1.3 空间向量及其运算的坐标表示讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《知识解读•题型专练》

本高中数学讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，先构建空间直角坐标系基础，包括点的坐标及对称点规律，再系统讲解空间向量的坐标表示、线性运算与数量积运算，进而延伸至向量平行、垂直、模长及夹角的坐标关系，形成完整知识支架。 资料以题型为导向，8类题型覆盖从基础到综合应用，例题与变式题结合，培养学生数学思维中的运算能力与推理意识。通过坐标法将空间几何问题代数化，强化数学语言的精确表达，课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过随堂检测查漏补缺，提升空间观念与应用能力。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示（知识解读） 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 求空间点的坐标】 2 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 3 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 4 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 5 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 7 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 8 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 9 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 10 知识点1 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】在空间直角坐标系中，点与N关于面对称，则N坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点2 空间直角坐标系 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 【例2】已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】已知点，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】已知向量，，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3-2】已知则（    ） A．(0，34，10) B．(-3，19，7) C．44 D．23 【变式3-3】已知，则______. 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 【例4】已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【变式4-1】设，向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知向量，，，若，，共面，则x等于（    ） A． B．1 C．1或 D．1或0 知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 【例5】已知空间向量，则（   ） A． B． C． D．4 【变式5-1】已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【变式5-2】若空间向量，，则（   ） A． B．3 C． D．2 【变式5-3】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例6】已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式6-1】设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【变式6-2】已知向量，，且与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式6-3】已知空间四点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数（    ） A．－1 B．1 C．2 D．3 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 【例7】已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【变式7-2】已知向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式7-3】设空间向量，，若，则的值为_____________． 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 【例8】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【变式8-2】在空间直角坐标系中，已知点，则直线AB，AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知在空间直角坐标系中，，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1．在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 5．已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（   ） A． B． C．4 D．6 7．已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知直线的方向向量为，点在上，现有直线外一点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．向量是共面向量 C． D． 10．（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当 时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（知识解读） 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 求空间点的坐标】 2 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 3 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 4 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 5 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 7 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 8 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 9 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 10 知识点1 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】在空间直角坐标系中，点与N关于面对称，则N坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点关于平面对称的特点即可得到答案. 【详解】依题意知，横坐标，纵坐标不变，竖坐标变为原来相反数， 则点N坐标为. 故选：B. 【变式1-1】点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 空间直角坐标系中，点关于平面对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数. ∴ 点关于平面的对称点坐标为 【变式1-2】已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标规律为：坐标保持不变，坐标和坐标取相反数，即对称点为， 所以，点关于轴的对称点的坐标是． 【变式1-3】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标平面的对称点坐标的特征可得对称点的坐标. 【详解】因为点关于坐标平面的对称点坐标为， 所以点关于平面的对称点的坐标为. 故选：D 知识点2 空间直角坐标系 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 【例2】已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 【变式2-1】已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量坐标运算求解即可. 【详解】， . 故选：C 【变式2-2】若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算进行计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 故选：B. 【变式2-3】已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的加法坐标运算可得答案. 【详解】因为，，所以. 故选：D 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】已知点，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算即可. 【详解】由点，，，可得， 所以， 故选:D. 【变式3-1】已知向量，，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由数量积的坐标运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：C 【变式3-2】已知则（    ） A．(0，34，10) B．(-3，19，7) C．44 D．23 【答案】C 【分析】应用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可. 【详解】 ， 所以. 故选：C 【变式3-3】已知，则______. 【答案】4 【分析】根据空间向量的数量积公式计算求解. 【详解】，，所以. 故答案为：. 【题型4 根据空间向量的坐标运算求参数】 【例4】已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示求参数即可. 【详解】已知，，且， 所以. 解得. 故选：A. 【变式4-1】设，向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量共线的充要条件求解即可. 【详解】因为向量，，，所以存在，使得， 即，解得， 故选：C. 【变式4-2】已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得且与不反向，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为、，且与夹角为钝角， 则且与不反向， 若，则，解得， 若与反向，设，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故选：D 【变式4-3】已知向量，，，若，，共面，则x等于（    ） A． B．1 C．1或 D．1或0 【答案】A 【分析】根据，，共面列方程，解方程即可. 【详解】因为，，共面，所以，则，解得. 故选：A. 知识点3 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 【题型5 空间向量模长的坐标表示】 【例5】已知空间向量，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的模长公式运算求解即可. 【详解】因为空间向量，所以. 故选：B. 【变式5-1】已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标线性运算求出，再利用模长公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：B. 【变式5-2】若空间向量，，则（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】据向量的坐标运算求，进而可求模长. 【详解】，所以. 故选：C. 【变式5-3】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】由题意知， 所以. 故选：B 【题型6 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例6】已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 【变式6-1】设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 【变式6-2】已知向量，，且与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，根据向量相等的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且与是共线向量， 所以，所以，解得. 故选：D 【变式6-3】已知空间四点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数（    ） A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据共面的性质进行求解即可. 【详解】，显然这两个向量不共线， 若A，B，C，D四点共面， 则有. 故选：C 【题型7 空间向量垂直的坐标表示】 【例7】已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，即. 【变式7-1】已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 【变式7-2】已知向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据空间向量坐标的线性运算得，再根据结合向量数量积的坐标运算即可得实数的值. 【详解】因为向量，， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：C. 【变式7-3】设空间向量，，若，则的值为_____________． 【答案】8 【分析】由向量的坐标运算求得，然后通过向量垂直数量积为零建立方程，解得的值. 【详解】，， 所以， ∵， ∴，即，∴. 故答案为：8. 【题型8 空间向量夹角（余弦）的坐标表示】 【例8】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，可知， 则. 【变式8-1】已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 【变式8-2】在空间直角坐标系中，已知点，则直线AB，AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角的坐标公式，求直线夹角的余弦值. 【详解】，， 设直线所成角为， . 故选：B 【变式8-3】已知在空间直角坐标系中，，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解. 【详解】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A 随堂检测 【随堂检测】 1．在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由关于平面对称的点的坐标的特点可得结果. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 4．已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的模的计算公式求解即可 【详解】由题知，因为，所以， 解得 5．已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． 6．已知，，，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【详解】因为，所以，故. 7．已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 8．已知直线的方向向量为，点在上，现有直线外一点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合向量的线性坐标运算，利用向量夹角坐标公式求解直线夹角的余弦值即可. 【详解】因为，，所以， 又直线的方向向量为， 所以直线与所成的角的余弦值为 . 故选：B. 9．（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．向量是共面向量 C． D． 【答案】ABC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以共面，B正确； ，所以，C正确； ，D错误. 10．（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当 时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 11．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 【答案】 【详解】因为， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $