考点8：抽象函数（四大题型25题）导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了抽象函数专题，将赋值求函数值、单调性判断、周期性与对称性等核心考点按性质特征和题型逻辑构建知识网络，通过分层任务设计引导学生自主推导性质规律，形成抽象函数的完整认知体系。 亮点在于诊断性真题引入和分层题型训练，如开篇设置近三年高考真题示例，学生通过题型分类（无解析式、有部分解析式等）匹配针对性方法指导，培养数学思维与数学语言表达素养。每个题型配有反思总结表，帮助学生自主诊断薄弱环节，教师可依据学情实施精准教学，提升备考实效。

2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点8 抽象函数 考情分析 抽象函数指没有给出具体解析式，只给出函数部分性质（奇偶、周期、对称性、函数方程）的函数，并不会是一个单一知识点的考察。纵观近三年的新高考试题难度较大，频率很高。经常客观题形式出现，综合性很强。可以预测2027年新高考命题方向将延续之前的出题模式出现，很可能创新综合性更强。 1.赋值求函数值 （1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1； （2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取； （3）第三层次赋值（拆分赋值）：根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）； （4）尝试适当的换元字母：构造出和，如，可令，，可令 等。 2.判断单调性 构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下： （1）构造“和” ； （2）构造“积”； （3）利用构造； （4）利用奇偶性（主要是奇函数）构造。 3.函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则；（6）若，则（）； 4.函数的轴对称的常用结论 （1）若则图象的对称轴为； （2）若则图象的对称轴为； （3）若则图象的对称轴为。 5.函数的中心对称的常用结论 （1）若则的图象，以为对称中心； （2）若则的图象，以为对称中心； （3）若则的图象，以为对称中心； （4）若则的图象，以为对称中心； 6.函数对称性与周期性的关系 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 7.平移变换 1. （2026·新高考Ⅱ卷高考真题第8题）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】，则，，即周期为，结合奇偶性，周期性，故，在上满足，说明的对称轴为，则，解得， 又根据知，而，则，于是，即，解得. 故选：D. 2.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【解析】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 3.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第8题）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 题型一：无解析式的函数 题型分析：不给函数具体表达式，只给出奇偶性、周期性、对称关系、函数方程等抽象条件。 ①优先挖掘周期、对称轴、对称中心，熟练记忆 “两轴、两点、一轴一点推周期” 的结论； ②灵活使用赋值法；③遇到多条件叠加，先化简关系式，迭代递推，得到周期；④求大自变量函数值，利用周期把自变量 “缩到小范围”；⑤多选要注意抽象条件不能猜测单调性，条件不足不能默认单调，可以举反例排除错误选项。 1.（2026届·湖南怀化· 一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，即. 所以是周期为4的周期函数. 所以. 在中，令，则，所以. 因此. 故选：D. 2.（2026届·吉林长春· 一模）已知是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【解析】由可得，用替换，则，即， 所以函数是以为周期的周期函数，由，令，则， 且是定义在上的奇函数，则，所以， 令，则，且，则， 令，则，因为，所以， 所以， 则 . 故选：D 3.（2026届·河南郑州· 一模）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵函数为奇函数，∴，又∵，∴，故选项C正确.其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 4.（2026届·江西九江· 一模）已知奇函数对任意，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为定义在上的奇函数，所以， 因为任意，都有，即，所以， 所以，即是以为周期的周期函数， 因为所以，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误. 故选：B 5.（2026届· 山东青岛· 一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【解析】因为为偶函数，为奇函数， 所以，， 所以函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 所以，令，则，即， 所以，令，则，所以的周期为4， 又，，所以，所以， 又函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 又的周期为4，所以，，， 所以函数一个周期内的函数值为，，，， 所以， 所以 ，所以. 故选：B 6.（2026届·广东·第二次调研）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由是奇函数，则；由，则的图象关于对称，即，所以．因为在单调递增，则在单调递增，在单调递减，从而在单调递减．所以 故选C． 7.（2026届· 吉林G35联合体· 二模）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由关于直线对称，且在上单调递减， 因为，恒成立， 所以 ， 两边平方展开化简： 即 ， 整理得， 因为对任意不等式恒成立，故，即， 故的取值范围是. 故选：D. 8.（2026届·湖南多校· 4月联考）（多选）已知是定义域为的奇函数，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．为增函数 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，因为是定义域为的奇函数，所以， 令，代入得，故A正确； 对于B，由奇函数性质有，故B正确； 对于C，表明，对于任意，比大， 但并不意味着为增函数，例如：函数满足题意， 当时，， 当时，， ，但，所以不是增函数，故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 9.（2026届· 四川成都· 定时训练）（多选）若定义在上的函数满足是偶函数，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，∵，∴，故A正确， 对于B，∵是偶函数，∴， ∴函数关于直线对称，∴， ∵，∴，∴是奇函数，故B正确， 对于C，若的图象关于直线对称，则， 但是，，即， 这与假设条件矛盾，故错误； 对于D，∵，∴， ∴,∴的周期为， 将代入，得， 将，代入，得， 同理可知， 又∵的周期为，∴正奇数项的周期为， ∴ ，故正确. 故选：ABD. 题型二：有部分解析式的函数 题型分析：给出函数在某一段区间上的具体解析式，其余区间只给抽象性质奇偶、周期、对称。 核心解题思路：①先用条件推导周期、对称轴、对称中心，把大的自变量，转化到给出解析式的区间内；②大自变量往已知区间压缩；③求其他区间解析式，解释式平移。 1.（2026届·湖北云学联盟· 期末联考）已知 是定义在 上的偶函数,且 ,当 时, ,则 A. -1 B. 1 C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 . 故选： C. 2.（2026届· 辽宁大连· 双基模拟）已知是定义在上的奇函数，且对任意都有.当时，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由可知，是一个周期为4的周期函数，所以，将代入，得，又因为是定义在上的奇函数，故所以，所以， 所以. 故选：B. 3.（2026届·广东东莞· 调研考试）已知函数对任意有，且为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 3 D. -3 【答案】D 【解析】由题可得任意有即函数具有周期性且周期为2， 又为偶函数，则函数关于直线对称， 所以，又当时， 所以. 故选：D 4.（2026届·浙江宁波·期末）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】因为是定义在上且周期为4的奇函数， 所以， 又，所以． 故选：D． 5.（2026届·江苏G4· 12月联考） 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】由是奇函数可知：， 再令得：， 又因为当时，，所以， 再令得：，又因为是偶函数，所以， 即可得，又因为，所以， 再令得：，所以， 又因为当时，，所以， 即当时，，则， 故选：A. 6.（2026届·广东广州·一模）已知函数 为奇函数,当 时, ,若 在 上单调递增,则 的取值范围是_______. 【答案】 【解析】因 是奇函数,关于点 中心对称, 则 关于点 中心对称且 , 当 时， , 当 时,令 ,则 ,得 , 得 , 当 时,对称轴 ,不符, 当 时,对称轴 ,即 ,综上 . 7.（2026届· 重庆巴蜀中学· 二模）（多选）已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得，即， 又，所以，即是以周期为的周期函数， 由，得，所以， 即，所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，，，， 一个周期内的和：， 所以，C错误； 对于D，是以周期为的周期函数，，， 时，，，所以， 时，，，所以， 所以在内的零点有， 而包含个完整周期， 所以是的零点，共个，D正确． 故选：ABD. 题型三：双变量的方程形式 题型分析：给出函数方程，形如,这类双变量关系式，需要靠赋值、换元推导奇偶、周期、单调性。解题思路：①赋值优先令求；令判断奇偶；令递推；②判断单调性：构造，作差判断正负；③写满足条件的抽象函数：先找原型函数，再检验全部条件。 1.（2026届·福建福州· 3月质检）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】B 【解析】在中，且， 令，得， 令，得， 令，得. 故选：B. 2.（2026届· 四川自贡· 三模）已知函数的定义域为，，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，令，则，又，所以，错误； 对B，令，则，即，，错误； 对C，令，得，所以， 令，则，即，所以 令，则，所以，即， 所以，错误； 对D，因为，所以， 又，所以，正确. 故选：D. 3.（2026届· 广东东莞· 二模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________. ①；②任意，都有；③是偶函数. 【答案】（答案不唯一）如等 【解析】任意，都有，所以函数在上单调递增或常函数等， 因为，所以可以是幂函数或或等函数， 又是偶函数，故，即， 所以，所以，为常数， 综上，函数的解析式不唯一， 可以是，等. 4.（2026届· 浙江宁波· 二模）（多选）定义在上的函数满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】令，则，解得，故A正确； 令，则，解得，故B错误； 令，则， ，故C正确； 令，则， 又， ，又不恒为零， ，即， ，即，故D错误． 故选：AC. 5.（2026届·山东淄博· 一模）已知函数的定义域为，，且，，则的最小值为（   ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【解析】令，则，所以. 令，则， 因为函数的定义域为，， 所以，当且仅当时，即时，等号成立. 所以的最小值为 故选：D 6.（2026届·山东名校联盟· 2月评估）已知奇函数的定义域为，对于任意的正数，都有，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设是上的任意两个实数，且，则， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以函数在上单调递增， 因为是定义域在上的奇函数，所以在上也单调递增， 由得，即， 又，令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则， 令，则， 因为是奇函数，所以， 所以当时，解得， 当时，解得， 当时，，不满足条件， 所以不等式的解集为， 故选：D 题型四：两个函数的问题 题型分析：题干同时给出两个抽象函数，给出二者之间的关系式，再叠加奇偶、对称、周期条件，注意区分一个函数自身对称和两个函数互相之间的对称关系。解题步骤：①把题目给的等式当作方程组，做换元替换成，联立消元，分别求出的关系式；②分别推导的奇偶、周期、对称轴，再推导的性质。 1.（2026届· 广东中山· 二模）（多选）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【解析】由关于对称，得， 已知，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. 故选：ABD. 2.（2026届· 湖南省联考· 期末）（多选）已知，均为奇函数，是奇函数，是偶函数，且当时，，则 A. B. 对任意， C. 当且仅当时， D. 【答案】ABD 【解析】对于A，由是奇函数，可知曲线关于点对称，而其自身关于点对称，可知对于任意整数，曲线关于点对称，于是，故A正确； 对于B，显然成立，构造，由题意可知是奇函数，是偶函数，而，，于是，同理，故B正确； 对于C，取可得矛盾，故C错误； 对于D，分析可知，均为以4为周期的函数，且都是由曲线段平移、翻转得到的，而的最小值为，所以，故D正确. 故选：ABD. 3.（2026届·湖北部分州市· 一模）（多选）已知，都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．若，则 【答案】AD 【解析】A，令，可得，得， 令，代入已知等式得， 可得，结合得，所以，故A正确； B，因为，令，代入已知等式得， 将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，代入已知等式，得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，故B错误； C，取，满足及， 所以，又， 所以函数的图象不关于直线对称，故C错误； D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式： ， 两式相加易得，所以有， 即，有， 即，则，所以为周期函数，且周期为， 因为，所以， 所以，所以， 所以，故D正确； 故选：AD 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习·专项训练学案 考点8 抽象函数 考情分析 抽象函数指没有给出具体解析式，只给出函数部分性质（奇偶、周期、对称性、函数方程）的函数，并不会是一个单一知识点的考察。纵观近三年的新高考试题难度较大，频率很高。经常客观题形式出现，综合性很强。可以预测2027年新高考命题方向将延续之前的出题模式出现，很可能创新综合性更强。 1.赋值求函数值 （1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1； （2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取； （3）第三层次赋值（拆分赋值）：根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）； （4）尝试适当的换元字母：构造出和，如，可令，，可令 等。 2.判断单调性 构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下： （1）构造“和” ； （2）构造“积”； （3）利用构造； （4）利用奇偶性（主要是奇函数）构造。 3.函数的周期性的常用结论（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则；（6）若，则（）； 4.函数的轴对称的常用结论 （1）若则图象的对称轴为； （2）若则图象的对称轴为； （3）若则图象的对称轴为。 5.函数的中心对称的常用结论 （1）若则的图象，以为对称中心； （2）若则的图象，以为对称中心； （3）若则的图象，以为对称中心； （4）若则的图象，以为对称中心； 6.函数对称性与周期性的关系 （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； （2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 7.平移变换 1. （2026·新高考Ⅱ卷高考真题第8题）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 3.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第8题）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型一：无解析式的函数 题型分析：不给函数具体表达式，只给出奇偶性、周期性、对称关系、函数方程等抽象条件。 ①优先挖掘周期、对称轴、对称中心，熟练记忆 “两轴、两点、一轴一点推周期” 的结论； ②灵活使用赋值法；③遇到多条件叠加，先化简关系式，迭代递推，得到周期；④求大自变量函数值，利用周期把自变量 “缩到小范围”；⑤多选要注意抽象条件不能猜测单调性，条件不足不能默认单调，可以举反例排除错误选项。 1.（2026届·湖南怀化· 一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 2.（2026届·吉林长春· 一模）已知是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 3.（2026届·河南郑州· 一模）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 4.（2026届·江西九江· 一模）已知奇函数对任意，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 5.（2026届· 山东青岛· 一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 6.（2026届·广东·第二次调研）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 7.（2026届· 吉林G35联合体· 二模）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.（2026届·湖南多校· 4月联考）（多选）已知是定义域为的奇函数，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．为增函数 D． 9.（2026届· 四川成都· 定时训练）（多选）若定义在上的函数满足是偶函数，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D． 题型二：有部分解析式的函数 题型分析：给出函数在某一段区间上的具体解析式，其余区间只给抽象性质奇偶、周期、对称。 核心解题思路：①先用条件推导周期、对称轴、对称中心，把大的自变量，转化到给出解析式的区间内；②大自变量往已知区间压缩；③求其他区间解析式，解释式平移。 1.（2026届·湖北云学联盟· 期末联考）已知 是定义在 上的偶函数,且 ,当 时, ,则 A. -1 B. 1 C. 3 D. 7 2.（2026届· 辽宁大连· 双基模拟）已知是定义在上的奇函数，且对任意都有.当时，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2026届·广东东莞· 调研考试）已知函数对任意有，且为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 3 D. -3 4.（2026届·浙江宁波·期末）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 1 5.（2026届·江苏G4· 12月联考） 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 6.（2026届·广东广州·一模）已知函数 为奇函数,当 时, ,若 在 上单调递增,则 的取值范围是_______. 7.（2026届· 重庆巴蜀中学· 二模）（多选）已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 题型三：双变量的方程形式 题型分析：给出函数方程，形如,这类双变量关系式，需要靠赋值、换元推导奇偶、周期、单调性。解题思路：①赋值优先令求；令判断奇偶；令递推；②判断单调性：构造，作差判断正负；③写满足条件的抽象函数：先找原型函数，再检验全部条件。 1.（2026届·福建福州· 3月质检）已知函数的定义域为，且，，则（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 2.（2026届· 四川自贡· 三模）已知函数的定义域为，，，，且，则（   ） A． B． C． D． 3.（2026届· 广东东莞· 二模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________. ①；②任意，都有；③是偶函数. 4.（2026届· 浙江宁波· 二模）（多选）定义在上的函数满足：，则（    ） A． B． C． D． 5.（2026届·山东淄博· 一模）已知函数的定义域为，，且，，则的最小值为（   ） A．9 B．12 C．16 D．18 6.（2026届·山东名校联盟· 2月评估）已知奇函数的定义域为，对于任意的正数，都有，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 题型四：两个函数的问题 题型分析：题干同时给出两个抽象函数，给出二者之间的关系式，再叠加奇偶、对称、周期条件，注意区分一个函数自身对称和两个函数互相之间的对称关系。解题步骤：①把题目给的等式当作方程组，做换元替换成，联立消元，分别求出的关系式；②分别推导的奇偶、周期、对称轴，再推导的性质。 1.（2026届· 广东中山· 二模）（多选）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 2.（2026届· 湖南省联考· 期末）（多选）已知，均为奇函数，是奇函数，是偶函数，且当时，，则 A. B. 对任意， C. 当且仅当时， D. 3.（2026届·湖北部分州市· 一模）（多选）已知，都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．若，则 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $