25.3实际问题与一元二次方程（第1课时 代数数字、图形面积问题）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与一元二次方程”第1课时，核心内容为代数数字（连续整数、两位数）和图形面积（矩形、正方形）问题。课堂导入通过温故知新，联系已学的一元一次方程、二元一次方程组，搭建知识支架，引导学生建立新旧知识的脉络联系。 此导学案以自主学习与合作探究为特色，通过“数字/图形情境→等量关系→方程模型→求解→验证”过程，提升学生代数建模能力（模型意识）。几何问题借助图形分析培养几何直观，强调根的实际意义检验，发展推理能力。习题结合实际情境与中考真题，助力学生克服畏难情绪，提升解题严谨性与自信心。

25.3实际问题与一元二次方程 （第1课时 代数数字、图形面积问题）（导学案） （1）掌握连续整数、两位数数字问题的数量表示方法；熟练利用规则图形面积公式建立一元二次方程；完整掌握一元二次方程解应用题的六步流程，能根据整数属性、边长为正的实际条件检验并舍去不合理根. （2）经历“数字/图形情境→梳理等量关系→建立方程模型→运算求解→验证实际意义”的探究过程，提升文字信息转化、几何图形量化、代数建模的能力. （3）感受数学知识的关联性与实用性，体会数形结合的数学魅力，克服应用题畏难情绪，提升数学解题的严谨性与自信心. 重点：掌握连续整数、两位数数字问题的设元方法与等量关系构建；利用矩形、正方形面积公式建立一元二次方程，规范解题步骤. 难点：准确用代数式表示多位数、连续整数类未知量；复杂图形（留白、裁剪问题）中提炼“整体面积、局部面积”的隐性等量关系；结合整数、边长为正数的实际条件，精准取舍方程的两个根. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 前面我们学习了一元一次方程、二元一次方程(组)解决实际问题，同一元一次方程、二元一次方程(组)等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型，本节课继续讨论如何利用一元二次方程解决实际问题. 【学法指导】 新知自研：自研课本第20-21页的内容 【学法指导】自研课本P20-21页内容 （一）代数数字关系问题 活动1：已知两个连续正整数的乘积为132，求这两个连续正整数. 师生活动：引导审题：明确未知量为两个连续正整数，核心特征：后一个数比前一个数大1； 规范设元：设较小的正整数为x，则较大的正整数为x+1； 提炼等量关系：较小数×较大数=132； 列方程求解：x(x+1)=132，整理得x²+x-132=0，因式分解求解； 验根取舍：解得，结合正整数条件，舍去负根，得出答案. 活动2：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 学生交流讨论：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得x²+(x+1)²=(x+2)². 解方程，得(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. （二）几何图形面积问题 活动3：一个正方形的边长增加2cm，面积增加24cm²，求原正方形的边长. 师生探究： 审题分析：图形为正方形，边长变化引发面积变化，已知变化量、求原边长； 设元：设原正方形边长为xcm，则新正方形边长为(x+2)cm； 等量关系：新图形面积−原图形面积=增加的面积； 列方程求解：(x+2)²-x²=24，整理化简为一元二次方程并求解； 验根：边长为正数，舍去负根，规范作答. 活动4：用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m²的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 分析讨论: 假设细绳能围成面积为96m²的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.设矩形一边长为xm，由周长为40m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 独立解答:设矩形的一边长为rm，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为(20－x)m;由矩形的面积为96m²，得x(20-x)=96. 解方程，得. 因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m²的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m. 追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域? 学生讨论：符合实际意义，可以有一个满足条件的矩形. 思考：对于上述的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种.例如:(1)可设一边长为xm，那么其邻边长为m;(2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m.能根据以上设两邻边长的方法列方程求解吗?比较这些设法，说说它们各自的特点. 学生讨论，交流. （三）归纳列一元二次方程解决实际的通用步骤 活动5：师生共同归纳以上四个问题通用步骤： 审题意→巧设元→找等量→列方程→解方程→验实际→写答案. 典型例题 【自研自探】 自研课本P20-21页内容 例1：两个连续偶数的积为168，求这两个连续偶数. 【分析】连续偶数差值为2，设元可设x、x+2，且结果需为偶数，进一步细化验根标准. 【详解】解：设这两个连续偶数为x、x+2，根据题意得：x（x+2)=168 解得：. 所以这分别两个连续偶数为12、14或-12、-14. 例2.在一块长宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，如图（1）所示的是小明的设计方案，其中花园四周小路的宽度相等，通过解方程，小明得到小路的宽为或．如图（2）所示的是小颖的设计方案，其中在荒地中每个角上的扇形都相同． (1)你认为小明的结果对吗？为什么？ (2)你能帮小颖求出图（2）中的吗？（取，结果精确到0.1） (3)你还有其他设计方案吗？ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）按小明的思路，利用矩形的面积公式列方程，解答验证； （2）花园中每个角上的扇形相同，和在一起正好是一个圆，根据圆的面积公式列方程，进行解答，从而求出半径； （3）答案不唯一，符合要求即可． 【详解】（1）解：设小路的宽为，则 ， 解得：，或(舍去)． ∴，故小明的结果不对． （2）解：四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为， 故有， 解得：m（负值舍去）． （3）解：依此连结各边的中点得如图的设计方案． 第二环节 合作探究 1.讨论怎样表示两个连续正整数、三个连续正整数？两个连续偶（奇）数、三个连续偶（奇）数？ 2.讨论怎样计算几何图形面积？ 3.讨论列一元二次方程解决实际的通用步骤. 拓展提升：1.如图，某校准备一面利用墙，其余各面用篱笆围成一个矩形花辅．已知旧墙可用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的边长为x． (1)若围成的花圃面积为时，求的长； (2)如图，若计划将花圃面积围成，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为x． 根据题意得：, 则， 解得：， 当时，，时，， 墙可利用的最大长度为，故舍去． 答：的长为； （2）解：不能围成这样的花圃．理由如下： 依题意可知：， 即，， 所以方程无实数根， 答：不能围成这样的花圃． 课堂练习：课本P21随堂练习 1．(2025.来安校考)如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【详解】解：设最小数为，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， 故选：C． 2．（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为x m，根据题意可列方程（　　） A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40 C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝40 【解答】解：∵围栏的长度为24m，矩形的宽为x m， ∴矩形的长为（24﹣2x）m． 根据题意得：x（24﹣2x）＝40． 故选：A． 3．（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6 【解答】解：由题意可得，x（5﹣x）＝6， 故选：C． 4．（2025•威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【解答】解：设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形， 根据题意得：（20﹣4x）（14﹣4x）＝24×9， 整理得：2x2﹣17x+8＝0， 解得：x1，x2＝8（不符合题意，舍去）． 答：小路的宽度为m． 5．（2025.周口统考）如图，利用一面墙（长度不限），用长20米长的篱笆围成一个矩形场地，并在边上留出一个1米宽的门（不用篱笆），怎样围成一个面积为45平方米的场地？    【详解】设矩形的边长，则边． 根据题意，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当矩形场地的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为45平方米的场地． 1.知识技能：（1）数字问题：掌握连续整数（差1）、连续偶数（差2）、两位数数位的代数式表示方法，能根据“整数、正数”条件取舍方程根.（2）面积问题：熟练掌握正方形、矩形边长变化、留白裁剪问题的等量关系，依托面积公式建立一元二次方程.（3）通用技能：熟练掌握一元二次方程解应用题六步解题法，解题格式规范完整. 2.思想方法：（1）模型思想：将数字关系、几何面积的实际问题，抽象转化为一元二次方程代数模型.（2）数形结合思想：面积问题通过画图分析图形结构，直观梳理边长、面积等量关系，化几何问题为代数计算.（3）转化思想：文字情境、图形信息转化为代数式、方程，实现几何与代数的互通转化.（4）严谨验证思想：方程的数学解必须结合实际情境的取值限制筛选有效解. 3.易错提醒：（1）数字问题：设元错误，混淆连续整数、连续偶数的差值；忽略“整数、正数”要求，不舍去不合理根；两位数数值直接用数位数字代替，计算错误.（2）面积问题：图形边长增减分析错误，混淆单边、双边增减；误用面积公式，等量关系列写颠倒；默认所有方程解都有效，忽略边长为正数的硬性条件.（3）通用问题：解题步骤残缺，漏检验、漏作答、无单位，解题规范性不足. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3实际问题与一元二次方程 （第1课时 代数数字、图形面积问题）（导学案） （1）掌握连续整数、两位数数字问题的数量表示方法；熟练利用规则图形面积公式建立一元二次方程；完整掌握一元二次方程解应用题的六步流程，能根据整数属性、边长为正的实际条件检验并舍去不合理根. （2）经历“数字/图形情境→梳理等量关系→建立方程模型→运算求解→验证实际意义”的探究过程，提升文字信息转化、几何图形量化、代数建模的能力. （3）感受数学知识的关联性与实用性，体会数形结合的数学魅力，克服应用题畏难情绪，提升数学解题的严谨性与自信心. 重点：掌握连续整数、两位数数字问题的设元方法与等量关系构建；利用矩形、正方形面积公式建立一元二次方程，规范解题步骤. 难点：准确用代数式表示多位数、连续整数类未知量；复杂图形（留白、裁剪问题）中提炼“整体面积、局部面积”的隐性等量关系；结合整数、边长为正数的实际条件，精准取舍方程的两个根. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 前面我们学习了一元一次方程、二元一次方程(组)解决实际问题，同一元一次方程、二元一次方程(组)等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型，本节课继续讨论如何利用一元二次方程解决实际问题. 【学法指导】 新知自研：自研课本第20-21页的内容 【学法指导】自研课本P20-21页内容 （一）代数数字关系问题 活动1：已知两个连续正整数的乘积为132，求这两个连续正整数. 活动2：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? （二）几何图形面积问题 活动3：一个正方形的边长增加2cm，面积增加24cm²，求原正方形的边长. 活动4：用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m²的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域? 思考：对于上述的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种.例如:(1)可设一边长为xm，那么其邻边长为m;(2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m.能根据以上设两邻边长的方法列方程求解吗?比较这些设法，说说它们各自的特点. 学生讨论，交流. （三）归纳列一元二次方程解决实际的通用步骤 活动5：师生共同归纳以上四个问题通用步骤： 典型例题 【自研自探】 自研课本P20-21页内容 例1：两个连续偶数的积为168，求这两个连续偶数. 例2.在一块长宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，如图（1）所示的是小明的设计方案，其中花园四周小路的宽度相等，通过解方程，小明得到小路的宽为或．如图（2）所示的是小颖的设计方案，其中在荒地中每个角上的扇形都相同． (1)你认为小明的结果对吗？为什么？ (2)你能帮小颖求出图（2）中的吗？（取，结果精确到0.1） (3)你还有其他设计方案吗？ 第二环节 合作探究 1.讨论怎样表示两个连续正整数、三个连续正整数？两个连续偶（奇）数、三个连续偶（奇）数？ 2.讨论怎样计算几何图形面积？ 3.讨论列一元二次方程解决实际的通用步骤. 拓展提升：1.如图，某校准备一面利用墙，其余各面用篱笆围成一个矩形花辅．已知旧墙可用的最大长度为13m，篱笆长为24m，设垂直于墙的边长为x． (1)若围成的花圃面积为时，求的长； (2)如图，若计划将花圃面积围成，请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 课堂练习：课本P21随堂练习 1．(2025.来安校考)如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 2．（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为x m，根据题意可列方程（　　） A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40 C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝40 3．（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6 4．（2025•威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 5．（2025.周口统考）如图，利用一面墙（长度不限），用长20米长的篱笆围成一个矩形场地，并在边上留出一个1米宽的门（不用篱笆），怎样围成一个面积为45平方米的场地？    1.知识技能：（1）数字问题：掌握连续 、连续 、 的代数式表示方法，能根据“整数、正数”条件取舍方程根.（2）面积问题：熟练掌握 变化、留白裁剪问题的等量关系，依托 建立一元二次方程.（3）通用技能：熟练掌握一元二次方程解应用题 ，解题 . 2.思想方法：（1）模型思想：将数字关系、几何面积的实际问题，抽象转化为 模型.（2）数形结合思想：面积问题通过 ，直观 、 关系，化 计算.（3）转化思想： 的互通转化.（4）严谨验证思想： 必须结合实际情境的 有效解. 3.易错提醒：（1）数字问题：设 ，混淆连续整数、连续偶数的 ；忽略“ ”要求，不舍去 根；两位数 代替，计算错误.（2）面积问题：图形 错误，混淆 增减；误用面积公式，等量关系列写 ；默认所有 ，忽略 的硬性条件.（3）通用问题：解题 ， 、 、 ， 不足. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $