专项03 因式分解法 培优练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 以“原理-方法-应用”为主线，系统构建因式分解法解一元二次方程的方法体系，通过典型例题与易错点提炼，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识卡片|2个典型例题|核心原理（乘积为0）、四步解题步骤、分解方法（十字相乘等）、解题口诀|概念生成（定义）→原理推导（数学依据）→应用拓展（标准方程与实际问题）| |培优练习|单选5/填空6/解答7|结合例题强化因式分解技巧，通过辨析题巩固易错点（如丢根、实际意义取舍）|从基础计算到综合应用，覆盖方程求解与几何、代数综合题型|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专项03培优练习一因式分解法 第一部分：知识卡片 一、什么是因式分解法 因式分解法是解一元二次方程最简便、最快速的特殊解法。核心原理：若两个因式的乘积为0，则至 少其中一个因式为0。 数学原理：ab=0台a=0或b=0 解题核心：将一元二次方程ax2+bx+c=0左边多项式分解为两个一次因式的乘积，再分别令因式 为0，直接求出方程的根。 常用分解方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 适用条件：方程左边易于因式分解、右边为0，计算速度远快于配方法和公式法，是做题首选方法。 标准解题步骤： 1.移项：将方程所有项移到左边，使方程右边为0； 2.分解：将左边二次三项式因式分解，化为两个一次式乘积； 3.转化：令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程 4.求解：解一元一次方程，得到原方程的两个根。 二、典型例题1：因式分解法解一元二次方程 【例题1】用因式分解法解方程x2-5x+6=0 解题思路：本题为标准二次三项式，可直接使用十字相乘法因式分解。 解题步骤 1.观察方程：右边已经为0，无需移项； 2.十字相乘分解因式： x2-5x+6=(x-2)(x-3) 原方程化为：(x-2)(x-3)=0 3.根据“乘积为0则因式为0"列方程： x-2=0或x-3=0 试卷第1页，共7页 专项培优练习—因式分解法 4.解得： x1=2,X2=3 答案：x1=2,x2=3 三、典型例题2：因式分解法实际应用题 【例题2】一个矩形的长比宽多3cm,面积为28cm2,求该矩形的长和宽。 解题思路：根据面积公式列一元二次方程，利用因式分解法快速求解，结合实际舍去负数解。 解题步骤： 1.设未知数：设矩形的宽为xcm,则长为(x+3)cm。 2.根据矩形面积公式列方程： x(x+3)=28 3.整理为标准形式（右边为0）： x2+3x-28=0 4.因式分解（十字相乘)： (x+7)x-4)=0 5.求解方程： x+7=0或x-4=0 解得x1=-7,X2=4 6.结合实际意义取舍解： 矩形边长不能为负数，故舍去x=一7。 可得：宽x=4cm,长x+3=7cm 最终答案：矩形的宽为4cm,长为7cm。 四、核心易错点与解题口诀 1.常见易错点 ·必须右边先化为0，严禁直接拆分因式求解； 试卷第2页，共7页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 。 不可随意约去含未知数的因式，容易丢根； 实际应用题必须检验根的合理性，舍去负数、不符合题意的解。 2.解题口诀 移项归零先整理，因式分解是关键； 乘积为零因式零，两根直接快速解。 第二部分：培优练习 一、单选题 1.一元二次方程x(x-1)=0的解是() A.x=0 B.x=1 C.x=0或x=1 D.x=0或x=-1 2.方程x2=3x的解是() A.x1=x2=3 B.X=x2=0 C.x=3,x2=0 D.x=-3,x2=0 3.方程x(x-5)=x-5的根是（) A.x=x2=5B.x=0,x2=5 C.x=1,x2=5 D.x=0,x3=-5 4.已知直角三角形有两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则该直角三角形的斜边长是() A.10 B.27 C.10或8 D.10或2√7 5.已知一元二次方程2x(x+7)-10(x+7)=0的两根为a、b,且a>b,则a+2b=() A.-13 B.-9 C.4 D.-3 二、填空题 试卷第3页，共7页 专项培优练习—因式分解法 6.一元二次方程x2=2026x的根是 7.方程(2x+1)2+3(2x+1)=0的解为 8.方程x(x-1)=x的解是· 9.方程(x+1)(x-3)=x+1的解是 10.已知(x-1)(x+3)=0,则x-1的值为 ab 11.将4个数a、b、c、d排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义 e d =ad-bc,上述记号就叫 做-阶列式，+父1中=0，则 三、解答题 12.解方程： (1)x2-5x=0: (2)x(x-6)=2(x-6). 13.已知代数式x2+6x和x+6的值互为相反数，求x的值. 试卷第4页，共7页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.小明与小颖两位同学解方程5(x-2)=(x-2)的过程如图： 小颖： 小明： 移项，得5(x-2)-(x-2)2=0, 两边同除以(x-2), 提取公因式，得(x-2)(5-x-2)=0. 得5=x-2, .x-2=0或5-x-2=0. 解得x=7. 解得x=2,x2=3. (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程： (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如mx2=x的一元二次方程的一般解法. 15.在数学活动课上，老师出了一道一元二次方程的试题：“x2+4x+3=0”让同学们解答，甲、乙两位 同学的做法如下： 甲同学 乙同学 解：原方程可化为：（x+1)(x+3)=0, 解：原方程可化为：x2+4x=3, 当x+1=0时，解得x=-1, x2+4x+4=3+4, 当x+3=0时，解得x=-3, (x+2)}2=7, .x=-1,X2=-3. x+2=±万 x=7-2,x2=-7-2. 小组在交流过程中发现甲、乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的做法有误（填“甲”或“乙”） 并根据该同学使用的方法写出正确的解答过程. 试卷第5页，共7页 专项培优练习—因式分解法 16.根据多项式乘法可知(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解 的公式x2+(p+q)x+pg=（x+p)(x+q),比如：x2-5x-6=x2+(6+1)x+(6×1)=（x-6)(x+1).据此 回答下列问题： (1)将二次三项式x2+2x-3分解因式： (2)解一元二次方程x2-4x+3=0: (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程.如：3x2+x-2=0, 方程左边分解为(x+1)(3x-2)=0,从而可以快速求出方程的解. 请你利用此方法尝试解方程5x2+7x-6=0. 试卷第6页，共7页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题. 内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”.例 如，分解因式4x2-3xy-y2. 方法如下：拆两头，4x2拆为4x,x,-y2拆为y,-y, 4x 然后排列如下： 2 交叉相乘，积相加得-3xy,凑得中间项， 所以分解为4x2-3xy-y2=(4x+y)(x-y) (1)用因式分解法解方程4x2-5x+1=0. 内容2：小远准备完成题目：解分式方程：x。=2-。 发现数字◆印刷不清楚 x-33-x ②他把“◆”猫成5，请你解方程：2了 3- (3)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解.”通过计算说明原题中“◆”是几？ 试卷第7页，共7页专项培优练习——因式分解法 专项03 培优练习——因式分解法 第一部分：知识卡片 一、什么是因式分解法 因式分解法是解一元二次方程最简便、最快速的特殊解法。核心原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0。 数学原理： 解题核心：将一元二次方程 左边多项式分解为两个一次因式的乘积，再分别令因式为0，直接求出方程的根。 常用分解方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 适用条件：方程左边易于因式分解、右边为0，计算速度远快于配方法和公式法，是做题首选方法。 标准解题步骤： 1. 移项：将方程所有项移到左边，使方程右边为0； 2. 分解：将左边二次三项式因式分解，化为两个一次式乘积； 3. 转化：令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； 4. 求解：解一元一次方程，得到原方程的两个根。 二、典型例题1：因式分解法解一元二次方程 【例题1】用因式分解法解方程 解题思路：本题为标准二次三项式，可直接使用十字相乘法因式分解。 解题步骤： 1. 观察方程：右边已经为0，无需移项； 2. 十字相乘分解因式： 原方程化为： 3. 根据“乘积为0则因式为0”列方程： 或 4. 解得： 答案： 三、典型例题2：因式分解法实际应用题 【例题2】一个矩形的长比宽多3cm，面积为，求该矩形的长和宽。 解题思路：根据面积公式列一元二次方程，利用因式分解法快速求解，结合实际舍去负数解。 解题步骤： 1. 设未知数：设矩形的宽为 ，则长为 。 2. 根据矩形面积公式列方程： 3. 整理为标准形式（右边为0）： 4. 因式分解（十字相乘）： 5. 求解方程： 或 解得 6. 结合实际意义取舍解： 矩形边长不能为负数，故舍去 。 可得：宽 ，长 最终答案：矩形的宽为4cm，长为7cm。 四、核心易错点与解题口诀 1. 常见易错点 · 必须右边先化为0，严禁直接拆分因式求解； · 不可随意约去含未知数的因式，容易丢根； · 实际应用题必须检验根的合理性，舍去负数、不符合题意的解。 2. 解题口诀 移项归零先整理，因式分解是关键； 乘积为零因式零，两根直接快速解。 第二部分：培优练习 一、单选题 1．一元二次方程的解是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题用因式分解法解一元二次方程，利用“若两个数乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或． 2．方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 3．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 4．已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 【答案】C 【分析】先解一元二次方程，题目未说明给出的两条边都是直角边，需要分情况讨论，结合斜边是直角三角形最长边的性质计算即可． 【详解】解：， 因式分解得， 解得， 即直角三角形的两条边长为6和8， ∵直角三角形中斜边是最长边， ∴分两种情况讨论： ①当6和8均为直角边时，斜边长为； ②当8为斜边，6为直角边时，斜边长即为8； 综上，该直角三角形的斜边长为10或8． 5．已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 二、填空题 6．一元二次方程的根是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一解一元二次方程—因式分解法，利用因式分解法将原方程分解成两个一元一次方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴． 故答案为：． 7．方程的解为_____． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ，， ，． 8．方程的解是 _____． 【答案】 ， 【详解】解：原方程移项得， 提取公因式得，即， ∴或， 解得，. 9．方程的解是_______． 【答案】 【分析】移项后，运用因式分解法即可求得方程的解． 【详解】解：由， 可得， ， 即， 或， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 10．已知，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据因式乘积为的性质，若两个因式的乘积为，则至少有一个因式为，先求出的所有可能值，再代入计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴当时，，当时，， ∴的值为或． 11．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【答案】或 【分析】根据定义可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得或． 三、解答题 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原方程为 提取公因式得 可得或 解得， （2）原方程为 移项得 提取公因式得 可得或 解得， 13．已知代数式和的值互为相反数，求的值． 【答案】， 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 因式分解，得， 即或， 解得，． 14．小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 15．在数学活动课上，老师出了一道一元二次方程的试题：“”让同学们解答，甲、乙两位同学的做法如下： 甲同学 乙同学 解：原方程可化为：， 解：原方程可化为：， 当时，解得， ， 当时，解得， ， ∴，． ∴ ∴，． 小组在交流过程中发现甲、乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的做法有误（填“甲”或“乙”）______，并根据该同学使用的方法写出正确的解答过程． 【答案】乙， 正确解答过程为： ， ， ， ， ， ∴，． 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法和配方法熟练掌握因式分解法和配方法求解一元二次方程是解题的关键． 根据因式分解法对甲同学的解法进行判断；根据配方法对乙同学的解法进行判断．然后运用配方法求解即可． 【详解】甲同学用因式分解法求解，正确； ∵， ∴， ∴乙同学的做法错误． 故答案为：乙． 16．根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法进行分解即可； （2）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解； （3）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 或 ，； （3）解：， ， 或， ，． 17．阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题． 内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．例如，分解因式． 方法如下：拆两头，拆为，，拆为，， 然后排列如下：． 交叉相乘，积相加得，凑得中间项， 所以分解为． (1)用因式分解法解方程． 内容2：小远准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (2)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (3)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【答案】(1)， ， 或， 所以，； (2) (3) 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）方程去分母转化成一元一次方程，然后求解检验即可； （3）首先解方程得到，然后得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为； （3）解：设原题中“◆”是， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专项培优练习——因式分解法 专项03 培优练习——因式分解法 第一部分：知识卡片 一、什么是因式分解法 因式分解法是解一元二次方程最简便、最快速的特殊解法。核心原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0。 数学原理： 解题核心：将一元二次方程 左边多项式分解为两个一次因式的乘积，再分别令因式为0，直接求出方程的根。 常用分解方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 适用条件：方程左边易于因式分解、右边为0，计算速度远快于配方法和公式法，是做题首选方法。 标准解题步骤： 1. 移项：将方程所有项移到左边，使方程右边为0； 2. 分解：将左边二次三项式因式分解，化为两个一次式乘积； 3. 转化：令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程； 4. 求解：解一元一次方程，得到原方程的两个根。 二、典型例题1：因式分解法解一元二次方程 【例题1】用因式分解法解方程 解题思路：本题为标准二次三项式，可直接使用十字相乘法因式分解。 解题步骤： 1. 观察方程：右边已经为0，无需移项； 2. 十字相乘分解因式： 原方程化为： 3. 根据“乘积为0则因式为0”列方程： 或 4. 解得： 答案： 三、典型例题2：因式分解法实际应用题 【例题2】一个矩形的长比宽多3cm，面积为，求该矩形的长和宽。 解题思路：根据面积公式列一元二次方程，利用因式分解法快速求解，结合实际舍去负数解。 解题步骤： 1. 设未知数：设矩形的宽为 ，则长为 。 2. 根据矩形面积公式列方程： 3. 整理为标准形式（右边为0）： 4. 因式分解（十字相乘）： 5. 求解方程： 或 解得 6. 结合实际意义取舍解： 矩形边长不能为负数，故舍去 。 可得：宽 ，长 最终答案：矩形的宽为4cm，长为7cm。 四、核心易错点与解题口诀 1. 常见易错点 · 必须右边先化为0，严禁直接拆分因式求解； · 不可随意约去含未知数的因式，容易丢根； · 实际应用题必须检验根的合理性，舍去负数、不符合题意的解。 2. 解题口诀 移项归零先整理，因式分解是关键； 乘积为零因式零，两根直接快速解。 第二部分：培优练习 一、单选题 1．一元二次方程的解是（     ） A． B． C．或 D．或 2．方程的解是（） A． B． C． D． 3．方程的根是（     ） A． B． C． D． 4．已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 5．已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．一元二次方程的根是_________． 7．方程的解为_____． 8．方程的解是 _____． 9．方程的解是_______． 10．已知，则的值为________． 11．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 三、解答题 12．解方程： (1)； (2)． 13．已知代数式和的值互为相反数，求的值． 14．小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 15．在数学活动课上，老师出了一道一元二次方程的试题：“”让同学们解答，甲、乙两位同学的做法如下： 甲同学 乙同学 解：原方程可化为：， 解：原方程可化为：， 当时，解得， ， 当时，解得， ， ∴，． ∴ ∴，． 小组在交流过程中发现甲、乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的做法有误（填“甲”或“乙”）______，并根据该同学使用的方法写出正确的解答过程． 16．根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 17．阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题． 内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．例如，分解因式． 方法如下：拆两头，拆为，，拆为，， 然后排列如下：． 交叉相乘，积相加得，凑得中间项， 所以分解为． (1)用因式分解法解方程． 内容2：小远准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (2)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (3)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $