第1章特殊平行四边形重难点精练卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形性质与判定，通过基础巩固、中档应用、拔高拓展三层设计，实现从单一知识点到综合问题解决的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|矩形、菱形、正方形的基本性质与判定|单选（1-4）、填空（11-13）直接应用定义，强化概念理解| |中档层|性质综合应用与简单证明|单选（5-8）、填空（14-15）、解答（17-19）结合折叠、中点等情境，提升推理能力| |拔高层|动态与旋转综合问题|单选（9-10）、填空（16）、解答（20-21）融合多知识点，设计开放探究，发展创新意识|

第1章特殊平行四边形重难点精练卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 一、单选题 1．四边形的对角线，相交于点，能判定它是矩形的条件是（ ） A．， B．，， C．， D． 2．如图，在菱形中，，，则菱形的周长为（    ） A．36 B．30 C．24 D．18 3．如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在菱形中，对角线相交于点，，则的长是（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 5．如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（    ） A．1 B． C． D．3 6．两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积（   ） A．5 B． C． D． 7．如图，矩形中，点是延长线上一点，且，点是中点，若，，则的长度是（   ） A．4 B．5 C． D． 8．如图，矩形的顶点，B的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作的平行线，过点C作的平行线，相交于点E．下列三角形中，可以看成由绕点O旋转得到的是（   ） A． B． C． D． 10．四边形为正方形，把绕点逆时针旋转得到，连接，过点作，交延长线于点，过点作交于点，在上取一点，使，连接、相交于点，连接，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，，，当______时，四边形是矩形． 12．如图，四边形是菱形，点为边上一动点（不与点重合），于点，于点．若，则的最小值为____________． 13．如图，是矩形对角线的中点，是的中点，，则的长为____________． 14．如图，，将绕点C顺时针方向旋转到的位置，的中点D旋转到，已知，，则线段的长为______． 15．如图，在中，，，点为平面内一动点，且，连接，，取的中点，连接．则线段的最大值为_____，最小值为_____． 16．如图，正方形的边长为2，点F为边上一点，连接，交于点M，且，平分，交于点G，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有__________（填写正确结论的序号）． 三、解答题 17．如图所示，是一张对边平行的纸片，点A，B分别在平行边上． (1)求作：菱形，使点C，D落在纸片的平行边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求菱形的面积．（结果保留根号） 18．如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 19．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 20．在正方形中，，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接是的中点，连接． (1)如图，当时，线段与线段的位置关系是_____，_____； (2)如图，当点在线段上，且时，求线段的长． 21．在平面直角坐标系中，的顶点．点分别为边的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点对应点分别为，旋转角记为． (1)当线段与线段有交点时，记线段与线段的交点为． ①如图，求证：； ②如图，连接，点恰好在线段上时，求线段的长； (2)整个旋转过程中，在线段上取点，使得，连接，记的面积为． 填空： ①的取值范围是________； ②当的值最大时，此时点的坐标为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1章特殊平行四边形重难点精练卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B B D C A B D 1．D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，矩形的判定需满足对角线互相平分且相等，或有一个直角的平行四边形. 选项D中，说明对角线互相平分且相等，可判定矩形． 【详解】解：A选项：，，四边形是平行四边形，但是不能判定四边形是矩形，故A选项不符合题意； B选项：，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，故B选项不符合题意； C选项：，，无法判定四边形是平行四边形或矩形，故C选项不符合题意； D选项：，四边形的对角线相等且互相平分，可以判定四边形是矩形，故D选项符合题意． 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定．证明是等边三角形求出即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查的是菱形的判定定理，正方形的判定定理，含30度角的直角三角形的性质．根据菱形的判定方法和正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的四个图形中， 第一个四边形中，，， ∴，不是菱形； 第二个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， ∴第二个四边形是菱形； 第三个图形是菱形，如图， 由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴,， ∴, ∴， ∴四边形是菱形； 第四个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， 四个角都等于， ∴第四个四边形是正方形； 综上，是菱形但不是正方形的有2个． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的对角线相互平分且垂直是解题的关键． 根据菱形的对角线相互平分且垂直，可得，，，然后由勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：∵菱形中，对角线相交于点，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：B． 5．B 【分析】连接，先根据正方形的性质及图形轴对称的性质，证明，，然后根据全等三角形的判定证明，可得，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， 点G是的中点， ， 沿折叠至， ，， ，， ， ， ， 设，则， 根据图形翻折的性质可知，， 在中，， ， 解得， 的长是． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设相交于点G，相交于点H，易证四边形是平行四边形，再证明可得，则平行四边形是菱形可得，设，则，再根据勾股定理列方程求得x，进而求得，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：设相交于点G，相交于点H， ∵两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起， ∴， ∴四边形是平行四边形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得： ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，连接、，由矩形的性质可得，，，求出，得到，由勾股定理可得，由等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得出，再证明，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查矩形的性质，平面直角坐标系，由已知点坐标可得，，进而可解． 【详解】解：矩形的顶点， ，，轴， B的坐标为． 故选：A． 9．B 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定，旋转的性质，先根据菱形的性质推出、、、全等，再根据旋转的性质得绕点O旋转得到的是． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点O， ∴，，，， ∴、、、全等， ∴由绕点O旋转得到的是． 故选：B． 10．D 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 根据旋转的性质及正方形的性质得出，，，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角的和差关系得出，利用证明，即可得出， 进而求出，根据即可得答案． 【详解】解：∵四边形为正方形，把绕点逆时针旋转得到， ∴，，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 11．10 【分析】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法． 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，证出即可． 【详解】解：当时， ， ， 四边形是矩形， 故答案为：10． 12．/ 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 设和相交于点O，连接，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，证明四边形是矩形，根据矩形的性质得到，则当时，最小，的值最小，然后根据三角形的面积公式求出此时的长即可． 【详解】解：连接，如图， 四边形是菱形， ，，， ， 于点，于点， ， 四边形是矩形， ， 当取最小值时，的值最小， 当时，最小， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，，，则，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】解：∵是矩形对角线的中点，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先整理得，利用旋转的性质可知，且为直角三角形，运用勾股定理求得的值，即可作答． 【详解】解：连接 ∵，，D是的中点， ∴， ∵将绕点C顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∵， ∴， 即 ∵旋转， ∴（旋转后是对应边）， ∴是等腰直角三角形， ∴ 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，三角形中位线及三角形三边不等关系，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，三角形中位线及三角形三边不等关系是解题的关键；连接，交于一点O，连接，过点A作于点H，由题意易得是的中位线，则有，然后根据三角形三边不等关系可进行求解． 【详解】解：连接，交于一点O，连接，过点A作于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可得：，即， 当且仅当点O、P、C三点共线时，取得最大值和最小值，即的最大值为，最小值为； 故答案为，． 16．①②③ 【分析】先根据正方形的性质和等腰三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则结论①正确；先求出，再过点作于点，利用勾股定理可得的长，然后根据即可得结论②正确；先证出，根据全等三角形的性质可得，则，再利用三角形的面积公式可得结论③正确；先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后利用的面积求出的长，由此即可得结论④错误． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论①正确； ∵在中，， ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，则结论②正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，则结论③正确； 如图，连接，， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∴此时有， ∴， ∴的最小值为，则结论④错误； 综上，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 17．(1) 如图：菱形即为所求； (2)． 【分析】本题考查尺规作图，菱形的性质，利用特殊角的三角函数值求线段的长度，求菱形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）用圆规在平行边上截取即可； （2）过A作于E，根据题意，利用特殊角的三角函数值求出，再求菱形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：过A作于E，则， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 18．(1) 证明：， ，． 为的中点， ， ∴在和中， ， ． (2) 解：四边形为矩形．证明如下： ， ． ， 四边形为平行四边形． 四边形是平行四边形， ． ， ． ， ， ， 四边形为矩形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质和矩形的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． （1）根据可得，，再根据为的中点可得，进而利用证明即可； （2）根据可得，即可证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质证明，即可证明四边形为矩形． 【详解】（1）略 （2）略 19．(1) 证明：∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． (2) 【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 20．(1)； (2) 【分析】（1）由，是的中点可知，是的中位线，，由正方形的对角线互相垂直可知，所以，由得，所以； （2）过点作于，通过证得、，在中，由勾股定理可得线段的长． 【详解】（1），是的中点， 是的中位线， ，， 又正方形中，， ， 中，，， ， ； （2）如图，过点作于， 四边形是正方形， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 21．(1)①证明：如图1，连接， 点C，D分别为边的中点， 是的中位线， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ； ② (2)； 【分析】（1）①连接，利用三角形中位线定理和旋转性质即可证得，利用全等三角形性质即可证得结论； ②利用勾股定理可得，由旋转得：，，设，则，，运用勾股定理建立方程求解即可； （2）①当轴，且点F在直线右侧时，此时S最大，当轴，且点F在直线左侧时，此时S最小，分别求得最大值和最小值即可； ②过点作轴于K，延长交于L，利用矩形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）① 略 ②解：， ， ， 点C，D分别为边的中点， ，， 由旋转得：， ， 点恰好在线段上， ， 由①知，设， 则，， 在中，， ， 解得：， ； （2）解：①当轴，且点F在直线右侧时，如图3，延长交y轴于G， 则轴，此时S最大， ， ， ； 当轴，且点F在直线左侧时，如图4，延长交y轴于G， 则，此时S最小， ， 故答案为：； ②如图5，过点作轴于K，延长交于L， 则四边形是矩形， ， 又和是等腰直角三角形， ，， ， ， 故答案为： 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查平面直角坐标系中三角形旋转，熟练掌握点的坐标，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $