进行因式分解：． 17.12分阅读材料： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为 根据题意，得， 则 解得 另一个因式为，的值为． 请根据上述材料回答下列问题： 若二次三项式可分解为，则          ； 若二次三项式可分解为，则          ； 若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 18.13分特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法综合与实践课上，田老师展示了如下例题： 例：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：由题意，设为整式， 由于上式为恒等式，为了方便计算，取， 则，解得． 【数学思考】“”处的值为           【方法应用】已知多项式有一个因式是，求的值 【深入探究】若多项式有因式和，求，的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $