1.2 空间向量基本定理 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，通过问题导入（如用两两垂直向量表示空间向量），结合平面向量基本定理类比推导，搭建从平面到空间的知识支架，帮助学生理解定理及基底表示。 其亮点在于以问题链驱动定理推导（如唯一性证明），结合平行六面体、三棱锥等实例，培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。采用知识剖析、分层例题及课堂小结，助力学生提升空间观念，教师可高效开展教学。

§1.2 空间向量基本定理 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用. 2.会用基底表示空间向量(重点). 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法(难点). 学习目标 空间向量基本定理 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝ ，p能否用i，j，k表示呢？ 问题1 提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk. 不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k. 请证明x，y，z的唯一性. 问题2 由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的. 1 空间向量基本定理 如果三个向量,,不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一（唯一性是 指若,则,,）的有序实数组 ，使得 . . . 7 2 基底与基向量 如果三个向量,,不共面（说明,,均不为 ，否则三者一定共面，因为零向 量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面），那么所有空间向量组成 的集合就是{,,,}.这个集合可看作由向量,, 生成的，我 们把｛,,｝叫做空间的一个基底,,, 都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量 都可以构成空间的一个基底.（基底不是唯一的，有无数个） . . . . . . 8 知识剖析（1）基底是指一个向量组，而一个基向量是指基底中的某个向量.二者是 相关联的不同概念. （2）对于基底,,，除了应知道,, 不共面外，还应明确以下三点： ①任意性：用空间任意三个不共面的向量都可以表示出空间中的任意一个向量. ②唯一性：基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基 底，同一向量的表达式也可能不同. ③广泛性：所有空间向量都可以用三个基向量线性表示，那么，所有空间向量 间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为几何问题代数化奠定了基础. 9 3 单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫 做单位正交基底，常用{，， }（均为单位向量） 表示. 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量 ， ，，使 .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 叫做把空间向量进行正交分解. . . 10 思考辨析 1.若{a,b,c}为空间的一个基底,则向量a,b可能共线吗? 提示 不可能.若向量a与b共线,则a=λb,所以a=λb+0c.故此时向量a,b,c共面,这与{a,b,c}为空间的一个基底相矛盾,故向量a,b不可能共线. 2.零向量如何用基底{a,b,c}表示?表示形式唯一吗? 提示 0=0a+0b+0c.由空间向量基本定理知,表示形式是唯一的. 例1 如图，在平行六面体 中，可以 作为空间向量的一个基底的是( ) C A.，， B.，， C.，， D.，， 【解析】，， 共面，排除A； ，， 共面，排除B； ，， 共面，排除D； ，， 三个向量是不共面（判断构成基底的关键 就是三个向量不共面）的，可以作为一个基底，故选C. . . 12 例2 (多选题)(2026河北沧州高二期中)已知{a,b,c}是空间的一个基底, d=a+b+2c,则下列选项中不能作为空间的一个基底的是(　 　) A.{a+b,a+c,b+c} B.{a+c,b+c,d} C.{a+d,b,a+c} D.{a+b,a+b+c,d} BCD 解析 对于A,令b+c=x(a+b)+y(a+c),则(x+y)a+(x-1)b+(y-1)c=0. 因为a,b,c不共面,故该方程组无解,故a+b,a+c,b+c不共面,可作为空间的一个基底.对于B,因为d=a+b+2c=(a+c)+(b+c),故a+c,b+c,d不能作为空间的一个基底.对于C,因为a+d=2a+b+2c=b+2(a+c),故a+d,b,a+c不能作为空间的一个基底;对于D,因为(a+b)+d=2a+2b+2c=2(a+b+c),故a+b, a+b+c,d不能作为空间的一个基底.故选BCD. 例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CC1D1D的中心,且 +m-n,则m=　　　 ,n=　　　 .  - 解析 如图所示,可得)=.因为+m-n,所以m=,n=-. 例4 ［教材改编P12例1］在四面体中，点，满足, ， 若，则 ( ) B A. B. C. D.1 【解析】如图所示， ,故，，， （空间向量基本定理的唯一性） 所以 ． 16 用基底表示空间向量 例5 如图，在四棱锥中，四边形 为平行四边形，点为 上一点， ，，， ，用基 底{,,}表示向量 ( ) A A. B. C. D. 【解析】 . 18 例6 [2026福建福州期中]如图，在圆锥中，点， 在 底面圆周上，点，分别是母线, 的中点， ，记,,，则 ( ) D A. B. C. D. 19 【解析】 连接,.由题可知,由得 , ,因为点，分别是母线, 的中点，所以 ,，则 .故选D. 20 例7　(2026广东江门高二期末)在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=3A1M,C1N=B1N,设=a,=b,=c.试用a,b,c表示向量. 解 因为BM=3A1M,则A1M=A1B. 由题可得, )+)=(c-a)+a+(b-a)=a+b+c. 空间向量基本定理的应用 例8[2026江苏常州段考]如图，已知四面体 中，，， ， ，为 中点，若 ，则 ( ) D A.3 B.2 C. D. 23 【解析】 因为，所以.连接 ,依题意可 得 ，又 ，所以，解得 . 例9如图，在平行六面体中， 为棱的中点，为棱 上一点.记 ，若 ，则 __. 25 【解析】 设 ，则 ，所以， ， .又，所以 . 26 例10 已知,,,,用,,表示 . 思路点拨 先通过空间向量基本定理用,,表示出 ，再利用向量相等得到相关 系数即可得解. 【解析】由题意得,,, 不共面. 设,即 , 所以（空间向量基本定理的唯一性）解得 所以 . . . 27 例11 如图，在四棱锥中，底面 是边长为3的菱形， , ，记 ,, . （1）用基底{,,}表示向量, ； 【解析】 ， . 28 （2）利用空间向量证明 ； 【解析】 ， 所以,即 . 29 （3）求 的长. 【解析】 ， 所以 . 30 1.知识清单： (1)空间向量基本定理. (2)空间向量基本定理的应用. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区： (1)基向量理解错误，忽视基向量的条件. (2)利用基向量表示向量时，没有转化目标. 课堂小结 随堂演练 题型一 空间向量基底的判断 1.（多选/2026陕西咸阳质量检测改编）下列结论正确的是( ) ABC A.已知向量，则任意向量都不能与, 构成空间的一个基底 B.若{,,}为空间的一个基底，则不存在 ，，使得 C.若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则， 共线 D.“存在实数,，使”是“与, 共面”的必要不充分条件 33 【解析】 因为，所以,共线，所以任意向量与, 都共面， 则任意向量都不能与, 构成空间的一个基底； 若存在 ，，使得，则，，共面，与{,, }为空间的一个基 底矛盾； 若两个非零向量， 不共线，则它们可以确定一个平面，此时一定可以找到一个 向量不在此平面内，使得，， 不共面，从而构成空间的一个基底，这与题设“与任 何一个向量都不能构成空间的一个基底”矛盾，故假设不成立，所以， 共线； “存在实数,，使”可以推出“与,共面”，但“与, 共面”不一定能 推出“存在实数,，使”，例如：当,共线但与,不共线时，与, 共面， 但不存在实数,，使，所以“存在实数,，使”是“与, 共面” 的充分不必要条件. 34 2. 已知{,,}是空间的一个基底,则可以与向量, 构成空间 的另一个基底的向量是( ) C A. B. C. D. 【解析】 ,即与向量, 共面,不能构 成基底； ,即与向量, 共面,不能构成基底； 假设,则 此方程组无解,即不存在 实数 , 使得等式成立,因此与向量, 不共面,故可以作为基底; ,即与向量, 共面,不能构成基底. 35 已知{,, }是空间的一个基底,如图,结合平行六面体 可知,在平面 内, ,在平面内,显然 所在直线与 平面相交,即三个向量不共面,故与向量, 可以作为 基底. 36 3.（2026福建福州八县期中联考）若{,,}是空间的一个基底,且{, , }不能构成空间的一个基底,则 ( ) A A. B. C. D.0 【解析】 设,,,显然, 不共线（应用共面向量定理 的前提）.因为,,不能构成空间的一个基底,则,,共面,所以存在实数, 使得 （共面向量定理）,即 ,所以 （因为是基底,所以等式两边各向量的对应系数相等）解得, , . . . . . . . 37 题型二 用基底表示空间向量 4.（2026宁夏育才中学检测）如图,已知四棱锥 ,底面 为平行四边形,,分别为棱,上的点, , ,设,,,则向量以{,, }为基 底可表示为( ) A A. B. C. D. 【解析】 由可得 （将线段的长度关系转化为共线向量的 表示）,连接， ,则 . . . 38 5.（2025山东东营胜利一中、枣庄八中等校联考）在平行六面体 中, ,,,点在上,且,用,,表示,则 ________ ________. 【解析】 连接，因为点在上,且 ,所以 （选择,是因为 很容易 用,, 表示）,所以 . . . 39 6.（2026四川绵阳期中）在平行六面体中， ， ，，点，分别为棱， 的中点， ，，设，， . 40 （1） 用，，表示并求出 的值； 【答案】 如图，连接，，因为点为棱 的中 点，所以 ， 由得 ，所以 又 ， 所以 . ， 由已知, ， ， 得， ， ， 所以 ． （2） 求 的值. 43 【答案】 因为点为棱的中点，所以 ， 因为，所以 ， 所以 ， 所以 . 44 题型三 空间向量基本定理唯一性的应用 7.（2025山东济宁检测）已知{,,}是空间的一个基底, , ,若,则 ( ) C A.0 B. C.6 D.5 【解析】 , 因为，所以可设,又,则解得 所以 . 45 8.（多选/2026河北联考）在平行六面体中，是的中点， 为平 面内一点，若， ， 则( ) AC A. B. C. D. 46 【解析】 如图所示， ，（也可通过 找到突破口）又 ，所以 ； ，则，连接 , 所以，所以 (为平面内一点,则存在唯一实数对 ,可 使,即的系数为0)=0，即 . . . . . 47 9. 如图,在三棱锥中,点为的重心,点在线段 上, 且,过点任意作一个平面分别交线段,,于点,, ,若 ,,,求证: 为定值. 【答案】 方法一 选取,,}为一个基底,得到 的两个表达式,即 可求解. 如图,连接并延长交于点 . 因为 ,所以 . 48 连接,由于,,,四点共面,故存在实数 , ,满足 ,即 , 因此 ,则 ,故 ,为定值. 方法二 连接并延长交于点,连接 . 因为为的重心,所以（鸡爪模型） . 因为,所以,所以 , 则 . 因为,,,四点共面,所以可设 ,（推导过程见 方法一,此处略）所以 . . . . . 10.（2026河南部分学校期中联考）已知三棱锥的体积为3, 是空间中一 点,,则三棱锥 的体积是___. 2 已知,要求，即,只要得到点与点 在同一 线段上的比例关系即可,则需对条件进行变形,找到平面 内存在一点,使,, 三点共线. 能力提升 【解析】 如图所示， 50 由得 ,即 ,化简得 , 即 . 因为,由空间向量基本定理和四点共面推论知在平面内存在一点 ,使 得 , 故,则 . 由三棱锥的体积为3,可得三棱锥的体积，即三棱锥 的体积 （等积变换），即 . . . 11.（2026广东广州期中）在四面体中，， ， ，，，， ， ， ，点在棱 上，且 . （1） 计算，， 的值. 【答案】 ， ， . 52 （2） 用向量，，表示向量 . 【答案】 . 53 （3） 在线段上是否存在一点，使得？若存在，求 的值，若不存在， 请说明理由. 54 【答案】 等价于 . 设 ， 若在线段上存在一点，使得 ， 则 则 ， 又 ， ，解得 ，与 矛盾， 故线段上不存在点，使得 . 55 提示　如图，设为在i，j所确定的平面上的投 影向量，则＝＋. 又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得 ＝zk，从而＝＋zk. 在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋yj. 从而＝＋zk＝xi＋yj＋zk. 两边同除以(x′－x)，得i＝j＋k. $