1.1.1 空间向量及其线性运算讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《知识解读•题型专练》

本讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，系统梳理空间向量的概念（含零向量、单位向量等特殊向量）、线性运算（加减、数乘及运算律）、共线与共面向量定理（充要条件），构建从概念到运算再到定理应用的递进式学习支架。 资料以8类题型为框架，结合例题与变式训练，突出数学思维（如共线向量判定的逻辑推理）和数学语言（向量表达式规范书写）的培养。例如通过三棱锥中线性运算求参数（题型4），提升学生推理能力，课中辅助分层教学，课后助力学生用随堂检测查漏补缺，强化知识应用。

1.1.1 空间向量及其线性运算（知识解读） 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 空间向量的有关概念】 1 【题型2 空间向量的加减运算】 3 【题型3 空间向量的线性运算】 4 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 5 【题型5 空间向量共线的判定】 7 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 8 【题型7 空间向量共面的判定】 8 【题型8 由空间向量共面求参数】 8 知识点1 空间向量的概念 1.空间向量的概念 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫作空间向量。 （2）长度或模：向量的大小。 （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. （4）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫作零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量（平行向量） 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量。规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【变式1-1】下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【变式1-2】（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【变式1-3】（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 知识点2 空间向量的线性运算 1.空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a+b=+ = 减法 a-b=-= 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并。 （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则。 （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。 【题型2 空间向量的加减运算】 【例2】已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1); (2); (3)． 【变式2-1】在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在长方体中，（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则___________. 【题型3 空间向量的线性运算】 【例3】如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 【例4】在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】《九章算术》中的“商功”篇讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱。如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式4-3】如图，已知长方体中，点M为的中点，，若，则________，________，________。    知识点3 共线向量定理与共面向量定理 1.共线向量定理 （1）共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. （2）直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量。 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线。 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 2.共面向量定理 （1）共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α。平行于同一个平面的向量，叫作共面向量。 （2）共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb. （3）共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行。 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1），O为平面内任意一点。 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1），O为空间中任意一点。 【题型5 空间向量共线的判定】 【例5】下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】与向量共线的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（多选）已知M(-1，1，3），N(-2，-1，4），若M，N，O三点共线，则O点坐标可能为（    ） A．(3,5,-2) B．(-4,-5,6) C．(,,) D．(0,3,2) 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 【例6】已知向量，，且，则实数k的值为________。 【变式6-1】已知向量，若，则（    ） A．7 B．5 C． D． 【变式6-2】在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______。 【变式6-3】设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型7 空间向量共面的判定】 【例7】已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（   ） A．,, B．,, C．,, D．,, 【变式7-1】已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【变式7-3】若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（   ） A．,, B．,, C．,, D．,, 【题型8 由空间向量共面求参数】 【例8】（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．, B．, C．, D．, 【变式8-1】已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式8-2】如果向量，，共面，则实数m的值是__________. 【变式8-3】已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1.在空间四边形PABC中，（    ） A． B． C． D． 2．已知向量与共线，则（   ） A． B．0 C．2 D．6 3．已知向量，，且，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 4.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 5.已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（    ） A．5 B．2 C． D． 6．如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 7.（多选）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 8.已知点和点，则靠近点的三等分点的坐标为______。 9．已知，，不共面，若，，且三点共线，则__________ 10．如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于__________. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1 空间向量及其线性运算（知识解读） 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 空间向量的有关概念】 1 【题型2 空间向量的加减运算】 4 【题型3 空间向量的线性运算】 6 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 8 【题型5 空间向量共线的判定】 12 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 14 【题型7 空间向量共面的判定】 15 【题型8 由空间向量共面求参数】 17 知识点1 空间向量的概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 【变式1-1】下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 【变式1-2】（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【分析】根据零向量概念可判断A；根据相反向量概念可判断B；根据直线方向向量与零向量可判断C；根据相等向量概念可判断D. 【详解】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD 【变式1-3】（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 知识点2 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【题型2 空间向量的加减运算】 【例2】已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算依次化简求解即可. 【详解】（1）由题意得. （2）由题意得. （3）由题意得 【变式2-1】在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加减法的法则即可得解. 【详解】. 故选：C. 【变式2-2】在长方体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法法则可得结果. 【详解】. 故选：B. 【变式2-3】空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则___________. 【答案】 【分析】利用向量的三角形法则，平行四边形法则进行求解. 【详解】点为的中点，， ，. 故答案为：. 【题型3 空间向量的线性运算】 【例3】如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 【变式3-1】如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意，为中点， 则. 故选：A 【变式3-2】已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 【变式3-3】如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 【例4】在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意 ， 所以，解得， 故选：B 【变式4-1】如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和可求关于的线性表示，由此可求结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 【变式4-2】《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案. 【详解】连接，因为是的中点，所以，    因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 又因，所以可得，解得， 所以. 故选：A. 【变式4-3】如图，已知长方体中，点M为的中点，，若，则________，________，________．    【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算可得，结合题意即可得出x、y、z的值. 【详解】由题意知， ， 即， 又， 所以. 故答案为： 知识点3 共线向量定理与共面向量定理 1．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 2．共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型5 空间向量共线的判定】 【例5】下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据（）可得，进行判断. 【详解】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 【变式5-1】下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【变式5-2】与向量共线的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直接利用空间向量共线的性质判断即可. 【详解】因为不存在实数使得 ，，， 所以，，都不与共线， 因为， 所以与向量共线的向量是， 故选：D. 【变式5-3】（多选）已知M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，若M，N，O三点共线，则O点坐标可能为（    ） A．(3，5，-2) B．(-4，-5，6) C．(，，) D．(0，3，2) 【答案】BD 【解析】由M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，得到，然后利用空间向量共线定理逐项验证. 【详解】由M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)， 得， A. ，因为 所以M，N，O三点不共线，故错误； B. ，因为 所以M，N，O三点共线，故正确； C. ，因为 所以M，N，O三点不共线，故错误； D.，因为 所以M，N，O三点共线，故正确； 故选：BD 【点睛】本题主要考查空间向量共线定理的应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 【例6】已知向量，，且，则实数k的值为________． 【答案】/ 【分析】利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标运算，得到方程即可求解. 【详解】由，，则， 因为， 所以，解得， 故答案为： 【变式6-1】已知向量，若，则（    ） A．7 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共线定理进行求解即可. 【详解】因为，所以， 即. 故选：D 【变式6-2】在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______． 【答案】； 【分析】根据三点共线，可得空间向量、共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 即，解得． 故答案为：. 【变式6-3】设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 【题型7 空间向量共面的判定】 【例7】已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据空间向量基底的判定，即向量组是否共面，若不共面则构成空间的一组基底. 【详解】设，即， ，此方程组无解， ，，不共面，可构成基底，正确. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 故选：. 【变式7-1】已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共面向量定理一一计算判断即可. 【详解】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 【变式7-2】已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 【变式7-3】若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案. 【详解】A选项，，所以，，是共面向量； B选项，，所以，，是共面向量； C选项，， 所以，，是共面向量； D选项，令 ，显然无解，故不是共面向量. 故选：D 【题型8 由空间向量共面求参数】 【例8】（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 【变式8-1】已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由空间向量共面的基本定理即可求解. 【详解】设原点，，即， 则，，因为四点共面，所以，所以，． 故选：A. 【变式8-2】如果向量，，共面，则实数m的值是__________. 【答案】1 【分析】根据向量共面的性质，列出方程组，求出参数值即可. 【详解】设，即， 可得，解得，则. 故答案为：1. 【变式8-3】已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得存在实数，使得，从而可得结论，右边系数和为1，由此可求得答案. 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 随堂检测 【随堂检测】 1．在空间四边形PABC中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用向量的运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 2．已知向量与共线，则（   ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】D 【分析】根据两向量共线的坐标关系，列出方程求解即可. 【详解】因为向量与共线， 显然：,所以， 所以， 故． 故选：D 3．已知向量，，且，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共线的条件直接可得. 【详解】由可知，，解得. 故选：D. 4．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间共面向量定理和空间向量基底的定义逐一验证即可. 【详解】对于A：设，则，由无解， 故不存在，使得，所以不共面，故A错误， 对于B：，则，则， 不存在，使得所以不共面，故B错误； 对于C：，所以共面，故C正确； 对于D：设， 故不存在，使得， 所以不共面，故D错误. 故选：C. 5．已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面的推论求解即可. 【详解】，即， 即， 四点共面且任意三点不共线， ，． 故选：D. 6．如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的运算法则求解即可. 【详解】如图所示： . 故选：C. 7．（多选）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】利用任意向量都与共线来判断A，利用共面定理来判断B，利用空间四点共面定理来判断C，利用空间基底来判断D. 【详解】当时，任意的，都与共线，但与不一定共线，故A错误； 若存在实数、，使得，根据这个式子可判断、、共面，故B正确； 由，满足，则四点共面，故C正确； 若是空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则， 因为不共面，所以，此时方程组无解，故假设不成立， 所以不共面， 即也是空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 8．已知点和点，则靠近点的三等分点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据题意可知，利用向量相等求解即可. 【详解】设，由题可得， 所以可得， 则，解得：， 故点的坐标为． 故答案为： 9．已知，，不共面，若，，且三点共线，则__________ 【答案】2 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案． 【详解】因为三点共线，所以， 因为，，不共面，三点共线， 所以有， 故，解得， 所以． 故答案为：2 10．如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于__________. 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由图可得 . 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $