1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题讲义【知识清单+8大题型】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究距离与夹角这一核心知识点，系统梳理点到直线、点到平面等距离问题及线线、线面、面面夹角问题的向量解法，通过知识清单构建基础原理，典型例题按应用场景分类，形成从单一问题到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于典例设计覆盖全面，结合《九章算术》阳马、正方体等实例，培养学生数学眼光（空间观念）、数学思维（推理能力）与数学语言（模型表达）。课中辅助教师分层教学，课后检测助力学生查漏补缺，强化知识应用与问题解决能力。

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第一部分：知识清单 知识点1：用向量法求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点2：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 第二部分：典型例题汇总 典例一 异面直线夹角的向量的求法及其应用 典例二 线面角的向量的求法及其应用 典例三 面面角的向量求法及其应用 典例四 点到平面距离的向量求法及其应用 典例五 线面、面面距离的向量求法及其应用 典例六 点到直线距离的向量求法及其应用 典例七 异面直线距离的向量求法及其应用 典例八 空间线段点的存在性问题 第三部分：典型例题 典例一 异面直线夹角的向量的求法及其应用 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理和向量数量积、向量的模的公式进行计算即可. 【详解】因为点为中点，所以. 所以. 因为， 所以 . 由于 所以直线与直线所成角的余弦值为. 2．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 3．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线向量公式列方程求解即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图，    设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    【答案】 【分析】建系并标出点，设，，利用空间向量得坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 故答案为：. 典例二 线面角的向量的求法及其应用 5．（25-26高二下·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，，底面．    (1)求证：； (2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 【答案】(1)底面，且底面， 故， 又， 故， 平面，且， 则平面， 又平面， 故． (2) 【分析】（1）根据三棱锥的几何性质，利用线面垂直推出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，进而求出坐标，及平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出线面角的正弦值，进而得出正切值，结合二次函数的性质求出正切值的取值范围． 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    则， 点在上，设， 故，则， 故， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设直线与平面所成角为，则 ， ， 令， ，故， 故，当时取最小值， 当时取最大值． 6．（25-26高二下·天津南开·期末）如图，三棱锥中，平面平面，，，，为的中点，点满足． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值： (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)连接，. 因为，， 可知和是两个全等的等边三角形，则. 因为E为中点，所以，， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 而，则，所以. (2) (3) 【分析】（1）连接，，先证明，，可得平面，再由可得，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）利用空间向量先求出点到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由，，可得，， 所以， 以E为原点，分别以，，方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系. 则，，，，， 则，，即，可得， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，即. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，即. 则点到平面的距离为， 而， 所以三棱锥的体积为. 7．（25-26高二上·江苏·期末）如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O． (1)求证：平面； (2)若，，直线与平面所成角的正弦值为，求实数m的值． 【答案】(1) ∵平面，平面，， ，，为中点，， 又平面平面平面，平面平面， 平面， 平面，， 又平面，平面． (2) 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，面面垂直的性质得到线线垂直，从而得到线面垂直； （2）空间内找到三条两两垂直直线，然后建立空间直角坐标系，写出点坐标即可得向量坐标，利用向量的数量积求平面的一个法向量，由向量的数量积得线面角的正弦值，由题意建立方程，解得的值. 【详解】（1）略 （2）取中点E，连接，为的中位线， ，平面， 以所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立下图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则 即， 取， ∵， 设直线与平面所成角为， ∴， ∴，所以或，解得或（舍去）. 8．（25-26高二上·福建厦门·期末）在如图所示的多面体中，四边形为菱形.在梯形中，，，，平面平面. (1)证明：平面； (2)若，，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由. 【答案】(1) 因为平面平面，，平面，平面平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 又，平面，所以平面； (2)存在实数 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得线面垂直，即由线线垂直再证明线面垂直； （2）利用空间向量法来求线面角正弦值，通过方程来求解即可. 【详解】（1）略 （2）设，取中点，连接，得， 因为平面，所以平面， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为菱形，所以， 又因为，所以为等边三角形， 所以，. 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 则，即，取，可得，， 故， 设，由，得， 即，则. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，即或， 又，所以， 故存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为. 典例三 面面角的向量求法及其应用 9．（25-26高二下·河南新乡·期末）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)取的中点为，连接． 因为四边形是矩形，且点为的中点，所以，且， 又因为分别为的中点，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）取PA中点G，利用中位线和平行四边形证明，根据线面平行判定定理证明即可.      （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解平面与平面的夹角． 【详解】（1）略 （2）因为平面，四边形为矩形，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．    因为与底面所成角为，即，所以． 过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以． 又因为平面，平面，所以. 又因为平面，， 所以平面，平面，所以． 因为为中点，所以，即为等腰直角三角形，即。 又因为四边形是矩形，所以，所以，即． 设，则． 则， 设平面的法向量为， 则，即. 因为，即，则，令，则，所以； 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，所以． 设平面与平面的夹角为，则， 所以，即平面与平面的夹角为． 10．（25-26高二下·河北·期末）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，，，，是棱上的点. (1)若点为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明：如图，取的中点，连接，. 因为是棱的中点，所以且.        因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，则.     因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）平行四边形可得线线平行，由线面平行的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角的余弦，再换元后求范围即可. 【详解】（1）略. （2）取的中点，连接，. 因为是边长为2的等边三角形，所以，，. 因为，，为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，则，. 又，所以，所以. 又因为，所以平面.     以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，.     设，其中， 则. 设平面的法向量，所以，         令，得. 设平面的法向量，所以， 令，得.         设平面与平面的夹角为，则 ，.         令，则. 令，当时，，当时，， 所以，所以，所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为. 11．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为平面，平面，所以，如图建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，令其与垂直，即可求得的值； （2）根据线面角的向量求法，将与平面所成角的正弦表示成的函数，从而求得其取值范围； （3）根据平面与平面夹角的向量求法，列出相应的方程，求解可得的值. 【详解】（1）在平面中，过作的垂线，则平面， 因为平面，所以. 因为平面，，平面，所以，， 所以为二面角的平面角，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线，及直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，，， 设平面的一个法向量，则， 即. 令，得，，所以. 由，得， 由，得， 所以， 因为平面，所以， 所以， 解得. （2）因为，所以， 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，， 所以. 设与平面所成的角为，则 . 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立. 所以，即与平面所成角的正弦值的取值范围为. （3）由（1）知，所以. 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即， 解得. 12．（25-26高一下·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)设中点，连接， ，，，所以， 因为，所以有，则， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) (3)在棱上存在点，为上靠近的三等分点. 【分析】(1) 依托面面垂直性质得到高线，结合勾股逆定理证，证明垂直平面内两条相交直线，使用面面垂直判定定理完成证明； (2) 利用等体积转换，作为三棱锥的高，求出底面三角形面积后代入锥体体积公式直接计算； (3)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，平面，因为，所以， 则. （3）在棱上存在点，使得平面与平面的夹角为30°，为上靠近的三等分点.，证明如下： 由（1）得平面，因为平面，则， 过作的平行线，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意得，则, 因，则，故， 则， 设，由题可知， ， 设平面法向量为， 则，令，则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 因为平面与平面的夹角为30°， 所以， 化简得，即，又，则， 所以为上靠近的三等分点. 典例四 点到平面距离的向量求法及其应用 13．（25-26高二下·贵州遵义·期中）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． (1)证明：、、、四点共面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为空间内一组基底，根据空间向量线性运算结合空间向量共面基本定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，根据点到平面距离空间向量法计算即可. 【详解】（1）因为为非零向量且不共线， 所以可以作为空间内一组基底， 因为在侧棱上，， 所以， 同理可得， 因为为的中点，所以， 因为, 所以共面，即、、、四点共面； （2）以点为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 14．（2026高三·全国·专题练习）三棱柱中，平面，，是棱的中点，． (1)证明：； (2)设，的中点为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中，利用勾股定理的逆定理可得．结合，可得平面．由线面垂直的性质定理即可得证； （2）先证明平面，可得，，两两垂直，然后建立空间坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）如图所示，由题设知，三棱柱的侧面为矩形． 由于为的中点，故． 又， 可得 ， 所以． 又因为，， 所以平面． 因为平面， 所以． （2）由（1）可知， 又因为平面．平面, 所以， 又因为，平面，且， 所以平面， 所以，，两两垂直． 以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，，，，， 则，，． 设是平面的法向量， 则,即， 取，得． 设点到平面的距离为，则． 15．（25-26高二下·上海宝山·期中）如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，确定为直线与平面所成的角，即可求解； （2）建系，由点到面的距离公式即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为正四棱锥， 所以平面． 故为直线与平面所成的角． 在正方形中，，则对角线． ．在Rt中，． 即直线与平面所成角的正弦值为 （2） 以为原点，方向分别为轴． 由（1）知． 则． 为中点，故． 向量． 设平面的法向量为． 令，得．故． 点到平面的距离： 16．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PMN的法向量，由求解. 【详解】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，可得. 因为， 所以点A到平面PMN的距离. 典例五 线面、面面距离的向量求法及其应用 17．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 18．（25-26高二下·全国·专题训练）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量公式求解即可； （2）求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解即可； （3）利用直线到平面距离的向量公式求解即可； （4）求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，    则、、、，、、 、、， 所以，， 设是与，都垂直的向量， 则，即，即，令得， 选与的两点向量为， 得与的距离. （2），设为平面的法向量，则， 即，即，令得， 选点到平面两点向量为， 由公式得：点到平面的距离. （3）由（2）可知：平面的法向量可设， 设与平面的两点向量为， 故直线到平面的距离. （4），， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为， 故平面与平面的距离为. 19．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（    ）    A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 【答案】C 【分析】根据线线平行、异面直线所成角、几何体体积、面面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于四边形是矩形，所以， 由于，平面，所以平面， 由于平面平面，所以平面. 由于平面，所以， 由于，所以平面，由于平面， 所以，同理可证得， 所以, 所以四边形是平行四边形，所以，，A选项正确. 由于，所以异面直线、所成的角为（或其补角）， 由于，所以三角形是等边三角形，所以， 即异面直线、所成的角为，B选项正确. 将几何体补形为正方体，如下图所示， 所以，C选项错误. 由上述分析可知，由于平面，平面， 所以平面.同理可证得平面， 由于，所以平面平面. 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可设， ，平面与平面间的距离，即到平面的距离， 所以距离为，D选项正确. 故选：C    20．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      典例六 点到直线距离的向量求法及其应用 21．（25-26高一下·四川成都·期中）四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，由向量关系求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则，所以， 所以点到直线的距离为. 22．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式即可求解； （2）求出平面的一个法向量，然后利用线面角的向量公式即可求解. 【详解】（1）根据题意，平面，， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为： ，由中点坐标得， 向量，，设点到直线的距离为， 则. （2）直线的方向向量取，设平面的法向量为， 由,取得， 设直线与平面所成角为， 则. 23．（2026·四川攀枝花·二模）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 【答案】(1) 在中，，，， 由余弦定理，， 即. 由， 所以为直角三角形，且. 在中，，，， 因为，所以为直角三角形，且， 由平面，，所以平面. 由平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，，再利用线面垂直的判定定理证明平面，最后利用面面垂直的判定定理证明平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】（1）略 （2）以的中点为原点，所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴， 以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则， 令，则，，此时. 因为，设（）， 则. 因为，，， 由， 又，所以. 所以. 因为，，， 所以点到直线的距离为：. 24．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形．侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点． (1)证明：平面ACE⊥平面PCD． (2)求二面角E－AC－D的余弦值． (3)求点D到平面PAC的距离． 【答案】(1) 如图所示，取中点，连接，因为为正三角形，故. 又平面平面，交线为，平面，故平面. 以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，为中点， 故. 所以，，， ，故； ，故. 因为，且平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量关系证明和的垂直，进而证明面面垂直； （2）求解平面和平面的法向量，进而求解二面角夹角余弦值； （3）求平面的法向量和，结合点到面的距离公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）平面即为底面，取其一个法向量. 设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即. 所以. 又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即. ，由点到平面距离公式可得：， 所以点到平面的距离为. 典例七 异面直线距离的向量求法及其应用 25．（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据空间向量基本定理，利用基底表示各向量，再结合向量垂直的数量积表示，可得证. （2）直线平面，直线平面，求出平面的法向量，进而求出异面直线的距离. 【详解】（1）取空间向量的一个基底，则，， 且，， ， 因此， 即，所以直线直线. （2）由（1）得，， 由和是异面直线，令直线平面，直线平面， 设是平面的法向量，则，且， 即，取，得， ， ， 异面直线与间的距离即在上投影向量的模长， 所以异面直线与间的距离为. 26．（25-26高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【详解】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 27．（25-26高二上·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为_________. 【答案】/ 【分析】连接，，设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 求出与，都垂直的向量为，利用即可求. 【详解】    连接，，设， 由题意，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，. 设与，都垂直的向量为， 则，即， 令，则，， 所以为与，都垂直的一个向量， 则线段的长度的最小值为. 故答案为： 28．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，把异面直线的距离问题转化为点到直线的距离求解，利用向量来求解点到直线的距离，利用二次函数的性质求解最小值，即可得到答案． 【详解】解：因为平面，，， 故以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 因为，，， 则，，，， 所以， 设，， ， 距离， 因为， 故 所以异面直线与之间的距离， 故选：A． 典例八 空间线段点的存在性问题 29．（2026高二上·广东东莞·专题练习）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点. (1)求平面和平面所成角的余弦值. (2)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）设，求得，根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题知，，在图2中，是平面内的相交直线， 所以平面，且为二面角的平面角，所以， 以为原点，过点在平面内作垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. （2）解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（1）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 30．（25-26高二上·北京·期末）如图1，在中，分别为边的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面与平面的夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 证明：因为分别为的中点，所以， 又因为，所以，所以， 因为，且，平面， 所以平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题意，证得，得到，再由，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）假设存在实数，转化为平面和平面的夹角的余弦值为，由（2）得，得到，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：因为，所以两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. （3）解：假设存在实数，使得平面和平面的夹角的正弦值为， 即使得平面和平面的夹角的余弦值为， 由（2）得， 所以， 由平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 则有， 即，整理得，解得或， 因为，所以， 所以存在，即，使得平面和平面的夹角的正弦值为. 31．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 连接,连接， 四边形为正方形，为中点，为BC的中点，， 平面，平面，平面； (2) (3) 假设在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设， ，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 则点到平面的距离为， 解得，或（舍）， 在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，进而利用线面角的向量方法即可求解； （3）假设存在点，设，再利用点到平面的距离为即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，的中点，连接，， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， 两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为； （3）略 32．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，．    (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． ①求二面角的大小； ②棱上是否存在点，使得直线与平面所成角为?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：平面． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)连接AC，因PA⊥平面ABCD，AC、CD⊂平面ABCD， 则且，即为直角三角形， 又，，则由勾股定理得， 在中，，且， 所以，为等腰直角三角形，也就是， 又因为，所以得平面.    (2)①；②存在点，且. 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理（一条直线垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直）即可； （2）合理建立空间直角坐标系，①求两个平面的法向量，计算法向量夹角；②设在上的参数坐标，利用线面角公式列方程求解. 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系（以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，为与轴的交点）， 所以得，，，，.    由条件①：，，，可得 由条件②：平面，得，又因为，所以，也可得. 向量，，设， 有：，代入向量坐标：，取. 向量，，设， 同理列方程：，代入向量坐标：，取. 法向量夹角. 故二面角的大小为（即）. 设的坐标，则， 所以， 化简得，解得有效. 因此， 故存在点，且 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直三棱柱的所有棱长均为2，且，分别为，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出，再利用公式求出即可. 【详解】    由题意得，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 直三棱柱的所有棱长均为2， 则， ， . 故选：B. 2．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立恰当的空间直角坐标系，根据直线与平面所成角的向量求法求解. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则. 所以. 设平面的一个法向量为， 则，所以. 令，则. . 所以直线与平面所成的角的正弦值是. 故选：C.    3．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）在三棱锥中，分别是棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当三棱锥的体积最大时，平面平面，取中点，连接，，则 ，，从而建立空间直角坐标系，利用向量求出二面角的余弦值即可. 【详解】在三棱锥中，， 分别是棱的中点， 当三棱锥的体积最大时，平面平面， 如图：取中点，连接，，则 ，， 平面平面，平面平面，，平面， 则平面， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 所以设平面的一个法向量为 则，即，令，则，， 故， 设平面的一个法向量为 则，即，令，则，， 故， 所以. 由图知，二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为. 故选：C. 4．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为平面的一个法向量，， 则，即，故可取， 则，因， 则点到平面的距离． 5．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）空间内有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出与，即可得，与，根据点P到直线EF的距离为，即可求解. 【详解】因为，所以， .所以，， 点P到直线EF的距离为. 故选：B.. 6．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法不正确的是（ ） A．与垂直 B．是异面直线与的公垂线段， C．异面直线与所成的角为 D．异面直线与间的距离为 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量逐项分析. 【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立如下图所示坐标系： 则： ， ， 设 ， 则有： ， 又 ， 解得 ， ， ， ， 同理可得 ； 对于A， ， ， ，故A正确； 对于B， ， ， 即，又， 故是异面直线与的公垂线段，故B正确； 对于C，设 与 所成的角为 ，则 ， ，，故C错误； 对于D，由B知 是 与 的公垂线段， ，故D正确； 故选：C. 7．（25-26高一上·重庆·期末）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 故选：B. 8．（25-26高二上·安徽黄山·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得，， ， ， 又平面， ，，解得. 故选：C. 9．（2026·河南开封·模拟预测）（多选）已知四棱锥的底面是矩形，且点P在底面上的射影恰为的中点，E，F分别为，的中点，则（    ） A．平面 B． C．当时， D．当是边长为的等边三角形时，四棱锥的体积为 【答案】ACD 【分析】对于A，可以通过三角形的中位线来证明线线平行，再证明线面平行；对于BCD，可以通过建立坐标系结合选项条件，运用坐标运算进行判断. 【详解】设的中点为，连接，，由题意， 平面. 对于A：因为底面是矩形，所以也是的中点，连接， 在中，分别为的中点，所以是的中位线，则， 又因为 平面， 平面，所以 平面，故A正确； 以为原点，过且平行于的直线为轴，过且平行于的直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 为中点，则,为中点，则, 对于B：，， 则，仅当即底面为正方形时，，即，故B错误; 对于C：当时，即，所以，，, ，将代入得，所以，故C正确； 对于D：当是边长为的等边三角形时，,， . . 由和解得，即， 代入得，解得，则， 代入得，解得，. 此时底面边长为，高为， 四棱锥的体积，故D正确. 10．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）如图，平面ABCD，，，，，，，则（    ） A． B．平面ADE C．平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可. 【详解】对于A，根据题意可知，平面ABCD， 不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 对于B，依题意，是平面的一个法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 对于C，设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 所以平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，设直线与平面所成角为，而， 则，故D错误. 11．（2026·江苏南京·一模）在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】/ 【分析】结合题意进而建立空间直角坐标系，进而利用异面直线夹角的向量求法求解即可. 【详解】作，因为，所以是的中点， 过作，由直三棱柱性质得面， 如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，所以，由勾股定理得， 则，，，， 可得，， 设异面直线与所成角为， 则. 12．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. 【答案】 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.    因为点是棱的中点，所以. 设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即，即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 13．（Z20?名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2027届高三第一次学情诊断数学试题）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，是的中点．    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)如图所示，取中点，连结，．由题意可知，，， 且，．故且，故四边形为平行四边形． ． ，平面，平面，平面 (2)1 【分析】小问（1）在平面内找到一条平行于的直线，再运用线面平行的判定定理； 小问（2）运用几何法或建立空间直角坐标系将四棱锥的高即的长度求出，再运用四棱锥的体积公式即可. 【详解】（1）略 （2）（法一）取中点O，连结，，，，    ， 由题意可知，平面，平面， 因此，而，，平面， 平面． 故平面，则为直线与平面所成角 即，故，而， 故． 四棱锥的体积； （法二）由题意可知，平面且， 以点A为坐标原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系． 则各点坐标，，，，，，    平面的法向量为，，设直线与平面所成角为θ， 则，解得， 同理． 14．（26-27高三上·浙江·开学考试）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，侧面为正三角形，平面平面，且，为的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的正弦值． (3)在线段上是否存在点，使、、三点在以点为球心的球面上？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)因为，，则， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 取的中点，连接、， 平面，， 在正三角形中，， 又，、平面，平面， 是中点，是的中点，，， ，，，， 四边形是平行四边形，，平面. (2) (3)在线段上不存在点满足条件，理由如下： 假设在线段上存在点满足条件，设， 由（2），，， 则，， 由得 ，无解， 即在线段上不存在满足条件的点． 【分析】（1）取的中点，连接、，先证明平面，再证得，即可证得平面； （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用二面角的向量求法可求得结果； （3）假设在线段上存在点满足条件，设，由，列方程组，无解，即在线段上不存在满足条件的点． 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接， 在正三角形中，， 面面，面面，平面， 面， 以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面和平面的一个法向量分别为， 由，得，取，得， 由，得，取，得， 则， 则二面角的正弦值为． （3）略 15．（25-26高二下·陕西商洛·期末）在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，． (1)求四棱锥的体积． (2)若为的中点，点满足，证明：平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明：过点作，交于点，连接． 因为，所以．因为为的中点，，所以．    又，所以四边形是平行四边形，则． 因为平面，平面，所以平面，     同理可证平面．    因为，所以平面平面． 因为平面，所以平面． (3) 【详解】（1）解：因为梯形的面积， 所以四棱锥的体积． （2）略 （3）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 设平面的法向量为． 由，得， 取，则． 易知平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． 16．（2026·江苏盐城·三模）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，， ，平面平面， (1)证明：； (2)若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：如图，作出符合题意的图形， 取的中点，连接. 在梯形中，，，， 四边形为平行四边形，又，， 四边形为正方形，，， ，， ，. 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，. 在梯形中，，且，必然相交. 又，平面，平面， 平面，； (2) 【分析】（1）先证明平面，从而得到，再证明平面，即可证明； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，根据点到平面的距离，确定点的位置，进而确定平面的法向量，设直线与平面所成的角为，再根据线面角的向量求法计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）如图，作出符合题意的图形， 由（1）知平面，且，所以以为原点， 所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. ，，，. 设，则， ，则. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，. 设点到平面的距离为， 则， 两边同时平方可得，整理可得，解得， 此时点是线段的中点，，取. 设直线与平面所成的角为， 则. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第一部分：知识清单 知识点1：用向量法求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点2：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 第二部分：典型例题汇总 典例一 异面直线夹角的向量的求法及其应用 典例二 线面角的向量的求法及其应用 典例三 面面角的向量求法及其应用 典例四 点到平面距离的向量求法及其应用 典例五 线面、面面距离的向量求法及其应用 典例六 点到直线距离的向量求法及其应用 典例七 异面直线距离的向量求法及其应用 典例八 空间线段点的存在性问题 第三部分：典型例题 典例一 异面直线夹角的向量的求法及其应用 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________． 2．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    典例二 线面角的向量的求法及其应用 5．（25-26高二下·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，，底面．    (1)求证：； (2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 6．（25-26高二下·天津南开·期末）如图，三棱锥中，平面平面，，，，为的中点，点满足． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值： (3)求三棱锥的体积． 7．（25-26高二上·江苏·期末）如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O． (1)求证：平面； (2)若，，直线与平面所成角的正弦值为，求实数m的值． 8．（25-26高二上·福建厦门·期末）在如图所示的多面体中，四边形为菱形.在梯形中，，，，平面平面. (1)证明：平面； (2)若，，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由. 典例三 面面角的向量求法及其应用 9．（25-26高二下·河南新乡·期末）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角． 10．（25-26高二下·河北·期末）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，，，，是棱上的点. (1)若点为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 11．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 12．（25-26高一下·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 典例四 点到平面距离的向量求法及其应用 13．（25-26高二下·贵州遵义·期中）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． (1)证明：、、、四点共面； (2)若，求点到平面的距离． 14．（2026高三·全国·专题练习）三棱柱中，平面，，是棱的中点，． (1)证明：； (2)设，的中点为，求点到平面的距离． 15．（25-26高二下·上海宝山·期中）如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 16．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 典例五 线面、面面距离的向量求法及其应用 17．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 18．（25-26高二下·全国·专题训练）已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 19．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论错误的是（    ）    A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 20．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 典例六 点到直线距离的向量求法及其应用 21．（25-26高一下·四川成都·期中）四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 23．（2026·四川攀枝花·二模）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 24．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形．侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点． (1)证明：平面ACE⊥平面PCD． (2)求二面角E－AC－D的余弦值． (3)求点D到平面PAC的距离． 典例七 异面直线距离的向量求法及其应用 25．（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 26．（25-26高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 27．（25-26高二上·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为_________. 28．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 典例八 空间线段点的存在性问题 29．（2026高二上·广东东莞·专题练习）如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点. (1)求平面和平面所成角的余弦值. (2)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 30．（25-26高二上·北京·期末）如图1，在中，分别为边的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面与平面的夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 31．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 32．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，．    (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． ①求二面角的大小； ②棱上是否存在点，使得直线与平面所成角为?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：平面． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直三棱柱的所有棱长均为2，且，分别为，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值是（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）在三棱锥中，分别是棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）空间内有三点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法不正确的是（ ） A．与垂直 B．是异面直线与的公垂线段， C．异面直线与所成的角为 D．异面直线与间的距离为 7．（25-26高一上·重庆·期末）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 8．（25-26高二上·安徽黄山·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（    ） A． B． C． D． 9．（2026·河南开封·模拟预测）（多选）已知四棱锥的底面是矩形，且点P在底面上的射影恰为的中点，E，F分别为，的中点，则（    ） A．平面 B． C．当时， D．当是边长为的等边三角形时，四棱锥的体积为 10．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）如图，平面ABCD，，，，，，，则（    ） A． B．平面ADE C．平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 11．（2026·江苏南京·一模）在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 12．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. 13．（Z20?名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2027届高三第一次学情诊断数学试题）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，是的中点．    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 14．（26-27高三上·浙江·开学考试）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，侧面为正三角形，平面平面，且，为的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的正弦值． (3)在线段上是否存在点，使、、三点在以点为球心的球面上？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 15．（25-26高二下·陕西商洛·期末）在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，． (1)求四棱锥的体积． (2)若为的中点，点满足，证明：平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 16．（2026·江苏盐城·三模）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，， ，平面平面， (1)证明：； (2)若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是，求直线与平面所成角的正弦值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $