江苏省常州高级中学2026-2027学年高三上学期7月阶段检测数学试题

江苏省常州高级中学2027届高三 数学试卷答案与评分标准 一、选择题： 1．A 2．D 3．D 4．B 5．C 6．C 7．B 8．A 二、选择题： 9．ABC 10．BCD 11．BD 三、填空题： 12． 13． 14． 四、解答题： 15．解：（1），所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，则， ，从而， 所以既不是奇函数也不是偶函数． 6分 （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， ，因为，所以实数的取值范围为． 13分 16．解：（1）由及正弦定理，得， 即， 2分 因为，所以， 所以， 化简得，而，所以， 5分 又，所以； 7分 （2） 因为在的垂直平分线上，所以， 因为，所以，即， 在中，，所以，，， 在中，，，，， 因为， 所以，即①， 在中，由，得，即②， 将②代入①中，得，即，解得，所以， 因为，所以，所以． 15分 17． 解：（1）证明：取的中点，连接，． 在四棱台中，四边形是梯形，，， 又点，分别是棱，的中点，所以，且． 在正方形中，，，又，所以． 从而且，所以四边形是平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面； 6分 （2）在平面中，作于． 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面． 在正方形中，过作的平行线交于点，则． 8分 以为正交基底，建立空间直角坐标系． 因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以．易得，，，，，所以，，． 法1：设，所以． 设平面的法向量为，由，得，取， 10分 另取平面的一个法向量为． 11分 设二面角的平面角为，由题意得． 又，所以， 13分 解得（舍负），因此，． 所以当二面角的正弦值为时，的长为1． 15分 法2：设，所以． 设平面的法向量为，由，得，取， 10分 另取平面的一个法向量为． 11分 设二面角的平面角为，由题意得． 又，， 13分 解得或6（舍），因此． 所以当二面角的正弦值为时，的长为1． 15分 法3：在平面中，作，垂足为． 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以． 在平面中，作，垂足为，连接． 因为，，，，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，，所以是二面角的平面角． 10分 在四棱台中，四边形是梯形， ，，，点是棱的中点， 所以，．设，则，，在中，，从而．因为二面角的平面角与二面角的平面角互补， 且二面角的正弦值为，所以，从而． 所以在中，，解得或（舍）． 所以当二面角的正弦值为时，的长为1． 15分 18．解（1）定义状态概率：记，，，．由细菌分裂规则，得递推关系：，，， 初始条件：，，． 依次计算状态概率：，，因此． 4分 （2）依次计算相应概率：，，． 7分 由条件概率公式， ． 10分 （3）由数学期望定义，， 代入递推关系推导：，即为常数列． 15分 由，得． 17分 19．解：（1）因为，所以． 因为的图象在处的切线为， 所以解得 6分 （2）令函数，定义域为． 当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，由知在上单调递增， 又，且函数连续不间断， 所以，有． 8分 综上所述，函数在有唯一的零点，且在上恒小于零，在上恒大于零． 9分 令函数，讨论如下： ①当时，， 求导得． 因为，，所以， 即函数在单调增． 又因为， ， 所以函数在存在唯一的零点， 所以方程在上有唯一的零点． 13分 ②当时，． 法一：由（1）易证在上恒成立． 事实上，令，则． 因为，所以在上单调递增， 所以，即在上单调递增， 所以，即在上恒成立． 从而， 所以方程在上无零点． 16分 综上所述，方程有且只有一个实根． 17分 法二：因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以方程在上无零点． 16分 综上所述，方程有且只有一个实根． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州高级中学2027届高三 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知正态分布，若，则 A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知，，则 A． B． C． D． 4．已知向量，，，若，，共面，则 A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 5．当时，函数取得最大值，则 A． B． C． D． 6．已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为 A． B． C． D． 7．旅游博主小胡自驾出行东南亚，已知各地燃油价格高低不一，出行中小胡有两种加油方案：第一种，每次均加相同体积的燃油；第二种，每次均加相同总价的燃油，则下列说法正确的是 A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 8．已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球．记事件为“甲摸到红球”，事件为“乙摸到红球”，则下列说法正确的有 A．若摸球后放回，则 B．若摸球后不放回，则 C．若摸球后放回，则 D．若摸球后不放回，则 10．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有 A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 11．已知三条边的长度为连续的三个正整数，，，且最小角的余弦值为，则下列结论正确的有 A．是锐角三角形 B．的面积为 C．外接圆半径为 D．若是最大角，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的最小正周期为 ▲ ． 13．若函数（其中）为偶函数，则曲线在处的切线方程为 ▲ ． 14．设是自然对数的底数，已知幂函数的图象经过点，幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知函数，其中． （1）讨论函数的奇偶性； （2）当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 16．（本题满分15分） 在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）设边的垂直平分线交边于点．若，，求． 17．（本题满分15分） 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面，，点是棱的中点，点在棱上． （1）若，证明：平面； （2）若二面角的正弦值为，求的长． 18．（本题满分17分） 一生物实验室进行某种细菌培养实验，假定初始时该实验拥有1个该种活性细菌，每个活性细菌1分钟后分裂成2个细菌的概率为，死亡的概率也为，分裂生成的新细菌亦如此，当细菌数为0个或4个时，停止培养实验，之后细菌数不再发生变化．记第分钟后，该实验室拥有此种细菌数为． （1）求； （2）求； （3）求． 19．（本题满分17分） 已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）求实数，的值； （2）证明：方程有且只有一个实根． 学科网（北京）股份有限公司 $