1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

**基本信息** 聚焦空间向量工具，系统训练点、线、面间距离求解，以坐标系构建和法向量应用为核心方法链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|坐标法建系→向量表示→距离公式（点线距用向量模与投影，点面距用法向量）|空间向量概念→坐标运算→距离公式推导→基础几何体应用| |综合运用|5题|动态距离（动点最值）、存在性问题转化为向量方程求解|距离公式拓展→复杂几何体（正四棱锥、三棱柱）→跨模块综合（几何证明与计算）|

第一课时　用空间向量研究距离问题 （时间：60分钟　满分：106分） ［备注：单选、填空题5分，多选题6分］ 1.若O为坐标原点，=（1，1，－2），=（3，2，8），=（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（　　） A． B．2 C． D． 2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=a，AA1=2a，则点D1到直线AC的距离为（　　） A．a　 B．　　 C．　 D． 3.（2026•江门月考）已知平面α的一个法向量为n=（－2，－2，1），点A（－1，3，0）在平面α内，若点P（－2，1，z）到α的距离为，则z=（　　） A．16　 B．－4　　 C．4或－16　 D．－4或16 4.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A=5，AB=12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是（　　） A．5　 B．8　　 C．　 D． 5.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D间的距离是（　　） A．　 B．　　 C．　 D． 6.〔多选〕已知点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s=（1，－1，1）的直线l的距离为，则点M的坐标是（　　） A．（0，0，－3）　 B．（0，0，3） C．（0，0，）　 D．（0，0，－） 7.〔多选〕如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A．=（1，0，1） B．平面OBB1的一个法向量为n=（0，1，－1） C．A1C⊥平面OBB1 D．点A到平面OBB1的距离为 8.已知直线l的方向向量为n=（1，0，2），点A（0，1，1）在直线l上，若点P（1，a，2）到直线l的距离为，则a=　　　　． 9.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，如图，已知在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为　　　　． 10.（13分）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，AB=BC=BP=3，CF=CP，DE=DA． （1）证明：直线EF∥平面ABP； （2）求点P到平面ADF的距离． 11.在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D=0（A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零），点P（x0，y0，z0）到平面α的距离d=，则在底面边长与高都为2的正四棱锥P－EFGH中，底面中心O到侧面PEF的距离d=（　　） A．　 B．　　　 C．2　 D．5 12.〔多选〕如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，则下列说法正确的有（　　） A．AC⊥PB B．点C到直线PA的距离为2 C．直线AB到平面PDC的距离为2 D．点D到平面PBC的距离为 13.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为　　　　． 14.（15分）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点． （1）求直线FC1到直线AE的距离； （2）求直线FC1到平面AB1E的距离． 15.（15分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，AA1B1B为矩形，AB=3，BC=5. （1）证明：AA1⊥平面ABC； （2）在线段BC上是否存在点P，使得点P到平面A1C1B的距离为2？若存在，求BP的值；若不存在，请说明理由． 第一课时　用空间向量研究距离问题 1.D　∵=（＋）=（4，3，6）=，=（0，1，0），∴=－=，∴||= =． 2.D　如图，建立空间直角坐标系，易得C（a，a，0），D1（0，a，2a），取a==（－a，0，2a），u==（，，0），则点D1到直线AC的距离为==a． 3.C　由点A（－1，3，0）在平面α内，点P（－2，1，z），可得=（－1，－2，z）．因为平面α的一个法向量为n=（－2，－2，1），且点P（－2，1，z）到α的距离为，所以=，即=，解得z=4或z=－16．故选C． 4.C　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，12，0），D1（0，0，5）．设B（x，12，0）（x＞0），则B1（x，12，5）．设平面A1BCD1的法向量为n=（a，b，c），由n⊥，n⊥，得n•=（a，b，c）•（－x，0，0）=－ax=0，n•=（a，b，c）•（0，－12，5）=－12b＋5c=0，所以a=0，b=c，所以可取n=（0，5，12）．又=（0，0，－5），所以点B1到平面A1BCD1的距离为=．因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为． 5.A　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），C1（1，1，1）．设平面AB1C的法向量为m=（x1，y1，z1），=（1，0，1），=（1，1，0），由取x1=1，可得m=（1，－1，－1）．设平面A1C1D的法向量为n=（x2，y2，z2），=（0，－1，1），=（1，0，1），由取x2=1，可得n=（1，－1，－1）．因为m=n，平面AB1C与平面A1C1D不重合，故平面AB1C∥平面A1C1D，=（0，1，0），所以平面AB1C与平面A1C1D间的距离为d===． 6.AB　设M（0，0，m），则=（0，0，m），又直线l的方向向量为s=（1，－1，1），所以点M与直线l的距离d===，所以m=±3，则M（0，0，3）或M（0，0，－3）．故选A、B． 7.BCD　由题意得O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，－1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），所以=（1，1，1），故A不正确；=（1，0，0），设平面OBB1的法向量为n=（x，y，z），则令y=1，得n=（0，1，－1），故B正确；=（0，1，－1）=n，所以A1C⊥平面OBB1，故C正确；连接OA（图略），=（0，－1，0），则点A到平面OBB1的距离d===，故D正确，故选B、C、D． 8.0或2　解析：由题意得=（1，a－1，1），所以•n=1＋0＋2=3，|n|==，所以点P到直 线l的距离为==，解得a=0或a=2. 9.　解析：以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图，则B（0，0，0），A（2，0，0），P（2，0，2），C（0，2，0），由M为PC的中点可得M（1，1，1），=（1，1，1），=（2，0，0），=（2，0，2）．设n=（x，y，z）为平面ABM的一个法向量，则即令z=－1，可得n=（0，1，－1），点P到平面MAB的距离d==． 10.解：（1）证明：由题意知BA，BC，BP两两垂直，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（3，0，0），C（0，3，0），D（3，3，0），P（0，0，3）． 由CF=CP，得=， 解得F（0，2，1），同理E（3，2，0）， 所以=（－3，0，1），显然平面ABP的一个法向量为n=（0，1，0），•n=0且EF⊄平面ABP，故直线EF∥平面ABP． （2）设平面ADF的法向量为n1=（x，y，z）， 且=（0，3，0），=（－3，－1，1）， 由得 取x=1，则y=0，z=3， 所以n1=（1，0，3），又=（－3，0，3）， 所以点P到平面ADF的距离为d==． 11.B　以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则O（0，0，0），E（1，1，0），F（－1，1，0），P（0，0，2）．设平面PEF的方程为Ax＋By＋Cz＋D=0，将E，F，P三点的坐标代入计算得A=0，B=－D，C=－D，所以方程可化为－Dy－Dz＋D=0，即2y＋z－2=0，所以d==． 12.BD　取AD的中点为E，连接PE．因为PA=PD，所以PE⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面ABCD=AD，所以PE⊥平面ABCD．以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，4，0），C（－2，4，0），D（－2，0，0），P（0，0，2），所以=（－4，4，0），=（2，4，－2），所以•=－8＋16=8≠0，所以AC不垂直于PB，故A中说法错误；=（2，0，－2），=（－2，4，－2），所以点C到直线PA的距离d1==2，故B中说法正确；=（0，－4，0），设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），则 即令z=1，得x=－，所以n=（－，0，1），则点A到平面PDC的距离d2===2，又=，AB⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，故AB∥平面PCD，所以直线AB到平面PDC的距离为2，故C中说法错误；设平面PBC的法向量为m=（a，b，c），则即令c=2，得b=，所以m=（0，，2），所以点D到平面PBC的距离d3===，故D中说法正确． 13.　解析：如图，在平面ABC内过点A作Ay⊥AB，显然射线AB，Ay，AA1两两垂直，以点A为原点，射线AB，Ay，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），B1（1，0，1），C1（，，1），所以=（1，0，1），=（－，，1），因为动点P在线段AB1上，则令=t=（t，0，t），0≤t≤1，即有点P（t，0，t），所以=（t－1，0，t），则||2=（t－1）2＋t2=2t2－2t＋1，从而=（t＋1），因此点P到直线BC1的距离d= = = =≥， 当且仅当t=时取等号，所以线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为． 14.解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1（1，1，1），E（0，0，），F（1，1，），C1（0，1，1），A（1，0，0）． （1）因为=（－1，0，），=（－1，0，）， 所以∥，即AE∥FC1， 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离． 取u==（－，0，），又=（0，1，）． 所以2=，•u=， 所以直线FC1到直线AE的距离为=． （2）因为AE∥FC1，所以FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离． =（1，0，0），=（0，1，1），设平面AB1E的法向量为n=（x，y，z），则即取z=2，可得n=（1，－2，2）， 所以点C1到平面AB1E的距离为=， 所以直线FC1到平面AB1E的距离为． 15.解：（1）证明：因为AA1C1C是正方形，AA1B1B为矩形， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，且AB，AC⊂平面ABC，AB⋂AC=A， 所以AA1⊥平面ABC． （2）因为AB=3，AC=4，BC=5，所以AB⊥AC， 因此AB，AC，AA1两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图， 则有B（0，3，0），C（4，0，0）， A1（0，0，4），C1（4，0，4）， 所以=（4，－3，0），=（0，－3，4），=（4，－3，4）， 设平面A1C1B的一个法向量为m=（x，y，z）， 则有 即令y=4，则m=（0，4，3）， 假设在线段BC上存在点P，满足题设条件，设=λ，0≤λ≤1，则=＋=＋λ=（0，3，0）＋λ（4，－3，0）=（4λ，3－3λ，0）， 所以P（4λ，3－3λ，0），=（4λ，－3λ，0）， 所以点P到平面A1C1B的距离为d===2，解得λ=，满足题意， 故在线段BC上存在点P，使点P到平面A1C1B的距离为2，此时BP=BC=． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $