考点9：函数模型及其应用（三大题型18题）导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数模型及其应用核心考点，涵盖一次、反比例、二次、指数、对数、幂函数模型及解决实际问题四步骤，通过问题链设计引导学生自主关联函数类型与现实情境，构建从模型识别到问题解决的知识网络。 亮点在于真题导向与分层题型设计，整合近三年北京卷真题及10类模拟题，按指数衰减增长、对数函数等题型分类，指导学生用数学思维列方程、取对数求解，培养数学语言表达现实问题的能力。配套诊断性例题与解题步骤模板，帮助学生自主诊断薄弱环节，教师可依据题型分析实施精准复习指导。

2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点9 函数模型及其应用 考情分析 新高考对知识的考查要求：理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言 和工具。在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。新高考明确强化应用性考查，函数模型题已成为很可能考的题型（近三年北京卷每年均有涉及）。命题素材从传统的行程、工程问题转向 AI、新能源、生物医药、数学文化等前沿领域，建模能力直接决定学生能否读懂题、切入题。可以预测2027年新高考命题很有可能涉及。 1.几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f (x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f (x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 2.解决实际应用问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）定模型：将自然语言转化为数学语言，或者理解题目提供的公式，区分变量和参数，建立识别相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论，根据题目的已知条件求参数； （4）还原：将数学问题还原为实际问题，实际时间不能简单的四舍五入． 1.（2026·北京高考真题第13题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 2.（2025·北京高考真题第9题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（   ） A．2 B．4 C．20 D．40 3.（2024·北京高考真题第7题）记水的质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（    ） A． B． C．若，则；若，则； D．若，则；若，则； 题型一：指数衰减、增长模型 题型分析：①列方程：针对问题目标，代入目标值列出指数方程；②取对数求解：两边取常用对数或自然对数，利用对数运算性质求出未知量，注意结果取整规则（"至少" 向上取整）；③涉及方程组、区间估计或大数运算，对运算能力和整体代换意识要求较高。 1.（2026届· 广东南宁· 4月调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（   ）个小时才能驾驶．（参考数据：，） A．6 B．7 C．8 D．9 2.（2026届·北京十一校· 5月模拟）2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（参考数据：，）（    ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 3.（2026届· 江西宜春· 4月联考）某AI模型对图像中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（    ） A．1152 B．1386 C．1560 D．1842 4.（2026届·哈尔滨六中·模拟）为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（    ） A． B． C． D． 5.（2026届·九师联盟· 1月质检）碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间t（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是 ． 6.（2026届·江苏镇江·期中）某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为：（，是正的常数）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物减少50%需要花多少时间（    ）（精确到1h，参考数据lg2≈0.301，lg3≈0.477） A．31 h B．33 h C．35 h D．37 h 7.（2026届·北京朝阳·二模）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（   ） （参考数据：） A．120 B．150 C．170 D．180 8.（2026届·浙江天域名校协作体·模拟）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（   ） （参考数据：，） 9.（2026届·山东聊城市高唐县第一中学· 5月模拟）某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年后的二手车价格与新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：，其中，a和b为常数.已知A款电动汽车使用2年后保值率为，使用4年后保值率为.若该车的保值率低于即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据：，）（   ） A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 10.（2026届·湖南多校· 4月联考）某科技企业采用大模型训练一款智能协作机器人，该机器人完成单次精密装配任务所需时间（单位：秒）与训练迭代次数的关系式为.定义“边际时间缩短量”为，当时，继续训练节省的工时收益将低于算力成本，应停止训练.已知，则达到停止训练条件的迭代次数至少为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 题型二：对数函数模型 题型分析：①审题，看懂题干中的公式，分清变量和参数；②求参数、差值法等翻译题干；③将目标变量代入，利用对数运算法则（换底公式、对数恒等式）计算，配合参考数据估算。 1.（2026届·T8联盟·考前训练）当蛋白质分子量达到一定量级时，其分子量与迁移率之间满足，其中为常数.若，则当分子量变为原来的2倍时，现迁移率与原迁移率的差值为（    ） A． B． C． D．2 2.2026届·陕西安康·模拟）已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：min）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了9min，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A．12min B．15min C．16min D．18min 3.（2026届·湖南百师联盟·5月考试）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 4.（2026届·云南红河州、文山州·模拟）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 题型三：其他函数形式 题型分析：函数建模是数学从 "纸上演算" 走向 "解决真实问题" 的桥梁，除了比较常用的指对型函数，任何函数都可以应用到实际问题中，包括导数的应用也是非常重要的研究这些函数的方法，三角函数部分会在三角函数的章节再叙述。 1.（2026届· 吉林G35联合体· 二模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2.（2026届·安徽皖江名校联盟· 5月模拟）工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加（订货费不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本）．因此需要决定多长时间订购一次，使每天所需平均成本费用（不包括购买原料费用）最少．设时间以天为单位，工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为吨，每次订货费为元，每天每吨原料贮存费为元，当贮存量降到0时订货可立即送达，订货费、贮存费和需求量均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为（即每天订一次货），则每次订货量为，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存量为，所以一个订货周期的贮存费为，要使每天所需平均成本费用最低，则=（    ） A． B． C． D． 3.（2026届·河南省部分名校· 模拟）（多选）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 4.（2026届·江苏南通市暨苏北七市·三模）某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量（单位：拷贝数/升）与时间（小时）的关系为，其中，为初始病毒载量，则病毒载量在=_____小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的倍，当低于时不具传染性，则从起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点9 函数模型及其应用 考情分析 新高考对知识的考查要求：理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言 和工具。在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。新高考明确强化应用性考查，函数模型题已成为很可能考的题型（近三年北京卷每年均有涉及）。命题素材从传统的行程、工程问题转向 AI、新能源、生物医药、数学文化等前沿领域，建模能力直接决定学生能否读懂题、切入题。可以预测2027年新高考命题很有可能涉及。 1.几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f (x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f (x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 2.解决实际应用问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）定模型：将自然语言转化为数学语言，或者理解题目提供的公式，区分变量和参数，建立识别相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论，根据题目的已知条件求参数； （4）还原：将数学问题还原为实际问题，实际时间不能简单的四舍五入． 1.（2026·北京高考真题第13题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 【答案】 【解析】由题意，则，解得， 所以f的取值范围为. 2.（2025·北京高考真题第9题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（   ） A．2 B．4 C．20 D．40 【答案】B 【解析】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 3.（2024·北京高考真题第7题）记水的质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（    ） A． B． C．若，则；若，则； D．若，则；若，则； 【答案】C 【解析】由题意可得，解得， 若，则，可得，即； 若，则，可得； 若，则，可得，即； 结合选项可知C正确，ABD错误； 故选：C. 题型一：指数衰减、增长模型 题型分析：①列方程：针对问题目标，代入目标值列出指数方程；②取对数求解：两边取常用对数或自然对数，利用对数运算性质求出未知量，注意结果取整规则（"至少" 向上取整）；③涉及方程组、区间估计或大数运算，对运算能力和整体代换意识要求较高。 1.（2026届· 广东南宁· 4月调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（   ）个小时才能驾驶．（参考数据：，） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】设他经过个小时后血液中酒精含量为， 则， 当时，，即， 解得， 因为时间必须大于小时才能使酒精含量低于，结合选项为整数，故至少需要经过小时才能驾驶.故选项C正确. 故选：C. 2.（2026届·北京十一校· 5月模拟）2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（参考数据：，）（    ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 【答案】C 【解析】设从2025年开始经过年后算力首次突破7500PetaFLOPS，则，即，两边同时取常用对数得，即， 化简得，因为取整数，所以，，所以，2028年首次突破7500PetaFLOPS. 故选：C. 3.（2026届· 江西宜春· 4月联考）某AI模型对图像中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（    ） A．1152 B．1386 C．1560 D．1842 【答案】A 【解析】令，解得， 因为，所以，则的值约为． 故选：A. 4.（2026届·哈尔滨六中·模拟）为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，，因为前2小时过滤掉了污染物的， 则剩余污染物为，即，得， 则前4小时的剩余污染物量：， 即剩余污染物是，则前4小时过滤掉的污染物比例为. 故选：B 5.（2026届·九师联盟· 1月质检）碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间t（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是 ． 【答案】 【解析】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为， 那么死亡1年后生物体内碳14含量为， 死亡2年后生物体内碳14含量为， 死亡5730年后生物体内碳14含量为， 所以，，所以． 6.（2026届·江苏镇江·期中）某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为：（，是正的常数）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物减少50%需要花多少时间（    ）（精确到1h，参考数据lg2≈0.301，lg3≈0.477） A．31 h B．33 h C．35 h D．37 h 【答案】B 【解析】，解得，，当时，有，解得，即污染物减少需要花33h. 故选：B 7.（2026届·北京朝阳·二模）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（   ） （参考数据：） A．120 B．150 C．170 D．180 【答案】B 【解析】由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加. 故选：B． 8.（2026届·浙江天域名校协作体·模拟）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，得， 两边同时取对数得，，解得，则， 令，得，两边同时取对数得，， 所以. 故选：D. 9.（2026届·山东聊城市高唐县第一中学· 5月模拟）某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年后的二手车价格与新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：，其中，a和b为常数.已知A款电动汽车使用2年后保值率为，使用4年后保值率为.若该车的保值率低于即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据：，）（   ） A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 【答案】B 【解析】由题意，当时，，根据题中数据，可列方程组，则，则，即，所以，由，则，所以该车大约在使用6年后会进入“大幅贬值”区间. 故选：B. 10.（2026届·湖南多校· 4月联考）某科技企业采用大模型训练一款智能协作机器人，该机器人完成单次精密装配任务所需时间（单位：秒）与训练迭代次数的关系式为.定义“边际时间缩短量”为，当时，继续训练节省的工时收益将低于算力成本，应停止训练.已知，则达到停止训练条件的迭代次数至少为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【解析】由题意得， ，则，则，得，故达到停止训练条件的迭代次数至少为. 故选：B. 题型二：对数函数模型 题型分析：①审题，看懂题干中的公式，分清变量和参数；②求参数、差值法等翻译题干；③将目标变量代入，利用对数运算法则（换底公式、对数恒等式）计算，配合参考数据估算。 1.（2026届·T8联盟·考前训练）当蛋白质分子量达到一定量级时，其分子量与迁移率之间满足，其中为常数.若，则当分子量变为原来的2倍时，现迁移率与原迁移率的差值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意得，原迁移率，现迁移率，可得. 故选：A. 2.2026届·陕西安康·模拟）已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：min）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了9min，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A．12min B．15min C．16min D．18min 【答案】A 【解析】由题意：，所以.所以.当时，（min）. 故选：A. 3.（2026届·湖南百师联盟·5月考试）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 【答案】B 【解析】将轮毂高度瞬时风速代入，得，由知，，则，所以， 又，所以，所以． 故选：B. 4.（2026届·云南红河州、文山州·模拟）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 【答案】D 【解析】由题意知，当时，，代入， 得，整理得：，也就有，将代入，得，整理得：，故，但由于扩增次数必须为整数，故至少需要27次扩增，即. 故选：D. 题型三：其他函数形式 题型分析：函数建模是数学从 "纸上演算" 走向 "解决真实问题" 的桥梁，除了比较常用的指对型函数，任何函数都可以应用到实际问题中，包括导数的应用也是非常重要的研究这些函数的方法，三角函数部分会在三角函数的章节再叙述。 1.（2026届· 吉林G35联合体· 二模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得（舍去）． 故选：A. 2.（2026届·安徽皖江名校联盟· 5月模拟）工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加（订货费不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本）．因此需要决定多长时间订购一次，使每天所需平均成本费用（不包括购买原料费用）最少．设时间以天为单位，工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为吨，每次订货费为元，每天每吨原料贮存费为元，当贮存量降到0时订货可立即送达，订货费、贮存费和需求量均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为（即每天订一次货），则每次订货量为，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存量为，所以一个订货周期的贮存费为，要使每天所需平均成本费用最低，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为贮存费为，且订货费为，所以总费用为，易知每天所需平均成本费用为.设，.令，解得.又因为，单调递减，，单调递增.所以时，最小. 故选：D. 3.（2026届·河南省部分名校· 模拟）（多选）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 【答案】ABD 【解析】对于A，当时，，则，其中，为正整数， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 因为单调递减，且为正整数，所以，故A正确； 对于B，当且时，， 所以当时，取得最大值：， 当且时，，， 因为在上单调递减，所以， 所以当时，取得最大值：， 综上，的最大值为124，故B正确； 对于C，当时，，所以该运动员第9分钟时没有恢复到静息心率，故C错误； 对于D，当且时，， 当时，取得最小值，，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”， 当且时，，，即，所以，即，解得，所以有，， 综上，当且时，， 因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟，故D正确. 故选：ABD. 4.（2026届·江苏南通市暨苏北七市·三模）某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量（单位：拷贝数/升）与时间（小时）的关系为，其中，为初始病毒载量，则病毒载量在=_____小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的倍，当低于时不具传染性，则从起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时． 【答案】 4 32 【解析】当时，此时， 代入原函数指数部分：，所以，，已知，则， 所以当时，指数是关于的减函数，因此在上单调递减， 当时，此时，代入原函数指数部分： ， 所以，， 同理得在（0，4）上单调递增， 综合以上两种情况，在时单调递增，在时单调递减， 因此，病毒载量在时达到峰值． 在时，， 根据题意，对于任意，有：， 代入表达式：， 整理得，，，所以， 病毒具有传染性的条件是，即，整理得，， 当时，不等式变为：， 结合前提，得到； 当时，不等式变为：， 结合前提，得到， 综合两种情况，病毒具有传染性的时间段为， 题干要求计算从起的传染时长，即时间区间的长度， 故总时长为小时 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $