1.4.2 空间向量应用（二）用空间向量研究距离、夹角问题（知识解读）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《知识解读•题型专练》

本讲义聚焦空间向量在距离与夹角问题中的应用，系统梳理点到平面、平行平面、点到直线、异面直线的距离，以及异面直线所成角、线面角、二面角的向量求法原理与步骤，搭建从空间向量基本运算到实际应用的学习支架。 该资料以7类题型为核心，配套例题与变式，通过具体几何问题引导学生用数学眼光抽象空间关系，用数学思维推理向量运算逻辑，用数学语言规范表达求解过程。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固方法，有效弥补解题盲点。

1.4.2 空间向量应用（二）用空间向量研究距离、夹角问题（知识解读） 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 点到平面距离的向量求法】 2 【题型2 平行平面距离的向量求法】 7 【题型3 点到直线距离的向量求法】 14 【题型4·异面直线距离的向量求法】 19 【题型5 向量法求异面直线所成的角】 26 【题型6··向量法求线面角】 31 【题型7··向量法求二面角】 37 知识点1 用空间向量研究距离问题 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 【题型1 点到平面距离的向量求法】 【例1】在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，． (1)若为的中点，求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用向量法证明线面平行即可； （2）利用向量法直接求解点到平面的距离. 【详解】（1）由题知，因为平面，平面， 且，所以两两互相垂直， 以为原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以，，又， 令平面的一个法向量， 则，解得， 取，则，所以， 则， 所以平面. （2）由（1）知，平面的一个法向量， 又， 则点到平面的距离为. 【变式1-1】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 【答案】(1)证明：因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 因为 则， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则有， 所以是平面的一个法向量， 又因为，所以， 因为平面，所以直线平面． (2) 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，即可证明； （2）利用点到面的距离向量求法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 又因为，所以直线到平面的距离为． 【变式1-2】如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，确定为直线与平面所成的角，即可求解； （2）建系，由点到面的距离公式即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为正四棱锥， 所以平面． 故为直线与平面所成的角． 在正方形中，，则对角线． ．在Rt中，． 即直线与平面所成角的正弦值为 （2） 以为原点，方向分别为轴． 由（1）知． 则． 为中点，故． 向量． 设平面的法向量为． 令，得．故． 点到平面的距离： 【变式1-3】如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． (1)证明：、、、四点共面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为空间内一组基底，根据空间向量线性运算结合空间向量共面基本定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，根据点到平面距离空间向量法计算即可. 【详解】（1）因为为非零向量且不共线， 所以可以作为空间内一组基底， 因为在侧棱上，， 所以， 同理可得， 因为为的中点，所以， 因为, 所以共面，即、、、四点共面； （2）以点为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 【题型2 平行平面距离的向量求法】 【例2】在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求得线面角； （2）先证平面平面，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出点到面的距离即可； （3）根据补形法确定三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体外接球半径，即可求得结果. 【详解】（1） 建立如图所示，以为坐标原点， 、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 根据题意有：，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则有， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有，又因为， 所以 （2） 连接、、、、、， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面；同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面； 因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，， 令，可得， 则为平面的一个法向量， 所以平面与平面的距离. （3）根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 【变式2-1】如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.    【答案】 【分析】由题以为原点建立空间直角坐标系，求出，进而得出，再由线面平行和面面平行的判定定理得平面平面，从而用向量法求出点到平面的距离即为解. 【详解】由题可以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，            则，，， 所以， 故，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 所以平面到平面的距离等价于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则，所以， 令，则，所以， 故点到平面的距离为，即平面到平面的距离为. 【变式2-2】在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 【变式2-3】直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面 平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系，通过证明，再由面面平行的判定定理即可证明. （2）法一: 平面与平面的距离到平面的距离,再由等体积法即可求出答案. 法二:求出平面的法向量,，平面与平面的距离等于到平面的距离，由点到平面的距离公式即可求出答案. 【详解】（1）法一:证明：连接分别为的中点， 分别是的中点， ，平面，平面， 平面，平行且等于， 是平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面； 法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，    则， ， ， ，，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面平面， （2）法一:平面与平面的距离到平面的距离． 中，，，， 由等体积可得，． 法二: 设平面的一个法向量为， 则，则可取， ， 平面与平面的距离为 【题型3 点到直线距离的向量求法】 【例3】如图，对正方体­，，，分别是和的中点. (1)求到的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合点到直线的距离向量求法求结论； （2）结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长，故，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以点到的距离 ； （2）由（1），已有， 所以，，， 设异面直线与所成角为，则. 【变式3-1】如图，在棱长为的正方体中，分别为线段，的中点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可； （2）利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 已知正方体棱长为，则，，，， 所以，，因， 所以. （2）由题可得，，，. ，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点到直线的距离为. （3）根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设平面与平面所成角为， 故， 即平面与平面所成角的余弦值为. 【变式3-2】在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式即可求解； （2）求出平面的一个法向量，然后利用线面角的向量公式即可求解. 【详解】（1）根据题意，平面，， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为： ，由中点坐标得， 向量，，设点到直线的距离为， 则. （2）直线的方向向量取，设平面的法向量为， 由,取得， 设直线与平面所成角为， 则. 【变式3-3】如图，在正方体中，，，分别为，的中点.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到线段的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合向量的数量积求夹角即可. （2）利用点到直线的距离公式的向量表示求解即可. 【详解】（1）以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，因为正方体棱长，    所以，，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设直线与平面所成角为， 则 . 故直线与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）知，，， 所以点到线段的距离为： . 故点到线段的距离为. 【题型 4·异面直线距离的向量求法】 【例4】如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 【答案】(1)证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. (2) (3). 【分析】（1）（方法一）连接，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（方法二）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用空间向量法证明即可； （2）利用空间向量法求解即可； （3）利用空间向量法，转化为求点E到直线的距离. 【详解】（1）略 （2）由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 【变式4-1】如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据空间向量基本定理，利用基底表示各向量，再结合向量垂直的数量积表示，可得证. （2）直线平面，直线平面，求出平面的法向量，进而求出异面直线的距离. 【详解】（1）取空间向量的一个基底，则，， 且，， ， 因此， 即，所以直线直线. （2）由（1）得，， 由和是异面直线，令直线平面，直线平面， 设是平面的法向量，则，且， 即，取，得， ， ， 异面直线与间的距离即在上投影向量的模长， 所以异面直线与间的距离为. 【变式4-2】如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，由题意可证得平面，平面，作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. （2）利用空间向量求解，先求出异面直线，的公垂线的方向向量，然后利用数量积的几何意义求解即可. 【详解】（1）连接，，由题知，是等腰三角形底边上的中线， 同理，. 因为，平面，， 平面，又平面，. 同理，平面. 作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 由题知，，，，，，，，. 设是平面的法向量， 则，即，取 ， 直线与平面所成角的正弦值为 （2）设是异面直线，的公垂线的方向向量，由， 同（1）可得 由题知，异面直线，的距离等于在方向上的投影长，即. 异面直线，的距离 【变式4-4】三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【答案】(1) 三棱台中，，则， 有，得，所以， 又，所以在平面内，，有， 平面平面，所以平面． (2) 【分析】（1）由题意和三棱台的结构特征可得，进而证得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质证得、 ，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线距，即可求解. 【详解】（1）略 （2）已知平面平面ABC，平面平面，， 平面，所以平面，由平面，得， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，由平面ABC，得 . 以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系． 则有， ， 因为，所以， 设向量，且满足：， 则有，令， 在的投影数量为， 异面直线与DE的距离.    知识点2 用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型5 向量法求异面直线所成的角】 【例5】如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：    (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】选取基底向量 ，利用向量的数量积运算求解线段长度及异面直线夹角的余弦值. 【详解】（1）设，由题意可得，， 所以 ， 所以，即的长为； （2）因为， 所以 ， 又， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 【变式5-1】在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 所以， 所以，故； (2) 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积与垂直的关系可证明； (2)直接结合（1）中的坐标系，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）略； （2），， 所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角范围， 故异面直线与所成角的余弦值为 【变式5-2】如图，在直三棱柱中，点分别为棱的中点. (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由中位线得，再由线面平行判定证得平面. （2）以为原点建系，用向量法求异面直线所成角：先写出各点坐标，求出向量与，再用公式计算余弦值. 【详解】（1）因为是的中点，是的中点. 所以是的中位线. 故，又平面，平面 所以平面. （2）因为在直三棱柱中，平面，平面， 所以两两垂直. 如图以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，，，为中点， 所以，，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，， 则. 所以异面直线与所成角得余弦值为 【变式5-3】如图，在棱长是2的正方体中，是底面的中心，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可. （2）由题意可得，建立空间直角坐标系，由异面直线的向量求法，求解即可. 【详解】（1）因为F为的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 所以， 所以， 故， 因此异面直线与所成角的大小为. 【题型 6··向量法求线面角】 【例6】如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． (1)求证：平面ABC； (2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)由题可知，，． 在中，， 所以， 在三棱柱中，所以， 因为平面平面 且平面平面， 所以平面 (2) 【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得，进而利用面面垂直的性质可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和直线的一个方向向量，利用向量法可求得与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）略. （2）因为，所以 ，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意，得，， ， ，且D为的中点，即 ， 则 ， ， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以 ， 设与平面所成角为 ，则， 所以与平面所成角的正弦值. 【变式6-1】如图，在三棱柱中，侧棱底面，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明：连接， 因为底面，平面， 所以，， 因为，，平面，所以⊥平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以平行四边形为正方形， 所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，平面，从而证明出结论； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出法向量，利用线面角正弦公式求解 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面， 因为平面，所以， 平行四边形为正方形，故， 两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， ， 设直线与平面所成角大小为， 则， 所以， 故直线与平面所成角的大小为. 【变式6-2】如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，，，，．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：取中点，连接，已知为等边三角形，边长为4， 则，且，， 已知，，则四边形是矩形，，， ， ， 平面， 平面， 又平面， ．    (2) 【分析】（1）根据四棱锥的几何性质，利用线面垂直判断定理证明线面垂直，进而推出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量及向量，设直线与平面所成角为，利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 故底面，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴， 垂直于平面的方向为轴，建立下图所示空间直角坐标系，    则， 设平面的法向量为， 因， 则，令，则， 又， 设直线与平面所成角为， 则． 【变式6-3】如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)解法1：连接，， 因为在直三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以M为中点，又N为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面．    解法2：证明：取中点P，连结，，由M，N分别是与的中点， 所以, 又因为平面，平面， 所以平面． 同理，平面． 又，平面， 所以面面． 而 平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）方法1，通过线面平行判定定理证明，方法2，通过面面平行证明线面平行； （2）利用空间向量法求解线面角的正弦值. 【详解】（1）略. （2）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，    设，则． 则，，，，，， 所以，，． 设平面MNC的一个法向量为， 则，． 即 ，令，则． 所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为，又， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【题型 7··向量法求二面角】 【例7】如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，. (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据图形关系计算得到，结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）根据题意找到与平面所成的角为，结合题意建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求解方法进行计算即可. 【详解】（1）如图所示，取中点，连接，    因为平面，平面， 所以， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 又因为， 所以四边形是正方形， 所以， 在中，， 所以，所以， 又因为平面，， 所以平面 （2）因为平面， 所以与平面所成的角为， 由平面，平面， 得，则， 因为平面，平面， 所以， 又因为， 所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，    所以，所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 同理平面的法向量为， 设二面角的大小为，由图可知，， 所以，则， 所以二面角的大小为 【变式7-1】如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点. (1)证明：平面平面： (2)若直线与平面所成角的正弦值为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明：因为平面，平面， 所以 ， 取中点，连接， 因为，，， 所以，又，所以四边形为平行四边形， 因为，，所以四边形为正方形， 故，⊥， 所以为等腰直角三角形， 故，，即⊥， 又，平面， 故⊥平面， 因为 平面， 所以平面⊥平面； (2) 【分析】（1）作出辅助线，证明出⊥，结合线面垂直得到 ，从而证明出线面垂直，得到面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据线面角的正弦值列出方程，求出，再用面面角的余弦公式求出答案. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以 ， ， 由（1）得，， 故以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 则直线与平面所成角的正弦值为 ， 所以，解得，或（舍去），负值也舍去， 故平面的法向量为， 又平面的法向量为， 设平面与平面所成锐二面角为， 则. 【变式7-2】如图，四边形为正方形，是平面外一点，设平面，且，为中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)连接AC，交BD于O，连接EO， 因为为正方形，所以O为AC中点， 因为为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，根据正方形的性质，可得O为AC中点，因为为中点，所以EO为中位线，即，根据线面平行的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标，进而可求出平面PDC和平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，代入计算，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，， 以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 设AD=1，则， 所以， 因为,，,平面PDC， 所以平面PDC， 则即为平面PDC的法向量， 设平面PBC的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 所以，即， 所以二面角的大小 【变式7-3】如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直得到线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的正弦值. 【详解】（1）因为底面，底面，所以. 又底面为矩形，所以， 又平面，且，所以平面. 又平面，所以. （2）以为原点，建立如下图空间直角坐标系. 由题意：，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则 ，可取. 取平面的法向量. 设二面角为， 则， 所以. 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 2．在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值从而求得直线与平面夹角的正弦值. 【详解】连接，以为原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系，如下图所示 设正方体棱长为1，则， ，，， 设平面的法向量为，则， 代入可得，令，则， 所以， 设直线与平面的夹角为，与平面的法向量夹角为， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 3．若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量、，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 4．如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 【答案】/0.8 【详解】由题意知在直三棱柱中，， 故以B为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 故， 设直线与所成角为， 则. 5．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法计算两个平面夹角，进而可得线段的长度和距离. 【详解】因为底面是矩形，平面，所以， 故以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， 因为点是线段上一点，设， 设平面的法向量为，则，， 令，则.平面的法向量为. 因为平面与平面的夹角为， 所以 ， 所以，解得（舍去），所以. 此时，， 所以点到平面的距离 . 6．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面． (2) 【详解】（1）略. （2）由（1）可知，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图2所示： 易知，，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，可得，， 可得， 平面的法向量为， 因为平面，所以平面的法向量为， 所以， 因此平面与平面所成角的余弦值为． 7．已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. (1)求点坐标； (2)求直线与平面所成的角； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质及点的坐标确定垂足的坐标； （2）由已建立的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式计算； （3）分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式计算二面角的余弦值. 【详解】（1）因底面，且均在平面上，所 以面即为平面. 又因为，所以平行于轴且在平面上， 故点的横、纵坐标与点相同，竖坐标为，所以. 如图，作出符合题意的图形， （2）直线的方向向量可取， 已知，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，，取得. 设直线与平面所成角为，且，， 则，因为，故. 因此直线与平面所成的角为. （3）平面，，, 设平面的法向量为，则， 即，令，得，，即. 由（2）的分析知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. 因此​​​平面与平面的夹角的余弦值为. 8．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，． (1)求二面角的余弦值； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，以为原点建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再利用二面角的向量法求解. （2）利用点到平面距离的向量公式求解即可. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，， 则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 而平面的一个法向量为， 则， 由图知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为. （2）由（1）知平面的法向量，而， 所以B到平面的距离. 9．如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点满足． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)∵平面，平面，∴， ∵底面为矩形，∴， 又平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面; （2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求得相关的向量坐标，求出平面与平面的法向量，根据向量的夹角公式求得答案. 【详解】（1）略. （2）∵平面，平面，∴， ∵底面为矩形，∴， 以A为原点，，，向量方向分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为， ∴，取，则，，即， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为, 所以. 10．如图，在直三棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，因为平面，所以 ， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以，又因为， 所以侧面为正方形，所以 ， 因为，且平面，所以 平面. (2) 【分析】（1）根据线面垂直判定定理，通过两次线线垂直，推导出直线垂直平面即可； （2）解法一：先利用三棱锥等体积互换，换顶点、换底面，由算出到平面距离；再依据线面角定义：线面角正弦=垂距/斜线长，代入求值即可；解法二： 先根据垂直条件建空间直角坐标系，写出坐标，再借用第(1)问线面垂直结论直接得到平面法向量，搭配斜线方向向量，最后套用线面角向量公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）解法一（等体积法）：设点到平面的距离为． 因为， ． 由得，即． 所以直线与平面所成角正弦值为． 解法二：如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由（1）知， 平面， 所以平面的一个法向量为，取， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成的角为， 则 所以直线与平面所成角正弦值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $1.4.2空间向量应用（二)用空间向量研究距离、夹角问题（知识解读) 【人教A版(2019)】 题型归纳 【题型1点到平面距离的向量求法】 …2 【题型2平行平面距离的向量求法】 【题型3点到直线距离的向量求法】 .6 【题型4·异面直线距离的向量求法】 【题型5向量法求异面直线所成的角】 .10 【题型6·向量法求线面角】 .13 【题型7·向量法求二面角】 .15 知识点1用空间向量研究距离问题 1.距离问题 (1)点P到直线1的距离：已知直线1的单位方向向量为d,A是直线1上的定点，P是直线1外一点，设向 雪作直线1上的数影狗量为AQ日则点P到直线的距高为V公-（后，可 (如图) (②)点P到平面a的距离：设平面a的法向量为i,A是平面a内的定点，P是平面a外一点，则点P到平面 亦. a的距离为 (如图) 2.向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量' (②)在直线上任取一点M可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量M 1/21 (3)垂线段长 d=VM2-(M.) 3.求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面“的垂线，垂足为Q,把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点 P到平面的距离. (2)转化法：若点P所在的直线1平行于平面Q,则转化为直线1上某一个点到平面“的距离来求。 (3)等体积法 P4 d (4向量法：设平面的一个法向量为”，A是“内任意点，则点P到的距离为 【题型1点到平面距离的向量求法】 【例1】在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形，AD/BC, PA=AB=BC=2,AD=1,∠BAD=90° (1)若E为PB的中点，求证：AE/平面PDC: (2)求点B到平面PCD的距离， 【变式1-1】如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且 PA=AB=1,点E是PD的中点， (1)求证：直线PB/平面AEC: 2/21 (2)求直线PB到平面AEC的距离： 【变式1-2】如图所示正四棱锥S-ABCD,SA=SB=SC=SD=2,AB=V2,P为侧棱SD的中点. (1)求直线SC与平面ABCD所成角的正弦值： (2)求点P到平面SBC的距离. 【变式1-3】如图所示，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，E在侧棱SB 上，SE=2EB,F为SC的中点，点G在侧棱SD上，且SG=2GD. D (1)证明：A、E、F、G四点共面； (2)若SD=AD=1,求点S到平面AEF的距离 3/21 【题型2·平行平面距离的向量求法】 【例2】在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求 D C A B ! D (1)直线BC与平面ABC1D1所成的角： (2)求平面A1BD与平面BD1C的距离： (3)求三棱锥B1-A1BD外接球的表面积； 【变式2-1】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B,C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的 中点，G为线段AB的中点，求平面AEB到平面CFG的距离. D C Bi------ ” G B 4/21 【变式2-2】在棱长为1的正方体ABCD-A1BC1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点， D A D E (1)求直线EC与AC1所成角的余弦值： (2)求直线FC到平面AEC1的距离. 【变式2-3】直四棱柱ABCD-A1B,C1D1中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱A1A=3,M、N 分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是C1D1,BC1的中点. A M B (1)求证：平面AMN∥平面EFBD: (2)求平面AMN与平面EFBD的距离. 5/21 【题型3·点到直线距离的向量求法】 【例3】如图，对正方体ABCDA1B,C1D1,AB=2,M,N分别是BD和AD的中点. D (1)求N到B:M的距离； (2)求异面直线B1M与D1N所成角的余弦值， 【变式3-1】如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为线段AB,B1C1的中点. D C F B D (1)求证：D1F⊥CE: (2)求F点到直线A1C的距离： (3)求平面A,EC与平面BCC1B所成角的余弦值. 6/21 【变式3-2】在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点， AB=AC=2,PA=3. D B E (1)求点P到直线EF的距离： (2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值， 【变式3-3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2,E,F分别为AA1,CD的中点. D D C B (1)求直线AC1与平面EFB1所成角的正弦值； (2)求点F到线段AC1的距离. 7/21 【题型4异面直线距离的向量求法】 【例4】如图，在直三棱柱ABC-A1BC1中，AC⊥BC,AC=BC=1,AA1=2,点E,F分别为线段 AC1和BC的中点. B E (1)证明：EF/平面ABC: (2)求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值： (3)求直线EF与直线A1B间的距离. 【变式4-1】如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=4,AD=4,AA=3V2,∠BAD=60°， ∠BAA=∠DAA=45°.求： D' B D .. B (1)证明直线AC⊥直线BD: 8/21 (2)求异面直线AC和BD间的距离. 【变式4-2】如图，在三棱锥S-ABC中，SA=SB=BC=AC=5,SC=AB=2,E,F分别为AB,SC的 中点。 (1)求直线BF与平面ABC所成角的正弦值： (2)求异面直线SE,BF的距离d, 【变式4-3】三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1,AB⊥BC,AC⊥BB1,平面AA1B1B⊥平面 ABC,AB=3,BC=2,BB,=L,AE=2Ei°A,C与AC交于D. A (1)证明：DE平面A1BC1: (2)求异面直线A1C1与DE的距离. 9/21 知识点2用空间向量研究空间角 1.夹角问题 (I)两个平面的夹角：平面a与平面B的夹角：平面α与平面B相交，形成四个二面角，我们把这四个二面 角中不大于90°的二面角称为平面α与平面B的夹角， (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 设两异面直线4，乃所成的角为日，其方向向量分别为d 两条异面直 团可 o引 线所成的角 , 则cos0=|cos 网 设直线AB与平面α所成的角为0，直线AB的方向向量为 直线与平面 a升 o引 所成的角 (u, 191→ un 平面a的法向量为，则sin0=co 设平面a与平面B的夹角为0，平面a,B的法向量分别为 两个平面的 园 o引 夹角 n1, 2, n,n2》 则cos0=cosN 网网 2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系： (2)用坐标表示两异面直线的方向向量： (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值： π 0,2 (4)注意两异面直线所成角的范围是 即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对 值 10/21 3.向量法求直线与平面所成角的主要方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角（或其补角） (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就 是斜线和平面所成的角 4.向量法求二面角的解题思路： 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大 小 【题型5向量法求异面直线所成的角】 【例5】如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA的长为 4,且∠AAB=∠AAD=120,求： D' * B A BD的长： (2)直线BD与AC所成角的余弦值. 【变式5-1】在长方体ABCD-A1B,C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=4,AB=2,E为AD的中点， F为CC1的中点. D (1)求证：EF⊥D1F: 11/21 (2)求异面直线AF与A1E所成角的余弦值. 【变式5-2】如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥AC,AB=4,AC=43,AA1=46,点 E,F分别为棱BC,A1B的中点. A B (1)证明：直线EF//平面AA,C1C: (2)求异面直线EF与B1C所成的角的余弦值. 【变式5-3】如图，在棱长是2的正方体ABCD-A1B,C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分别为 AB,A1C的中点. 12/21 D B Ds----- (1)证明：OF‖平面AA1D1D: (2)求异面直线EF与CD1所成角的大小 【题型6向量法求线面角】 【例6】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC,AB=1,BC=CC1=2, AB=V5 A C B1 (1)求证：BB1⊥平面ABC: (2)若AB⊥BC,D为A1B的中点，求C1D与平面A1BC所成角的正弦值. 【变式6-1】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC, AA=AB=BC=2 13/21 B (1)求证：AC1⊥A1B: (2)求直线BC1与平面AA1C1C所成角的大小. 【变式6-2】如图，在四棱锥P-ABCD中，△PCD为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD, CD L AD,PB=CD=4,AB=AD=2. D A B (1)求证：PB⊥CD: (2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值. 【变式6-3】如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠BAC=90:AB=AC=2AA1:点M:N分别 14/21 为A1B,B1C1的中点. A C % (1)证明：MN/平面A1ACC1: (2)求直线A1B与平面MNC所成角的正弦值. 【题型7向量法求二面角】 【例7】如图，在几何体P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形， ∠ABC=∠BAD=L, 2 AD=2,AB=BC=1. P A D (1)证明：CD⊥平面PAC: 15/21 2若PC与平面ABCD所成的角为，求二面角A-PD-C的大小， 【变式7-1】如图，在四棱锥M-ABCD中，MA⊥平面ABCD,AD‖BC,CD⊥AD,BC=2, AD=DC=1,点N为MB的中点. M B (1)证明：平面MAB⊥平面NAC: 2)若直线MB与平面ANC所成角的正弦值为22， 3,MA>1,求平面NAC与平面MAD所成锐二面角 的余弦值. 【变式7-2】如图，四边形ABCD为正方形，P是平面ABCD外一点，设PD⊥平面ABCD,且PD=DA, E为PC中点. (1)证明：PA∥平面BDE: (2)求二面角D-PC-B的大小. 16/21 【变式7-3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为长方形，PA⊥底面ABCD,E是PC中点，已 知PA=AB=2,AD=22. Ai------ B (1)证明：PB⊥AD: (2)求二面角B-AD-E的正弦值. 随堂检测 【随堂检测】 1.如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1BC1D1中，E为BC的中点，P为D1E的中点，则点P到直线 BB1的距离为() 17/21 D B A P Di.-- E A.V5 B.3 c.2V2 D.V13 2.在正方体ABCD-A1BC1D1中，直线AC与平面ABD1所成角的正弦值为() A.1 号 c要 3.若A1,0,1、B0,3,0、C1,1,2,则点A到直线BC的距离为() A司 c.2 D.2 4.如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，∠ABC=C, E,F分别是AB,B,C的中点.若 AB=BC=BB1,则直线AE与CF所成角的余弦值为 C B B 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD且PD=AD=1,AB=2,点E 点，当平面PEC与平面ABCD的夹角为时，AE=,这时， 的距离为一 6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=3,E为 18/21 AD的中点. A.- E>D B (1)证明：平面PAD⊥平面PAB； (2)求平面PAB与平面PBE所成角的余弦值. 7.已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，AC,BD交于点N,PN⊥底面ABCD,点M为棱PC上的点. 在空间坐标系中，点P0,0,4,A4,0,0,B0,3,0,M-2,0,2 (1)求N点坐标： (2)求直线PN与平面MBD所成的角： (3)求平面PAB与平面BDM的夹角的余弦值. 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形，BCDA, 19/21 ∠ABC=90°，AD=2BC=2PA=4AB=4. A B (1)求二面角P-CD-A的余弦值； (2)求B到平面PCD的距离. 9.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=3,点E满 足A正=1AD】 3 A B---- E C (1)证明：直线CD⊥平面PAD: (2)求平面PBE与平面ABCD夹角的余弦值. 20/21 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，AB⊥BC,AB=BC=AA1=2. B C (1)求证：AB1⊥平面A,BC: (2)求直线BC1与平面A1BC所成角的正弦值. 21/21