1.1.2空间向量的数量积运算8题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，系统梳理空间向量夹角的定义与范围，数量积的定义、性质及运算律，以及投影向量的概念，构建从平面向量到空间向量的知识延伸支架。 资料以8大题型分类设计，涵盖概念辨析、计算、最值等，结合正方体、正四面体等几何体实例，通过具体情境培养学生空间观念（数学眼光）与逻辑推理能力（数学思维），课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.1.2空间向量的数量积运算8题型分类 一、空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向． 二、空间向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质：①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 注意：向量的数量积运算不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的． 思考　对于向量 a，b，若a·b＝k，能否写成a＝？ 答案　不能，向量没有除法． 三、向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． （一） 数量积的计算 1、空间向量夹角定义的三个关注点 (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样． (2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉． 2、空间向量数量积运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 3、求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 4、在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉. 题型1：空间向量数量积概念辨析 1．（2026高二·全国·课前预习）在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据转化以及正方体的性质求出各组向量的夹角可得答案. 【详解】对于A，因为，结合正方体的性质可得与的夹角为， 所以与的夹角为，故A正确； 对于B，由与方向相反，结合A可知与的夹角为，故B不正确； 对于C，因为，结合正方体的性质与垂直， 所以与的夹角为，故C不正确； 对于D，因为，而与方向相反， 所以与的夹角为，故D不正确. 故选：A 2．（2026高二·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【分析】根据正三角内角为求解. 【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知， 故选：D 3．（2026高二·全国·寒假作业）如图在正三棱锥中，，则________；________． 【答案】 【分析】取的中点连接、，依题意可得三棱锥为正四面体，即可证明平面，从而得到，即可求出，再由为等边三角形得到. 【详解】取的中点，连接、， 因为为正三棱锥且，所以三棱锥为正四面体， 所以、，又，平面， 所以平面， 又平面，所以，所以，所以， 又为等边三角形，所以， 所以. 故答案为：； 4．【多选】（2026高二·新疆伊犁·期末）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 5．（2026高二·全国·寒假作业）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 题型2：空间向量数量积的计算 6．（2026高二·湖南·阶段检测）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中， 易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为. 故选：B 7．（2026高二·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 8．（2026高一·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）转化为计算即可； （2）直接计算即可； （3）将转化为，将转化为，再代入计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 9．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四面体中，，，，.则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形，转化向量，利用向量数量积公式，即可求解. 【详解】 故选：C 题型3：空间向量数量积的最值问题 10．（2026高二·安徽池州·阶段检测）已知三棱锥的棱长均为4，点满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算法则，将转化为，则题意求得的取值范围，即可得到的取值范围. 【详解】分别取，的中点，，则，即，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面． 又， 因为三棱锥的棱长均为4，所以三棱锥是正四面体，其每个面均为边长为的正三角形. 所以，. 因为， 所以，. 所以的取值范围为． 故答案为：． 11．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可. 【详解】 如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点， 显然， 由题意可知， 所以的取值范围为. 故选：A 题型4：利用空间向量数量积求投影向量 12．（2026高三·河南·期中）若向量满足，则向量在向量上的投影向量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量在向量上的投影向量为，利用向量数量积的定义求，进而得的范围，逐一验证即可求解. 【详解】由题意有：由向量在向量上的投影向量为， 因为， 因为，所以， 所以， 所以向量在向量上的投影向量可能为， 故选：A. 13．（2026高二·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 14．（2026高二·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 15．（2026高二·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. （二） 利用数量积求角和模 1、求向量的夹角 (1)由两个向量的数量积的定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求出〈a，b〉的大小． (2)利用向量的数量积求出两个向量的夹角，则这个夹角是两异面直线所成的角或其补角(注意异面直线所成的角的范围)． 2、求向量的模 （1）求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离)． （2）线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)． （3）应牢记并能熟练地应用公式 |a＋b＋c|＝＝. 题型5：利用空间向量数量积求角 16．（2026高二·陕西渭南·期中）已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是______. 【答案】// 【分析】首先由题意先根据模长公式、数量积公式分别求出，最后根据夹角公式进行计算即可. 【详解】由题意， ， ， 所以，即与的夹角是. 故答案为：. 17．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 18．（2026高二·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 19．（2026高二·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 20．（2026高二·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B 题型6：利用空间向量数量积求模. 21．（2026高二·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 22．（2026高二·天津宁河·阶段检测）如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．则对角线的长度为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用基底法求解即可. 【详解】由题知， 所以， 所以，即. 故选：B. 23．（2026高三·辽宁·阶段检测）已知正四面体的棱长为，若点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，利用向量模的计算公式即可求解. 【详解】 如图所示，已知正四面体的棱长为， 则且， 所以，同理， ， 则，故C正确. 24．（2026高二·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 25．（2026高一·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    （三） 利用数量积证明垂直问题 1、利用数量积证明垂直问题: (1)将所证明垂直的线段设为向量， (2)用已知向量表示未知向量， (3)利用数量积运算完成判定. 2、用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可； (2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可． 题型7：利用数量积证明垂直问题 26．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将分解为即可； （2）利用向量垂直的充要条件，建立关于 的方程求解即可. 【详解】（1）． （2）假设存在点，使， 设， 显然， 因为，所以， 即， 所以 ． 设， 又，， 所以， 即， 解得， 所以当时，． 27．（2026高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先判断出是等边三角形，则有，在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用向量的线性运算和数量积运算证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以是等边三角形， 所以， 又因为N是的中点， 所以, 在中，. （2）由已知 ， 所以， 所以. 28．（2026高二·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2) 由题意得，      则 ，故. 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）设，三个向量不共线， 则构成空间的一个基底，且，        ，则，故. （2）略 题型8：利用空间向量垂直求参数 29．（2026高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以， 即， 所以， 解得. 30．（2026高二·河南郑州·阶段检测）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（    ） A．－6 B．6 C．3 D．－3 【答案】B 【分析】由和的数量积为0，解出k的值. 【详解】由题意可得，，， 所以，即2k－12＝0，得k＝6. 故选：B. 1．（2026高二·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算. 【详解】 . 故选：B 2．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 3．（2026高二·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】把用表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解. 【详解】因为分别是的中点，所以， 所以 . 故选：C 4．（2026高二·江西赣州·期中）在正三棱锥中，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量运算化简已知条件，求得，再根据空间向量所成角的知识求得正确答案， 【详解】由， 所以，由于，所以 在正三棱锥中，，则三角形是等边三角形， 分别是中点，所以， 所以，所以. 故选：C 5．（2026高二·浙江衢州·期末）已知向量满足，，，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】由共线向量可设，再由数量积运算即可求解． 【详解】由，，得， 由得，，得，则， 得， 故选：C 6．【多选】（2026高二·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用空间向量数量积的定义分别求解即可. 【详解】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 7．（2026高二·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 8．（2026高二·山西·阶段检测）如图，在三棱锥中，，则___________． 【答案】 【分析】由空间向量数量积的定义和运算性质即可求解. 【详解】设，因为， 所以， 则． 所以，即． 故答案为： 9．（2026高二·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算律计算可得. 【详解】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 10．（2026高二·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 11．（2026高二·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 12．（2026高三·广东汕尾·阶段检测）已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角余弦值为___________． 【答案】 【分析】应用空间向量的数量积公式及运算律计算，再运用夹角公式计算求解. 【详解】根据图形可知 ， 所以, 则异面直线与的夹角余弦值为. 故答案为：. 13．（2026高二·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 【答案】3 【分析】根据向量模的运算公式，结合向量数量积的运算律运算求解即可 【详解】解：因为是两两垂直的单位向量， 所以， 所以 故答案为：3． 14．（2026高二·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则______. 【答案】1 【分析】运用空间向量基底法，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以，即 设， 代入得， 即，解得或（舍去）， 故. 故答案为：1 15．（2026高二·全国·暑假作业）如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 【答案】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在上的投影向量为，模为. 根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在平面内的投影向量为，模为. 16．（2026高二·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【答案】 【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得，将已知条件代入得，最后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由于在上的投影向量为， 则，即， 即，由，则，所以， 于是． 故答案为： 17．（2026高二·福建泉州·期中）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，由数量积的定义即可求解； 【详解】 由，得，所以，即， 于是， 所以． 故选：C 18．（2026高二·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是_________． 【答案】1 【分析】利用空间向量基底法结合数量积公式计算即可. 【详解】依题意，设，其中， . 因此的最大值是1. 故答案为：1. 19．【多选】（2026高二·辽宁·期中）已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据投影向量的概念逐一进行判断即可. 【详解】如图： 在长方体中，因为平面，所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确； 因为在中，，所以与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B错误； 因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确； 虽然，但与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D错误. 故选：AC 20．（2026·广东佛山·模拟预测）已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 【答案】 【详解】由题可知，，， 所以． 21．（2026高二·江苏·阶段检测）已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【答案】 【详解】因为为底面内一点，且， 所以，解得，则， 又， 可得 . 22．（2026高二·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______.    【答案】 【分析】根据垂直关系可得平面，，根据空间向量数量积求得，，根据夹角公式即可得结果. 【详解】因为平面平面，， 且平面平面，平面，可得平面， 又因为平面，则， 即，，， 则，，且，，， 因为， 则， 即， 又因为， 可得， 所以向量与夹角的余弦值为. 故答案为：. 23．（2026高二·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】设，，根据向量的线性运算将用已知向量表示，再利用数量积运算得到的表达式，利用二次函数求出最小值. 【详解】如图，设，， 在中，， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 24．（2026高二·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 25．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合图形计算可得； （2）首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得. 【详解】（1）连接，如图： 因为，，， 在，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形， 故， 因为∥且， 所以， 又为线段中点 所以， 在中，， 故平行四边形中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.1.2空间向量的数量积运算8题型分类 一、空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向． 二、空间向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质：①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 注意：向量的数量积运算不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的． 思考　对于向量 a，b，若a·b＝k，能否写成a＝？ 答案　不能，向量没有除法． 三、向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． （一） 数量积的计算 1、空间向量夹角定义的三个关注点 (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样． (2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉． 2、空间向量数量积运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 3、求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 4、在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉. 题型1：空间向量数量积概念辨析 1．（2026高二·全国·课前预习）在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2026高二·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 3．（2026高二·全国·寒假作业）如图在正三棱锥中，，则________；________． 4．【多选】（2026高二·新疆伊犁·期末）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 5．（2026高二·全国·寒假作业）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 题型2：空间向量数量积的计算 6．（2026高二·湖南·阶段检测）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 7．（2026高二·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 8．（2026高一·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 9．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四面体中，，，，.则（   ）    A． B． C． D． 题型3：空间向量数量积的最值问题 10．（2026高二·安徽池州·阶段检测）已知三棱锥的棱长均为4，点满足，则的取值范围为______． 11．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型4：利用空间向量数量积求投影向量 12．（2026高三·河南·期中）若向量满足，则向量在向量上的投影向量可能为（    ） A． B． C． D． 13．（2026高二·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 14．（2026高二·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 15．（2026高二·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． （二） 利用数量积求角和模 1、求向量的夹角 (1)由两个向量的数量积的定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求出〈a，b〉的大小． (2)利用向量的数量积求出两个向量的夹角，则这个夹角是两异面直线所成的角或其补角(注意异面直线所成的角的范围)． 2、求向量的模 （1）求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离)． （2）线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)． （3）应牢记并能熟练地应用公式 |a＋b＋c|＝＝. 题型5：利用空间向量数量积求角 16．（2026高二·陕西渭南·期中）已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是______. 17．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 18．（2026高二·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 19．（2026高二·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026高二·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型6：利用空间向量数量积求模. 21．（2026高二·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 22．（2026高二·天津宁河·阶段检测）如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．则对角线的长度为（    ）    A． B． C．2 D． 23．（2026高三·辽宁·阶段检测）已知正四面体的棱长为，若点满足，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026高二·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 25．（2026高一·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． （三） 利用数量积证明垂直问题 1、利用数量积证明垂直问题: (1)将所证明垂直的线段设为向量， (2)用已知向量表示未知向量， (3)利用数量积运算完成判定. 2、用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可； (2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可． 题型7：利用数量积证明垂直问题 26．（2027高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 27．（2026高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 28．（2026高二·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 题型8：利用空间向量垂直求参数 29．（2026高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 30．（2026高二·河南郑州·阶段检测）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（    ） A．－6 B．6 C．3 D．－3 1．（2026高二·甘肃白银·期末）设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2026高二·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 4．（2026高二·江西赣州·期中）在正三棱锥中，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026高二·浙江衢州·期末）已知向量满足，，，则（   ） A． B．2 C． D．4 6．【多选】（2026高二·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026高二·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026高二·山西·阶段检测）如图，在三棱锥中，，则___________． 9．（2026高二·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 10．（2026高二·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 11．（2026高二·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 12．（2026高三·广东汕尾·阶段检测）已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角余弦值为___________． 13．（2026高二·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 14．（2026高二·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则______. 15．（2026高二·全国·暑假作业）如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 16．（2026高二·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 17．（2026高二·福建泉州·期中）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 18．（2026高二·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是_________． 19．【多选】（2026高二·辽宁·期中）已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 20．（2026·广东佛山·模拟预测）已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 21．（2026高二·江苏·阶段检测）已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 22．（2026高二·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______.    23．（2026高二·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 24．（2026高二·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 25．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $