第一章《特殊平行四边形》单元测试 2026～2027学年北师大版九年级上册数学

**基本信息** 2026~2027学年九年级上册数学北师大版《特殊平行四边形》单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖平行四边形、矩形、菱形、正方形性质判定及综合应用，适配单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平行四边形性质、正方形坐标、菱形性质判定等|基础巩固如第1题考查平行四边形对角线性质；能力提升如第10题图形拼接判断，培养空间观念| |填空题|5/15|平行四边形边长范围、菱形与数轴、矩形面积计算等|结合实际情境如第15题校庆红丝带重叠面积，体现应用意识| |解答题|8/75|菱形作图与计算、正方形证明、筝形探究、数形结合应用等|综合探究如第23题从问题探究到迁移应用再到拓展应用，发展推理能力与创新意识|

2026~2027学年九年级上册数学北师大版第一章《特殊平行四边形》单元测试 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论一定正确的是（　　） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．OA＝OC D．AB＝BC 2．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点C的坐标为（﹣2，﹣2），则顶点A的坐标为（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣4，4） C．（﹣2，2） D．（﹣4，2） 3．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，延长AE交BC于点G，连结FC，FG．若AE＝AF，则图中与△AFG面积相等的图形是（　　） A．△BFG B．四边形CDFG C．△ADF D．四边形CFEG 4．（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　） A．B． C．D． 5．（3分）将一张矩形纸片和一张等腰直角三角形纸片（∠C＝90°）按如图所示的位置放置，如果∠CED＝35°，那么∠BGF的大小为（　　） A．10° B．12° C．15° D．20° 6．（3分）已知在平行四边形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于O点，下列结论错误的是（　　） A．若AC＝BD，则四边形ABCD为矩形 B．若AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形 C．若AC平分BD，则四边形ABCD为矩形 D．若AC平分∠BAD，则四边形ABCD为菱形 7．（3分）如图，在△ABC中，M为AB的中点，CD⊥AB于D，连接CM．已知∠ACB＝90°，CM＝5，BC＝6，则CD的长为（　　） A．2 B．2 C． D． 8．（3分）如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（　　） A．①∠ABC＝90° B．②AC⊥BD C．③BD平分∠ABC D．④AB＝BC 9．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝3，PF＝8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．12 B．24 C．27 D．54 10．（3分）如图1，由5块图形（图形①﹣⑤）拼成矩形ABCD（其中①、②是正方形），去掉①号正方形后，其余4块图形（图形②﹣⑤）可拼成如图2所示的正方形EFGH． 结论Ⅰ：图1所示的四边形ABCD是正方形； 结论Ⅱ：利用③、④、⑤三块图形可以拼成一个菱形．（　　） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）平行四边形的两条对角线的长分别为6和8，平行四边形的一条边的长为a（a为整数），则a的值可能为　 　 ．（写出一个即可） 12．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，交线段AB的延长线于点E，若点E表示的数是3，则点A表示的数是　 　 ． 13．（3分）如图1是一块长为xcm，宽为ycm的小矩形地板砖，用这样相同的8块地板砖拼成如图2所示的大矩形，根据图中数据，每块小矩形的面积是　 　 cm2． 14．（3分）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是40，则图中阴影图形的周长是　 　 ． 15．（3分）今年3月，为庆祝建校13周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为6cm，中间重叠的部分（四边形ABCD）绘制校徽，若∠ABC＝150°，则重叠部分图形的面积是　 　 cm2． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）如图，在▱ABCD中，AB＝10，∠ABC的平分线交边AD于点E，点F是BE的中点，连结AF，若AF＝6，求BE的长． 17．（8分）如图，在△ABC中，AB＜AC＜BC，请按照要求作答： （1）用无刻度直尺和圆规在AB，BC，AC上分别取点D，E，F，使得四边形DECF为菱形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，若AC＝5，BC＝6，求菱形的边长． 18．（8分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上，且AE＝BF＝CG＝DH，求证：四边形EFGH是正方形． 19．（9分）【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下风筝状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上． 【数学理解】（1）该风筝状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ADE≌△CDE的证明过程． （2）若裁剪过程中满足DE＝DA，求“筝尾”∠AEC的度数． 20．（9分）定义：有两组邻边分别相等的凸四边形叫做筝形． （1）如图1，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的两个点，BE＝DF，连接AE、AF．求证：四边形AECF是筝形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点O、P均在格点上，以点O为原点，点O、P所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，P（5，0），若点M、N均在格点上，且四边形OPMN为筝形，请直接写出网格中所有符合条件的点M的坐标． 21．（9分）借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：　 　 ； （2）图2是由两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形ABCDE中，AC⊥BD，垂足为N，AC＝BD＝4，CN＝a，BN＝b，△BCN周长为4，四边形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积． 22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，点D、E、F、G分别为边OA、AB、BC、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD． （1）若点C在y轴的正半轴上，当点B的坐标为（4，2）时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由． （2）若点C在第一象限运动，且四边形DEFG为菱形时，求四边形OABC对角线OB长度的取值范围． （3）若在点C运动过程中，四边形DEFG始终为正方形，当点C从x轴负半轴经过y轴正半轴，运动至x轴正半轴时，直接写出点B的运动路径长． 23．（12分）【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF，求证：AE＝DF． 【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边AD上，点M、N分别在边AB、CD上，且BE⊥MN，求的值． 【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有?试写出其数量关系，并说明理由． 第一章《特殊平行四边形》单元测试 第 1 页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 2026~2027学年九年级上册数学北师大版第一章《特殊平行四边形》单元测试参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴根据平行四边形的性质，可得OA＝OC，故C正确，符合题意； A、只有特殊平行四边形（矩形）的对角线相等，一般平行四边形不满足AC＝BD，故A错误，不符合题意； B、只有特殊平行四边形（菱形）的对角线垂直，一般平行四边形不满足AC⊥BD，故B错误，不符合题意； D、只有特殊平行四边形（菱形）的邻边相等，一般平行四边形不满足AB＝BC，故D错误，不符合题意． 故选：C． 2．【解答】解：∵四边形OABC是正方形， ∴点A和点C关于OB对称，即点A和点C关于x轴对称， ∵根据轴对称的性质，正方形OABC的顶点C的坐标为， ∴A． 故选：C． 3．【解答】解：∵AE＝AF， ∴∠AFE＝∠AEF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF， ∵BF＝BF， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴AF＝FC，∠AFE＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠AEF，FC＝AE， ∴AG∥FC， ∴△AEF的边AE上的高和△FGC的边FC上的高相等， ∵AE＝FC， ∴△AEF的面积＝△FGC的面积， ∴△AFG面积＝四边形CFEG的面积， 故选：D． 4．【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故A不符合题意； 根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故B不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故C符合题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故D不符合题意； 故选：C． 5．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠C＝90°，∠B＝45°， ∵∠CED＝35°， ∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°， ∵矩形的对边平行， ∴DE∥FG， ∴∠DFG＝∠CDE＝55°， ∴∠BGF＝∠DFG﹣∠B＝10°． 故选：A． 6．【解答】解：如图，四边形ABCD是平行四边形， 若AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形ABCD为矩形， 故结论A正确，该选项不符合题意； 若AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得四边形ABCD为菱形， 故结论B正确，该选项不符合题意； ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴AC本来就平分BD，该条件无法推出四边形ABCD是矩形， 故结论C错误，该选项符合题意； 若AC平分∠BAD，可得∠BAC＝∠DAC， ∵平行四边形中AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC，根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形ABCD为菱形， 故结论D正确，该选项不符合题意． 故选：C． 7．【解答】解：∵∠ACB＝90°，M为AB的中点，CM＝5，BC＝6， ∴AB＝2CM＝2×5＝10， ∴， ∵CD⊥AB， ∴， ∴． 故选：D． 8．【解答】解：A、根据四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°得出四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意； B、根据四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD得出四边形ABCD是菱形，故此选项不符合题意； C、∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形， 故此选项不符合题意； D、菱形ABCD本身就具备AB＝BC，所以此选项符合题意； 故选：D． 9．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∴S△DFP＝S△PBE＝×3×8＝12， ∴S阴＝12+12＝24， 故选：B． 10．【解答】解：结论Ⅰ：如图： 根据题意可得，两个图中⑤是同一个图形， 即MO＝ER，MN＝EQ，NC＝QT，PC＝ST， ∵①，②是正方形， ∴AK＝AJ＝JL＝KL，JL＝JD＝DN＝LN， ∴AJ＝JD，AK＝DN， 即①与②是边长相等的两个正方形； 又∵②是正方形，且两个图中②是同一个图形， ∴DN＝HW＝QT， ∴DN＝HW＝QT＝NC，即DN＝NC， ∴AD＝DC， 又∵四边形ABCD是矩形， 故四边形ABCD是正方形，故结论Ⅰ说法正确． 结论Ⅱ：在正方形 ABCD 中，AB＝CD，∠B＝∠NCP＝90°， ∵AK＝DN， ∴AB﹣AK＝CD﹣DN， ∴BK＝NC， 如图，将△BPK 平移至△CZN（将图形③平移至图形⑤的右侧）， 则∠NCZ＝∠B＝90°， ∴∠NCZ+∠NCP＝180°， ∴P，C，Z 三点共线，由平移的性质得，KP＝NZ，KP∥NZ， ∴四边形KPZN是平行四边形； 设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为（2a）2＝4a2， ∴AJ＝JD＝DN＝NC＝BK＝a，KN＝2a， ∴①号正方形的面积为 a2， 根据题意可得，正方形EFGH的面积为4a2﹣a2＝3a2， ∴正方形EFGH的边长为a2＝a，即FG＝a． ∵BP和FG是图形③中较长的直角边，且两个图中③是同一个图形， ∴BP＝FG＝a， ∴KP＝＝2a， ∴KP＝KN＝2a， ∴平行四边形KPZN是菱形， ∴利用③、④、⑤三块图形可以拼成一个菱形，故结论II说法正确； 综上，结论I和II都对． 故选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．【解答】解：∵平行四边形的对角线互相平分， ∴两条对角线一半的长度分别为，， ∵平行四边形的一边与两条对角线的一半可构成三角形， ∴根据三角形三边关系可得4﹣3＜a＜4+3， 即1＜a＜7， 又∵a为整数， ∴a可取2，3，4，5，6中任意一个． 故答案为：2（2，3，4，5，6均可）． 12．【解答】解：如图，过点C作CF⊥AE交于点F， ∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°， ∴∠CBF＝60°，AB＝BC， ∴∠BCF＝30°，∠BAC＝∠BCA＝30°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是， 故答案为：． 13．【解答】解：由题意可得，解得， ∴每块小矩形的面积为xy＝300cm2， 故答案为：300． 14．【解答】解：∵利用平移的性质将阴影部分的周长转化为正方形的周长， ∴阴影图形的周长＝4×40+2×40﹣2×10 ＝160+80﹣20 ＝220． 故答案为：220． 15．【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F， 根据题意，得AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠ABC＝150°， ∴∠ABE＝60°， ∴∠BAE＝30°， ∴AD＝2DF，AB＝2BE， 根据题意，得矩形的宽为6cm， ∴DF＝BE＝6cm， ∴AD＝AB＝12cm， 故重叠部分图形的面积是：12×6＝72（cm2）； 故答案为：72． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠CBE＝∠AEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠ABE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AB＝AE， ∴△ABE是等腰三角形， ∵点F是BE的中点， ∴AF⊥BE，BE＝2BF， 由勾股定理可得，， ∴BE＝2BF＝2×8＝16． 17．【解答】解：（1）作∠ACB的角平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线交BC，AC分别于点E，F，连接DE，DF，则四边形DECF即为所求； 根据作图可得∠ACD＝∠BCD，DF＝FC，DE＝EC， ∴∠FDC＝∠FCD， ∴FD＝FC， ∴DF＝FC＝CE＝ED， ∴四边形DECF是菱形； （2）设菱形的边长为x，则DF＝CF＝x，AF＝5﹣x， ∵四边形DECF为菱形， ∴DF∥BC， ∴△ADF∽△ABC， ∴， ∴， 解得 ∴菱形的边长为． 18．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD， ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴OE＝OF＝OG＝OH，EG⊥FH， ∴四边形EFGH是正方形． 19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°， 在△ADE和△CDE中，， ∴△ADE≌△CDE（SAS）； （2）解：在△ADE中，DE＝DA， ∴∠DEA＝∠DAE， 又∵∠DEA+∠DAE+∠ADE＝180°， ∴2∠DEA+45°＝180°， ∴∠DEA＝67.5°， 由（1）可知：△ADE≌△CDE， ∴∠DEA＝∠DEC＝67.5°， ∴∠AEC＝∠DEA+∠DEC＝135°， 即“筝尾”∠AEC的度数为135°． 20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF， ∵BC＝CD， ∴CE＝CF， ∴四边形AECF是筝形； （2）解：当OP＝MP＝5时，以点P为圆心，5为半径画弧， 该弧恰经过M1（1，3），M2（2，4），M3（1，﹣3），M4（2，﹣4）等4个格点， 且OP＝M2P＝5，OP＝M3P＝5，OP＝M4P＝5， ∴四边形OPM2N2，四边形OPM3N3，四边形OPM4N4都是筝形； 当OP＝ON＝5时，也能得到N5，N6，N7，N8共4个格点，但都找不到对应的点M，使四边形OPMN为筝形； ∴网格中所有符合条件的点M的坐标是（1，3），（2，4），（1，﹣3），（2，﹣4）． 21．【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）a2+b2＝c2， ∵图2中图形的面积：， ∴， ∴2ab+c2＝（a+b）2， ∴a2+b2＝c2； （3）设CN＝a，BN＝b， ∵△BCN的周长为4， ∴BC＝4﹣CN﹣BN＝4﹣a﹣b， ∵BC2＝CN2+BN2， ∴（4﹣a﹣b）2＝a2+b2＝[4﹣（a+b）]2， 整理，得ab﹣4（a+b）＝﹣8， ∵AC＝BD＝4， ∴AN＝AC﹣CN＝4﹣a，DN＝BD﹣BN＝4﹣b， ∴长方形AEDN的面积为：AN•DN＝（4﹣a）（4﹣b）＝16+ab﹣4（a+b）＝16﹣8＝8． 22．【解答】解：（1）四边形DEFG是菱形. 理由如下：如图1，连接AC， ∵D是OA的中点，G是OC的中点， ∴DG是△OAC的中位线， ∴DG∥AC，DG＝AC， 同理可得：EF∥AC，EF＝AC， ∴DG∥EF，DG＝EF， ∴四边形DEFG是平行四边形， ∵OA＝4，OC＝2，A在x轴的正半轴上，C在y轴的正半轴上， ∴A（4，0），C（0，2）， 又O（0，0），B（4，2）， ∵D、E、G分别是OA、AB、OC的中点， ∴OD＝AD＝2，AE＝OG＝1， ∵∠DOG＝∠DAE＝90°， ∴△DOG≌△DAE（SAS）， ∴DG＝DE， ∴▱DEFG是菱形． （2）如图2，∵四边形DEFG为菱形， ∴DG＝DE， ∵D、E、G分别是OA、AB、OC的中点， ∴DE＝OB，DG＝AC， ∴OB＝AC， 当点C在y轴上时，AC＝＝＝2， 当点C在x轴上时，AC＝2， ∴2＜AC＜2， ∴2＜OB＜2． （3）如图3，当四边形DEFG是正方形时，OB⊥AC，OB＝AC， 在y轴上取一点N，使ON＝OA＝4，连接BN， ∵∠BON+∠AOM＝∠AOM+∠CAO＝90°， ∴∠BON＝∠CAO， ∴△OBN≌△ACO（SAS）， ∴BN＝OC＝2， ∴当点C从x轴负半轴经过y轴正半轴，运动至x轴正半轴时，点B的运动路径是：以N（0，4）为圆心，2为半径的半圆， ∴点B的运动路径长为2π． 23．【解答】【问题探究】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∠AED+∠DAE＝90°， ∵AE⊥DF， ∴∠AED+∠CDF＝90°， ∴∠DAE＝∠CDF， 在△ADE与△DCF中，， ∴△ADE≌△DCF（ASA）， ∴AE＝DF； 【知识迁移】解：如图，过点N作NO⊥AB于点O， ∴∠BMN+∠MNO＝90°， ∵BE⊥MN， ∴∠BMN+∠MBE＝90°， ∴∠MNO＝∠MBE，∠BMN＝∠AEB， 在△ABE与△MNO中，∠MNO＝∠MBE，∠BMN＝∠AEB， ∴△ABE∽△ONM， ∴， ∵ON＝BC， ∴； 【拓展应用】解：当∠EFC＝∠MNC时，， 作AG∥EF，交BC于G，NH∥BC，交AB于H， 则∠EFC＝∠AGC，∠MNC+∠BMN＝180°，∠MHN＝∠ABC， ∵∠AGB+∠AGC＝180°， ∴∠AGB＝∠NMH， ∴△ABG∽△NHM， ∴， ∵HN∥BC，AB∥CD，AG∥EF，AD∥BC， ∵四边形AEFG、HNCB是平行四边形， ∴AG＝EF，MN＝BC， ∴当∠EFC＝∠MNC时，． 同理，当EF＝EF'时， 此时∠EF'C+∠MNC＝180°时，． 学科网（北京）股份有限公司 $