第17章 因式分解 单元试卷 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦人教版八上因式分解，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，融合几何直观、模型意识等核心素养，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|因式分解定义、平方差公式、三角形三边关系|第8题“智慧数”创新定义，考查推理意识| |填空题|8/32|提公因式法、十字相乘法、拼图验证因式分解|第14题图形拼贴体现几何直观，强化数学眼光| |解答题|8/94|整体思想、实际应用、数形结合|21题整体思想因式分解，24题拼图验证乘法公式，培养数学思维与应用意识|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年八上单元测试—因式分解 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版2024八年级上册第十七章—因式分解 一、选择题（共24分） 1．（本题3分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项，左边是单项式，不属于因式分解； B选项，右边为和的形式，不属于因式分解； C选项，是整式乘法，不属于因式分解； D选项，是多项式化为整式乘积的形式，属于因式分解． 2．（本题3分）若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先展开因式分解后的式子，利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】首先展开因式分解后的式子 又原多项式为，两个多项式相等对应系数相等 ∴， 将代入得 ∴ 故选：C． 3．（本题3分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，能运用平方差公式分解因式； B、不能运用平方差公式分解因式； C、不能运用平方差公式分解因式； D、不能运用平方差公式分解因式． 4．（本题3分）下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能用平方差公式分解的多项式需要满足可写成的形式，即两个平方项符号相反，为差的形式，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解； 选项B：，符合的形式，满足平方差公式分解因式的条件； 选项C：，两个平方项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解； 选项D：，是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解． 5．（本题3分）若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对等式左边用平方差公式因式分解，结合三角形三边关系判断m的符号． 【详解】解： ， ∵为三角形的三条边长， ∴， ， ∴， ， ∴， 即． 6．（本题3分）对于任何整数，多项式一定能被（     ） A．整除 B．整除 C．整除 D．整除 【答案】A 【分析】利用平方差公式对多项式进行因式分解，结合为整数的条件判断可整除的常数因式． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是的倍数， ∴多项式一定能被整除． 7．（本题3分）如图，一个长方形的两边长为，，周长为16，面积为12．则多项式的值为（     ） A．36 B．48 C．60 D．8 【答案】C 【分析】边长为a，b的长方形的周长为16，面积为12，得到，把多项式因式分解并整体代入即可． 【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为16，面积为12， ∴， ∴． 8．（本题3分）定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（     ） A．12是智慧数 B．将智慧数从小到大进行排列，第4个智慧数是9 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．若一个智慧数是两个奇数的平方差，则这个智慧数能被8整除 【答案】B 【分析】根据“智慧数”的定义，即正整数能表示为两个正整数的平方差，将变形为，其中、为正整数，，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，符合智慧数定义，是智慧数，A正确； 选项B：从小到大枚举可得，前4个智慧数依次为：3，5，7，8，因此第4个智慧数是8，不是9，B说法错误； 选项C：设大于1的奇数为，其中为正整数，，且和都是正整数， 所有大于1的奇数都是智慧数，C正确； 选项D：设两个奇数分别为，，其中、为非负整数，， 计算平方差得： 连续两个整数的乘积为偶数， 和都是偶数， 是偶数， 即原式等于乘正整数，即这个智慧数能被整除，D正确； 综上，说法不正确的是B． 二、填空题（共32分） 9．（本题4分）因式分解：________． 【答案】 【详解】解：． 10．（本题4分）分解因式：_________． 【答案】/ 【详解】解：． 11．（本题4分）因式分解：_______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 12．（本题4分）把多项式分解因式时，应提取的公因式是_____． 【答案】 【分析】根据公因式的确定，一看系数：各项系数为整数时，提取各项系数的最大公因数；二看字母：取各项都含有的相同字母；三看字母指数：取相同字母的最低次幂，进行解答，即可． 【详解】解：多项式中，系数与的最大公因数是，两项都含有的相同字母是，的最低次数是， ∴分解因式时应提取的公因式是． 13．（本题4分）已知关于x的多项式因式分解的结果为，则k的值为_______． 【答案】 【详解】解： 根据题意得， ∴ ∴． 14．（本题4分）用图①中的正方形和长方形纸片可拼成图②所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解为________ ． 【答案】 【分析】观察图1和图2，根据面积公式列出关系式即可． 【详解】解：根据题意得：． 15．（本题4分）把多项式提取公因式后，余下的部分是 _____． 【答案】 【详解】解： 把多项式提取公因式后，余下的部分是． 16．（本题4分）已知多项式能被整除，求的值________． 【答案】 【分析】由于，而多项式能被整除，则能被整除．运用待定系数法，可设商是A，则，则和时，，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值. 【详解】解：∵， ∴能被整除， 设商是A． 则， 则和时，右边都等于0，所以左边也等于0． 当时， ① 当时， ② ，得， ∴， ∴． ∴， 三、解答题（共94分） 17．（本题10分）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题10分）已知，，求的值． 【答案】 【分析】先利用提取公因式法和完全平方公式对原式进行因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19．（本题10分）利用“十字相乘法”因式分解： 同学们，我们已经学习了因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法．另外，因式分解还有一种很重要的方法叫作“十字相乘法”，常用于二次三项式的因式分解，实质上是逆用整式乘法的过程：，这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数． 请你仿照以上方法把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 20．（本题10分）一块边长为的正方形空地，在四角均留出一个边长为的正方形地块用来修建花坛，其余地方做成草坪，求草坪的面积大小． 【答案】草坪的面积为． 【分析】草坪面积等于大正方形空地的面积减去四个正方形花坛的总面积，利用平方差公式可简便计算得到结果． 【详解】解：由题意可知，大正方形空地的边长为，每个正方形花坛的边长为，设草坪的面积为， 则 ， 答：草坪的面积为． 21．（本题12分）[阅读材料]：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决]： (1)因式分解：； (2)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设 ，则原式可化为，利用完全平方公式因式分解为，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （2）先计算，再利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， 则 ； （2）解： ， ∵n为正整数， ∴是正整数． ∴， 即代数式的值一定是某个整数的平方． 22．（本题14分）现有甲、乙、丙三种卡片，如图所示．某同学从中取出若干张卡片，拼成如图和图的图形，如图所示． (1)若图的面积为，图的面积为，求和；（用代数式表示） (2)已知卡片乙的周长为，若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据长方形的面积公式，用含，的代数式分别表示出和即可； （2）根据卡片乙的周长为得出，再根据，进行整式的加减运算，再因式分解，结合整体思想进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ； （2）解：卡片乙的周长为， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ． 23．（本题14分）（1）求证：不论取何实数，多项式的值都不会是正数． （2）已知，求的值． 【答案】 （1）证明：∵ ∵ ， ∴ ∴ 不论 取何实数，多项式 的值都不会是正数． （2） 【分析】本题考查因式分解的应用和代数式的求值． （1）通过因式分解将多项式化为完全平方形式，结合非负性证明其值非正； （2）利用已知条件进行代数变形，通过整体代入求值． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 又 ∵ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ． 24．（本题14分）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．    (1)    情境一： ①如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如图1，请你用含、的式子表示一块等腰梯形木片的高________； ②请将这4块完全相同的等腰梯形木片拼出另一个图形，并画出该图形，使得与图1结合可验证乘法公式； (2)情境二：如图2，乙同学用12张纸片及若干张的纸片、纸片是否能拼成一个大正方形（不重叠、无缝隙）？如果不能拼成，请说明理由；如果能拼成，请写出所有能拼成的大正方形的边长（用含、的式子表示）； (3)情境三：丙同学声称自己用图2的三种纸片，2块纸片，5块纸片，8块纸片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，还需要从中增加3块纸片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致）． 【答案】(1)①， ②如图 (2)能拼成，大正方形的边长是或或或 (3)赞同丁同学的说法，所拼长方形的两边长为，， 长方形如下图所示． 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键． （1）①作出梯形木片的高，根据上底和下底的长度即可求解；②先结合①中计算的高将图1中平行四边形的面积表示出来，再根据要验证的推断出所作图形是边长为a的正方形减去一个边长为b的正方形，结合梯形木片上底和下底长度即可求解． （2）先设大正方形的边长为，算出面积，再分析构成图形的个纸片数量，再结合用了12张纸片C，即可求解． （3）能构成长方形，则要能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解． 【详解】（1）解：①如图，设等腰梯形的高为h， 由图形可知，， ②图1中平行四边形由四块梯形木片拼接而成，底边长度为，由①可知高为，故面积为， 所做图形由四块梯形木片和一个边长为b的正方形构成一个边长为a的大正方形，故四块梯形木片的面积为， 综上所述，可得． （2）设构成的大正方形边长为，则面积为， 由图2可知纸片A的面积为，纸片B的面积为，纸片C的面积为，故大正方形是由块纸片A、块纸片B、块纸片C构成， 根据题意可得，解得或或或， 综上可知，能拼成大正方形，大正方形的边长为或或或． （3）赞同丁同学的说法，增加3块C之后， 该情况下所拼长方形的两边长为和 试卷第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年八上单元测试一因式分解 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3.作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版2024八年级上册第十七章一因式分解 一、选择题（共24分） 1.(本题3分)下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是() A.6xy=2x.3x x2+4x+1=x(x+4)+1 C.(a+3a-3)=a2-9 D.x-2y=x(2-2y) 2.（本题3分)若多项式r--2可分解为x-1(x-b) ,则a-b的值为() A.2 B.-2 C.1 D.-1 3.(本题3分)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是() A.-x2+9y2 B-r2-9y2 c.3r2-4y D.r+4 4.(本题3分)下列多项式可以用平方差公式分解因式的是() A.4x2+9 B.4x2-9 C.-4x2-9 4x2-（-9) 5,（本愿3分)若a、6、c为三角形的三条边长，且a--c=m ,则m的取值范围为() A.m<0 B.m>0 C.m≥0 D.m>0或m<0 6.(本题3分)对于任何整数m,多项式(4m+5- 一定能被() 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 A.8整除 B.m整除 c.(m-1). 整除 D.(2m-少整除 7.(本题3分)如图，一个长方形的两边长为a,b,周长为16，面积为12.则多项式a2b-3ab+ab的 值为() a A.36 B.48 C.60 D.8 8.(本题3分)定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”.例如， 13=72-62 所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是() A.12是智慧数 B.将智慧数从小到大进行排列，第4个智慧数是9 C.所有大于1的奇数都是智慧数 D.若一个智慧数是两个奇数的平方差，则这个智慧数能被8整除 二、填空题（共32分) 9.(本题4分)因式分解：x2-6x+9= 10.(本题4分)分解因式：a2b-b= 11(本题4分)因式分解：2a3-8a=一. 12.（本题4分)把多项式a+3b分解因式时，应提取的公因式是一 13,《本题4分》已知关于的多项式2-c+x+16因式分解的结果为x-4,测女的值为 14.(本题4分)用图①中的正方形和长方形纸片可拼成图②所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多 项式的因式分解为 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 ① ② 15,(本愿4分》把多项式+-(-)提取公因式红-)后，余下的部分是 16.(本题4分)已知多项式2x-3x3+am2+7x+b能被x2+x-2整除，求a-b的值 三、解答题（共94分） 17.(本题10分)因式分解： Q)2a(b+c)-3(b+c) 23x2-6y+x 18.(本题10分)已知 x-y=-1 xy=3 xy-2x2y2+xy3 ，求 的值. 19.(本题10分)利用“十字相乘法”因式分解： 同学们，我们已经学习了因式分解的两种常用方法：提公因式法与公式法.另外，因式分解还有一种很重 要的方法叫作“十字相乘法”，常用于二次三项式的因式分解，实质上是逆用整式乘法的过程： ac+(ad+bc)x+bd=(x+b(cx+d）,这个方法的关键是把二次项系数与常数项分别都拆成两个因数的 积，并使这两组因数交叉相乘后的和等于一次项系数。 例如： 2x2+5x-3 →(2x-1)(x+3) /-1 用交叉相乘后的和1 3 验证一次项系数：2×3+1×(-1)=5 请你仿照以上方法把下列各式因式分解： )+8x+12 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 22y-7y+6 20.(本题10分)一块边长为12.8m的正方形空地，在四角均留出一个边长为1.4m的正方形地块用来修 建花坛，其余地方做成草坪，求草坪的面积大小 21.(本题12分)[阅读材料：因式分解：(x++2(x+)+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则原式+2A+1=(1+ 再将“4"还原，原式=(x+y+ 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法， [问题解决]： (1)因式分解： (x2-6x)(x2-6x+18)+81 ②)证明：若n为正整数，则代数式a+1n+2m+3m+1 的值一定是某个整数的平方 22.（本题14分)现有甲、乙、丙三种卡片，如图1所示.某同学从中取出若干张卡片，拼成如图2和图 3的图形，如图所示。 6 乙 乙 丙 b b丙 甲 甲 甲 甲 乙 乙 乙 图1 图2 图3 0喏图2的面积为8，图3的面积为8，求8和8，（用代数式表示） S S S2 ②尼知卡片乙的周长为10，若号-8=15 求a-b的值. 23.(本题14分)(1)求证：不论x取何实数，多项式-2x+12x-18x2的值都不会是正数. (2)已知 2=n+2,=m+2(m≠川），求m-2mm+f的值. 24.(本题14分)我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结 合百般好，隔离分家万事休.”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用」 在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘. 学科网知识店铺：苍穹精品工作室 b a b a 6 45· a 图1 a 6 a Q C b a 图2 (1)情境一： ①如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如图1，请你用含a、b的式子表示一块等腰梯形木片 的高 ②请将这4块完全相同的等腰梯形木片拼出另一个图形，并画出该图形，使得与图1结合可验证乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (②)情境二：如图2，乙同学用12张纸片C及若干张的纸片A、纸片B是否能拼成一个大正方形（不重叠、 无缝隙)？如果不能拼成，请说明理由：如果能拼成，请写出所有能拼成的大正方形的边长（用含、b 的式子表示)； (3)情境三：丙同学声称自己用图2的三种纸片，2块纸片A,5块纸片B,8块纸片C拼出了一个面积为 2a2+8ab+5b2 的长方形丁同学认为丙同学的说法有误，还需要从中增加3块纸片才能拼出长方形.你赞 同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形.（要求：所画图形的长宽 与图样一致)·