26.4 第2课时 商品利润最大问题（课件）-- 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决商品利润最大问题，课堂导入通过复习几何图形最大面积求解步骤（审设列解答），衔接销售利润公式，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以实际案例（如涨价降价利润分析）引导学生抽象函数模型，培养抽象能力与模型意识，通过规范解题步骤（设变量、列函数、求最值）发展推理能力，练习题结合生活场景（电商、超市）提升应用意识，帮助学生用数学语言表达实际问题，也为教师提供系统教学资源。

人教版（新教材）数学九年级上册 第26章 二次函数 26.4 第2课时 商品利润最大问题 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/19 商品利润最大问题专项练习 （人教版数学九年级上册 26.4 第2课时） 一、基础知识点梳理 本节课主要利用二次函数最值模型解决商品最大利润实际问题，是中考高频考点。核心公式：单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售数量。解题通用步骤：根据题意设定自变量，通常设涨价或降价金额为x；结合价格变动与销量的变化规律，分别表示出涨价后的单件利润与对应销售数量；列出总利润关于x的二次函数解析式；根据二次函数开口方向、对称轴求出顶点最值，同时结合实际场景确定自变量取值为非负数、销量为正数，最终求出最大利润及对应定价。 二、专项练习题 （一）填空题（每空2分，共20分） 1. 一件商品进价20元，售价35元，则单件利润为________元；若售出100件，总利润为________元。 2. 某商品每件进价40元，售价x元，则单件利润为________元。 3. 总利润函数W=-2x²+40x的最大值为________，此时x=________。 4. 某商品原价每件30元，每涨价1元，销量减少5件，若涨价x元，则现在销量减少________件。 5. 利润函数W=-5x²+80x，当x=________时，商品获得最大利润。 （二）选择题（每题4分，共20分） 1. 商品利润问题中，总利润的计算方法是（） A. 售价×销量 B. 单件利润×销量 C. 进价×销量 D. 售价-进价 2. 已知总利润W=-3(x-5)²+120，则商品最大利润为（） A. 5 B. 15 C. 120 D. 105 3. 某商品涨价销售，利润函数开口向下，说明（） A. 利润无最大值 B. 存在最大利润 C. 利润持续增大 D. 利润持续减小 4. 进价20元的商品，售价x元，每日销量(100-2x)件，总利润解析式为（） A. W=(x-20)(100-2x) B. W=x(100-2x) C. W=20(100-2x) D. W=(x+20)(100-2x) 5. 求解最大利润时，自变量取值优先考虑（） A. 任意实数 B. 符合实际的非负数值 C. 负数即可 D. 整数即可 （三）解答题（共60分） 1.（20分）某商品进价每件30元，售价每件50元，每天可售出100件。经调查，每件涨价1元，日销量减少5件。设每件涨价x元。（1）写出日总利润W与x的函数关系式；（2）求每件涨价多少元时，日利润最大，最大利润是多少？ 2.（20分）某商店销售纪念品，每件进价15元，售价25元时，每周可卖80件。若每件降价1元，每周多卖20件。设每件降价x元。（1）求总利润W关于x的函数解析式；（2）求最大周利润。 3.（20分）某小商品进价每件8元，根据销售经验，售价x（10≤x≤20）与日销量满足关系：每日销量=60-2x。（1）求日利润W与售价x的函数关系式；（2）求商品的最大日利润。 三、参考答案及解析 （一）填空题 1. 15、1500 解析：单件利润=35-20=15，总利润=15×100=1500。 2. x-40 解析：单件利润=售价-进价。 3. 200、10 解析：配方得W=-2(x-10)²+200，顶点取最大值。 4. 5x 解析：每涨1元少5件，涨价x元少5x件。 5. 8 解析：对称轴x=-b/2a=8，此时利润最大。 （二）选择题 1.B 2.C 3.B 4.A 5.B （三）解答题 1. 解：（1）单件利润(20+x)元，销量(100-5x)件，W=-5x²+0x+2000（x≥0）；（2）x=0时利润最大，最大利润2000元。 2. 解：（1）单件利润(10-x)元，销量(80+20x)件，W=-20x²+120x+800；（2）x=3时，最大利润980元。 3. 解：（1）单件利润(x-8)元，W=-2x²+76x-480（10≤x≤20）；（2）对称轴x=19，最大利润242元。 （字数：1012） 情境导入 1. 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题；（重点） 2. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点） 学习目标 1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤： 审→设→列→解→答 公式法：顶点坐标 配方法：y = a(x - h)2 + k 情境导入 利润 = 收入 - 成本 总收入 = 销售单价×销量 总成本 = 进货单价×销量 总利润 = 销售单价×销量 - 进货单价×销量 = (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量 2. 销售问题中有关利润的公式： 情境导入 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，先来看涨价的情况. (1) 设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润 y 随之变化.我们先来确定y随x变化的函数解析式. 探究新知 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 每件涨价x元时，每星期少卖_____件，实际卖出_________件， 销售额为________________元，买进商品需付______________元． 因此，所得利润________________________________， 即 ， 其中，______________________. 10x (300-10x) (60+x)(300-10x) 40(300－10x) y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) y＝－10x2＋100x＋6 000 0≤x≤30，x 为整数 由于每涨价1元，每星期要少卖出10件，而每星期可卖出300件，因此最多涨价30元. 探究新知 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 根据上面的函数，填空： 当x＝______时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元， 即定价_____元时，利润最大，最大利润是___________． y＝－10x2＋100x＋6 000 ＝－10(x-5)2+6 250. 5 5 65 6 250元 探究新知 解：设降价x′元时利润最大，则每星期可多卖20x′件，实际卖出(300+20x′)件， 每星期售出商品的利润y′=(60-40-x′)(300+20x′)， 即 y′=-20x′2+100x′+6 000=-20(x′-2.5)2+6 125，其中0≤ x′ ≤20， x′ 为整数， ∵ x′为整数， ∴在降价2元或3元,即定价58元或57元时,利润最大,最大利润是6 120元. 探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ (2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论求解． 探究新知 思考：由(1)(2)的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗？ 综合上述两种情况，可知定价65元时，利润最大. 探究新知 某电商平台助力乡村振兴，采购某村甲品种优质农产品进行销售，将所得全部利润用于资助该村基础建设，打造美丽乡村. 具体销售相关信息梳理如下表： 例1 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲品种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元/kg 2元/kg 不低于22元/kg，不高于45元/kg 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y (单位:kg)与销售价格x(单位:元/kg) 之间的函数关系： 销售价格x(单位：元/kg)的取值范围 22≤ x≤30 30< x≤45 函数解析式 y= -x+70 y=-2x+100 利润计算 当销售价格定为多少时,该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润最大? 最大利润是多少? 注：销售利润=(销售价格-收购价格-运费等相关销售成本)×销售 探究新知 解：设该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润为w元， 当22≤x≤30时，w=(x-18-2)y=(x-20)(-x+70)=-x2+90x-1 400=-(x-45)2+625. ∵ -1<0,对称轴为直线x=45, ∴ 当x<45时，w随x的增大而增大. ∵ 22≤x≤30， ∴当x=30时，w取得最大值，w最大值=-(30-45)2+625=400. 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲品种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元/kg 2元/kg 不低于22元/kg，不高于45元/kg 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y (单位:kg)与销售价格x(单位:元/kg) 之间的函数关系： 销售价格x(单位：元/kg)的取值范围 22≤ x≤30 30< x≤45 函数解析式 y= -x+70 y=-2x+100 利润计算 当销售价格定为多少时,该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润最大? 最大利润是多少? 注：销售利润=(销售价格-收购价格-运费等相关销售成本)×销售量 探究新知 信息项目 甲品种农产品收购价格 运费等相关销售成本 甲品种农产品销售价格限定条件 基础数据 18元/kg 2元/kg 不低于22元/kg，不高于45元/kg 市场调研 经专业团队市场调研发现，每天的销售量y (单位:kg)与销售价格x(单位:元/kg) 之间的函数关系： 销售价格x(单位：元/kg)的取值范围 22≤ x≤30 30< x≤45 函数解析式 y= -x+70 y=-2x+100 利润计算 当销售价格定为多少时,该电商平台销售甲品种优质农产品每天获得的销售利润最大? 最大利润是多少? 注：销售利润=(销售价格-收购价格-运费等相关销售成本)×销售量 当30<x≤45时，w=(x-18-2)y=(x-20)(-2x+100)=-2x2+140x-2 000=-2(x-35)2+450. ∵ -2<0，对称轴为直线x=35，30<x≤45， ∴当x=35时，w取得最大值，w最大值=450. ∵ 450>400, ∴当销售价格定为35元/kg时，每天获得的销售利润最大，最大利润是450元. 探究新知 1. 某超市销售一种商品，发现一周利润y(元)与 销售单价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋ 1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤x≤22， 那么一周可获得最大利润是(　A　) A. 1558元 B. 1550元 C. 1508元 D. 20元 A 当堂检测 2. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，超市的销售经理经调查发现，该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足函数关系式y＝－5x＋550.若设该商品每月所获利润为w(元)，则w与x之间化简后的函数关系式为 ⁠ ， w的最大值为 ⁠. w＝－5x2＋800x－27500 4500　 当堂检测 3. [教材变式]某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元(20≤x≤30，且 x 为整数)出售，可卖出(30－x)件.若要使利润最大，则每件的售价应为多少元？ 书写通关 解：设 ⁠， 根据题意得 ⁠ ⁠， x的取值范围为 ⁠， ∴当x＝ 时，利润取得最大值. 答： ⁠ ⁠. 利润为w元　 w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25 20≤x≤30　 25　 若要使利润最大，则每件的售价应为25元 当堂检测 4.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x.若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，求能获得的最大利润. 解：设总利润为w万元，在甲地销售了a辆， 则乙地销售了(15－a)辆， 则y1＝－a2＋10a，y2＝2(15－a). 由题意得w＝－a2＋10a＋2(15－a)＝－(a－4)2＋46， ∴当a＝4时，w最大＝46. ∴能获得的最大利润为46万元. 当堂检测 5. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系：y＝－2x＋160，且规定商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50元. (1)销售单价为多少元时每天能获得800元的利润？ 解：(1)由题意得(x－30)(－2x＋160)＝800， 整理得x2－110x＋2800＝0，解得x1＝40，x2＝70. ∵商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50 元，∴30≤x≤50.∴x＝40. 解：(1)由题意得(x－30)(－2x＋160)＝800， 整理得x2－110x＋2800＝0，解得x1＝40，x2＝70. ∵商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50元， ∴30≤x≤50.∴x＝40. 答：销售单价为40元时每天能获得800元的利润. 当堂检测 解：(2)由题意得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－ 55)2＋1250. ∵－2＜0，∴当x＜55时，w随x的增大而增大. ∵30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时，w ＝1200. 答：要使销售该商品每天获得的利润最大，销售单 价应定为50元，最大利润为1200元. 解：(2)由题意得w＝(x－30)(－2x＋160) ＝－2(x－55)2＋1250. ∵－2＜0，∴当 x＜55 时，w 随 x 的增大而增大. ∵30≤x≤50， ∴当 x＝50 时，w 有最大值，此时，w＝1200. 答：要使销售该商品每天获得的利润最大，销售单 价应定为 50 元，最大利润为 1200 元. (2)[典型易错]要使销售该商品每天获得的利润w(元)最大，销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 当堂检测 1. 返回 某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系式是y＝－2x2＋60x＋800，则最大利润为(　　) A．15元 B．400元 C．800元 D．1 250元 D 举一反三 19 返回 2. 某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，要使利润最大，每件的售价应为(　　) A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 B 举一反三 返回 3. [石家庄期末]嘉嘉投资销售一种进价为每件30元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看成一次函数y＝－10x＋400，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的50%. (1)设嘉嘉每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； 举一反三 解：根据题意，得w＝(x－30)(－10x＋400) ＝－10x2＋400x＋300x－12 000 ＝－10x2＋700x－12 000. ∵销售单价不低于成本价30元，而每件的利润不高于 成本价的50%， 即30×(1＋50%)＝45(元)，∴30≤x≤45. 返回 举一反三 返回 (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 解：在w＝－10x2＋700x－12 000中， a＝－10，b＝700，c＝－12 000， ∵30≤x≤45，－10<0，∴当x＝35时，w取最大值， 即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． 举一反三 返回 4. 某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式是(　　) A．y＝(200－5x)(40－20＋x) B．y＝(200＋5x)(40－20－x) C．y＝200(40－20－x) D．y＝200－5x A 举一反三 [烟台中考]改编每年5月的第三个星期日为全国助残日，为践行“科技助残，共享美好生活”理念，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； 5. 返回 举一反三 (2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 解：∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴200－x≥180，解得x≤20. ∵y＝ x2＋20x＋12 000＝ (x－25)2＋12 250， ∴当x＝20时，y取得最大值，为 ×(20－25)2＋12 250＝12 240. 答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大， 最大利润为12 240元． 返回 举一反三 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 最值问题 二次函数模型 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 课堂小结 谢谢观看 THANKS ∴－＝－＝35. 解：由题意，得y＝(200－x)· ＝－x2＋20x＋12 000. － － － $