专题02 因式分解的拓展（举一反三专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

**基本信息** 聚焦因式分解拓展方法，构建从基础分组到高阶换元/添拆项的递进式训练体系，通过题型化设计培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分组提公因式|1例+3变式|先分组再提公因式|基础分组方法，衔接公因式概念| |分组用公式|1例+3变式|分组后套公式（平方差/完全平方）|结合公式法，深化分组策略| |十字相乘法（系数1）|1例+3变式|常数项拆分为两数积且和为一次项系数|二次三项式基本分解技巧| |十字相乘法（系数≠1）|1例+3变式|二次项/常数项双拆分，交叉乘积和为一次项|进阶十字相乘，提升运算能力| |换元法|1例+3变式|整体代换简化多项式结构|培养整体思想，降低复杂式分解难度| |添项法|1例+3变式|补全公式结构或创造公因式|技巧性拓展，强化构造思维| |拆项法|1例+3变式|拆分中间项或常数项，重构分组|灵活变形能力，提升推理意识|

专题02 因式分解的拓展（举一反三专项训练） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 因式分解——先分组再提公因式】 1 【题型2 因式分解——分组后利用公式】 1 【题型3 因式分解——十字相乘法（二次项系数为1）】 1 【题型4 因式分解——十字相乘法（二次项系数不为1）】 2 【题型5 因式分解——换元法】 2 【题型6 因式分解——添项法】 3 【题型7 因式分解——拆项法】 4 【题型1 因式分解——先分组再提公因式】 【例1】因式分解：． 【变式1-1】分解因式：______． 【变式1-2】分解因式：_________． 【变式1-3】（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）因式分解：________． 【题型2 因式分解——分组后利用公式】 【例2】如果因式分解的结果为_________． 【变式2-1】（2025七年级上·全国·专题练习）分解因式：． 【变式2-2】因式分解：________． 【变式2-3】（24-25七年级上·北京·开学考试）分解因式：________． 【题型3 因式分解——十字相乘法（二次项系数为1）】 【例3】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 【变式3-1】分解因式：___________． 【变式3-2】因式分解：___________________； 【变式3-3】分解因式：________． 【题型4 因式分解——十字相乘法（二次项系数不为1）】 【例4】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）因式分解：_______． 【变式4-1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）在实数范围内因式分解：______． 【变式4-3】分解因式：__． 【题型5 因式分解——换元法】 【例5】阅读材料，并解决问题： 分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 【变式5-1】（2025八年级上·全国·专题练习）用“换元法”对多项式进行因式分解 【变式5-2】阅读材料，并解决问题：分解因式：，解：设，则原式；这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用其他字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 下面李想同学应用换元法对多项式进行因式分解的过程： 解：设，     （第一步）     （第二步）     （第三步） ．    （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了_______． A．提公因式法    B．平方差公式    C．完全平方公式 (2)张老师发现李想同学因式分解的结果有错误，错误的是第______步，正确的结果：______． (3)请你尝试对多项式进行因式分解． 【变式5-3】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小丹同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） 故原式（第四步） （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)初步理解：小丹同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（   ） A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)尝试应用： 按照“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，请你用换元法对多项式进行因式分解． (3)灵活运用： ①若，求的值． ②请你将多项式进行因式分解． 【题型6 因式分解——添项法】 【例6】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式： ①； 又比如多项式可以这样分解： ②； 仿照以上方法，分解多项式的结果是______． 【变式6-1】（2025七年级上·全国·专题练习）运用添项法分解因式：． 【变式6-2】运用添项法分解因式：分解因式． 【变式6-3】（25-26七年级上·上海·期中）运用添项法分解因式：． 【题型7 因式分解——拆项法】 【例7】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）综合与实践 (1)阅读理解： 拆项分组分解因式是将多项式中的某一项拆分成几项，然后通过合理分组，提取公因式或运用公式来进行因式分解的方法．这种方法常用于不能直接使用提取公因式法、公式法分解的多项式，关键在于巧妙拆项和恰当分组，找到公因式或符合公式的形式． 例如，分解因式，可将拆分成，，两项，原多项式变为．然后恰当分组，对每组分别提取公因式后原式变形为___________，再提取公因式，最终分解为___________． (2)问题解决： 上面的拆项分组法分解因式你学会了吗？请你把因式分解． (3)问题拓展 若多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数）． 因为，与对应． 所以，，，在拆项分组过程中，要将拆分成两项，使得分组后能够提取公因式逐步分解，并且通过合理拆项，让各项系数满足上述关系，从而实现因式分解． 试一试，把因式分解． 【变式7-1】先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1） 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣6x﹣7； （2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2 【变式7-2】（2025七年级上·全国·专题练习）请利用拆项法分解因式完成下列题目： (1)； (2)． 【变式7-3】利用拆项法分解因式： (1)； (2)； (3)． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 因式分解的拓展（举一反三专项训练） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 因式分解——先分组再提公因式】 1 【题型2 因式分解——分组后利用公式】 2 【题型3 因式分解——十字相乘法（二次项系数为1）】 4 【题型4 因式分解——十字相乘法（二次项系数不为1）】 5 【题型5 因式分解——换元法】 6 【题型6 因式分解——添项法】 11 【题型7 因式分解——拆项法】 12 【题型1 因式分解——先分组再提公因式】 【例1】因式分解：． 【答案】 【分析】使用分组分解法进行因式分解，先将原式拆项分组，提取公因式得到两个二次因式的乘积，再对其中可分解的二次因式继续分解即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式1-1】分解因式：______． 【答案】 【分析】利用分组分解法，先分解二次项部分，再提取公因式即可求解． 【详解】解： ． 【变式1-2】分解因式：_________． 【答案】 【分析】先分组，然后再运用提取公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为． 【点睛】本题考查了运用分组法、提取公因式法、公式法因式分解，对原式正确的分组是正确解答本题的关键． 【变式1-3】（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． 先利用计算公式，将变形为，结合因式分解的公式，得到，对 部分先提取公因式y，再利用十字相乘法进行因式分解，得到，再整体提取公因式，对余下部分利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【题型2 因式分解——分组后利用公式】 【例2】如果因式分解的结果为_________． 【答案】 【分析】把当成一个整体，再因式分解即可． 【详解】原式 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键． 【变式2-1】（2025七年级上·全国·专题练习）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查分组分解法因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．前三项用完全平方公式因式分解；中间两项提公因式；最后再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 【变式2-2】因式分解：________． 【答案】 【分析】根据多项式特点，进行分组，两次运用公式法分解因式即可. 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题无法直接提公因式或运用乘法公式进行分解因式，结合式子特点，对多项式分组，两次运用公式法进行分解，要注意符号问题，正确分组是解题关键. 【变式2-3】（24-25七年级上·北京·开学考试）分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先分组，再运用完全平方公式与平方差公式相结合求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型3 因式分解——十字相乘法（二次项系数为1）】 【例3】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-1】分解因式：___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提取公因式法、公式法、十字相乘法、换元法等）是解题关键．利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-2】因式分解：___________________； 【答案】 【分析】先运用十字相乘法进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握十字相乘法和公式法进行因式分解是解答本题的关键． 【变式3-3】分解因式：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用十字相乘法分解，首先根据多项式乘以多项式的法则把原式整理，可得：原式，再把看作一个整体，利用多项式乘以多项式的法则展开，可得：原式，把看作一个整体利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型4 因式分解——十字相乘法（二次项系数不为1）】 【例4】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键； 使用十字相乘法因式分解二次三项式，寻找满足条件的数对即可． 【详解】解： ， 分解为 和 ， 将 分解为 和 ， 交叉相乘后相加得 ， 因此因式分解结果为 ， 验证：， 故答案为 ． 【变式4-1】（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法对二次三项式进行因式分解；通过寻找两个数，其乘积为二次项系数与常数项的乘积，且和为一次项系数，从而分解因式. 【详解】解： 原式 故答案为：. 【变式4-2】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了二次三项式在实数范围内的因式分解，解题的关键是利用十字相乘法或求根公式分解多项式． 先通过十字相乘法拆分二次项与常数项的系数，将拆分为两个一次式的乘积；或先求方程的根，再利用求根公式法分解． 【详解】解：用十字相乘法：． 故答案为：． 【变式4-3】分解因式：__． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，解答本题的关键是掌握十字相乘法和整式的乘法． 根据十字相乘法得到 ，再设，利用整式的乘法进行计算，进而对比系数求解，即可解题． 【详解】解： 设 ， 对比原式系数，得， 解得， ， 故答案为：． 【题型5 因式分解——换元法】 【例5】阅读材料，并解决问题： 分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则原式变为，从而可用完全平方公式进行因式分解，最后再换回即可； （2）令，则原式变为，从而可用完全平方公式进行因式分解，最后再换回，再继续进行分解即可． 【详解】（1）解：令，则原式； （2）解：令， 则原式 ． 【点睛】本题考查了较复杂的多项式的因式分解，运用换元法，达到化繁为简，是本题的关键． 【变式5-1】（2025八年级上·全国·专题练习）用“换元法”对多项式进行因式分解 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项式进行因式分解，达到去繁化简的效果． 用换元法设，代入多项式，整理后用提公因式法分解即可． 【详解】解：设， 将代入中得：， 原式 ． 【变式5-2】阅读材料，并解决问题：分解因式：，解：设，则原式；这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中某一部分重复出现时，我们用其他字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 下面李想同学应用换元法对多项式进行因式分解的过程： 解：设，     （第一步）     （第二步）     （第三步） ．    （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了_______． A．提公因式法    B．平方差公式    C．完全平方公式 (2)张老师发现李想同学因式分解的结果有错误，错误的是第______步，正确的结果：______． (3)请你尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)四， (3)见解析 【分析】本题主要考查了利用提取公因式法、公式法及换元法进行因式分解，熟练掌握相关运算法则并会换元，是解题的关键． （1）从第二步到第三步运用了完全平方公式； （2）第四步分解因式不彻底，继续进行分解即可； （3）设，将原式转换为，去括号整理后运用完全平方公式进行因式分解即可 【详解】（1）解：第二步到第三步运用了完全平方公式， 故选：C； （2）解：张老师发现李想同学因式分解的结果有错误，错误的是第四步，正确的结果： 故答案为：四；； （3）解：设， ∴ 【变式5-3】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小丹同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） 故原式（第四步） （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)初步理解：小丹同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（   ） A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)尝试应用： 按照“因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，请你用换元法对多项式进行因式分解． (3)灵活运用： ①若，求的值． ②请你将多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可解答； （2）设，则，原式 ，即可得到答案； （3）①令，则由得，得出，根据，即可求解． ②先将原式变形为，设，则原式，进而得到原式． 【详解】（1）解：运用了完全平方公式法， 故选：C； （2）设．                      ． （3）①令，则由得，， 解得，                       因为， 所以， 则．                  ② ，                设 原式 【题型6 因式分解——添项法】 【例6】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式： ①； 又比如多项式可以这样分解： ②； 仿照以上方法，分解多项式的结果是______． 【答案】 【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查添项与拆项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想． 【变式6-1】（2025七年级上·全国·专题练习）运用添项法分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查了分解因式. 通过添项将原式化为完全平方公式分解，再根据平方差公式分解即可 【详解】原式 ． 【变式6-2】运用添项法分解因式：分解因式． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，解题关键是掌握立方和公式； 观察发现此多项式不能直接提取公因式和运用公式， 分组也不易进行，通过添项和拆项解决； 根据平方差公式和立方和公式，原式变形为，然后根据相关公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式6-3】（25-26七年级上·上海·期中）运用添项法分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，观察发现此多项式不能直接提取公因式和运用公式， 分组也不易进行，通过添项和拆项解决； 根据平方差公式和立方和公式，原式变形为，然后根据相关公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【题型7 因式分解——拆项法】 【例7】（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）综合与实践 (1)阅读理解： 拆项分组分解因式是将多项式中的某一项拆分成几项，然后通过合理分组，提取公因式或运用公式来进行因式分解的方法．这种方法常用于不能直接使用提取公因式法、公式法分解的多项式，关键在于巧妙拆项和恰当分组，找到公因式或符合公式的形式． 例如，分解因式，可将拆分成，，两项，原多项式变为．然后恰当分组，对每组分别提取公因式后原式变形为___________，再提取公因式，最终分解为___________． (2)问题解决： 上面的拆项分组法分解因式你学会了吗？请你把因式分解． (3)问题拓展 若多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数）． 因为，与对应． 所以，，，在拆项分组过程中，要将拆分成两项，使得分组后能够提取公因式逐步分解，并且通过合理拆项，让各项系数满足上述关系，从而实现因式分解． 试一试，把因式分解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解. （1）根据题干过程作答即可； （2）仿照（1）作答即可； （3）仿照题干所给示例得到，，，合理拆项计算即可 【详解】（1）解： ∴对每组分别提取公因式后原式变形为，再提取公因式，最终分解为 故答案为：， （2） （3）将多项式通过拆项分组法分解为（m、n、p、q为常数） 因为，与对应， 所以，，， 所以， 即或或或 因为 所以 则可分为， 即. 【变式7-1】先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1） 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣6x﹣7； （2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2 【答案】（1）(x+1)(x－7)；（2）(a+5b)( a－b) 【分析】（1）仿照例题方法分解因式即可； （2）仿照例题方法分解因式即可； 【详解】解：（1）x2﹣6x﹣7 = x2﹣6x+9－16 =（x－3）2－42 =（x－3+4）(x－3－4) =(x+1)(x－7)； （2）a2＋4ab﹣5b2 = a2＋4ab+4b2﹣9b2 =（a+2b）2－(3b)2 =（a+2b +3b）(a+2b－3b) =(a+5b)( a－b)． 【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键． 【变式7-2】（2025七年级上·全国·专题练习）请利用拆项法分解因式完成下列题目： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键． （1）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-3】利用拆项法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了因式分解的应用，解题时要注意在拆项变形的过程中不要改变式子的值． （1）原式拆成，再分组分解，利用提公因式法分解即可； （2）原式拆成，再分组分解，利用提公因式法分解即可； （3）原式拆成，再分组分解，利用提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $