解题大招41 三角变换中的两大超级技法：勾股数法、对偶法（3大题型）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦三角变换，系统整合勾股数法与对偶法（正余弦对偶、加减对偶），构建“方法步骤+题型应用+二级结论”的专项突破体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股数法|典例1+3跟踪训练|匹配勾股数→定象限符号→用定义速算|从三角函数定义出发，通过勾股数简化同角求值| |正余弦对偶法|典例2-1、2-2+3跟踪训练|构造对偶式→联立方程组→平方加减消元|基于正余弦对称性，通过对偶式整体求解| |加减对偶法|典例3-1、3-2+3跟踪训练|变运算符号/用和差化积→联立变形→相除/相乘求解|拓展对偶思想至加减关系，结合和差化积公式提升运算效率|

解题大招41 三角变换中的两大超级技法 ——勾股数法、对偶法 知识点01 勾股数法 1．对于一些涉及角的正弦、余弦、正切函数的三角式，可将所给的三角函数值同常见的勾股数联系起来，再结合三角函数的定义秒求得其他同角三角函数值. 如已知，可联想勾股数（3，4，5），即令y=3或-3，则x=4或-4，r=5，从而，. 2．注意速记一些常见的勾股数，然后利用直角三角形处理 ， . 知识点02 正余弦对偶法 若已知条件式中同时含有正弦、余弦，有时可将正弦换成余弦，余弦换成正弦，从而构造对偶式，通过加减消元整体求解. 例如，若已知，要求等三角函数值，可以进行如下操作： 将对偶成，左边的加号对偶成减号，而则对偶成，变换后，式子的结果必然不会再是，此时可以设其结果为，从而得到如下方程组： 再让两边同时平方再相加，可得，从而可出或 的值. 【注意】如果只变中间的加、减号就是加减对偶，如果只变正、余弦（不变加减号），就叫纯正余弦对偶. 知识点03 加减对偶法 加减对偶法是三角函数中一种巧妙的变换技巧，加减对偶法此方法在求值、证明恒等式、解三角形中广泛应用，能有效避开复杂运算，快速找到对称关系. 一种思路是将原式中的加法改为减法，减法改为加法，从而构造与原式“对偶”的式子，通过两式相加或相减，消去部分项，从而简化求解, 另一种思路是利用和差化积、积化和差公式实现加减转化. 例如，已知，求时，可设，，利用和差化积公式，得，.两式相除可求，相加或相乘可求其他量. 知识点03 关于三角变换对偶的二级结论 若，则可用对偶法推出一般式的结论： 若，且或，则恒有． 题型01 勾股数法求值 勾股数法求三角函数值步骤 1．根据已知三角函数值，匹配对应勾股数，确定直角三角形三边；依据三角函数定义，对应出 的值. 2．根据角所在象限，判断的正负符号，恒为正. 3．套用三角函数定义 ，快速算出其余三角函数值. 4．熟记常用勾股数组，提升做题速度. 注意：未给出象限时，有时要分象限讨论，得到多组结果. 【典例1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D．7 2．已知的值为 （ ） A．﹣1 B．﹣2 C． D．2 3．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，，则________，________． 题型02 正余弦对偶法求值 正余弦对偶法步骤： 1.已知同时含有正弦、余弦的等式，交换式子中的正弦与余弦，有时还改变运算符号，构造出对偶式子，设对偶式结果为未知量. 2.将原等式与对偶式联立组成方程组，把两个等式相乘除，或分别平方后相加减，求出对偶式的结果. 3．再联立两组等式，通过加减消元，求解得到正弦、余弦的值. 注意：只改变运算符号是加减对偶；仅互换正弦余弦、不改符号，为纯正余弦对偶. 【典例2-1】已知的值为 （ ） A．﹣1 B．﹣2 C． D．2 【典例2-2】求证：． 【跟踪训练】 1．的值为 . 2．求的值为 . 3． 的值为 . 题型03 加减对偶法值 加减对偶法，可用于三角函数求值与化简。 第一种思路，把原式中的加号改为减号、减号改为加号，构造对偶式子，将两式相加或者相减，消去部分项，简化运算。 第二种思路，借助和差化积、积化和差公式完成加减转化。遇到相关题型，可分别对已知式和待求式设元，套用对应公式变形，再对变形后的式子做相除、相乘等运算，以此求得目标三角函数的值。 【典例3-1】25-26高二·全国·暑假作业）已知，，则________，________． 【典例3-2】的值为 【跟踪训练】 1．（2026高一·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·北京延庆·期中）若x为钝角，，则的值为______. 1．（25-26高一下·甘肃庆阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知，，则（     ） A． B． C． D． 3． 的值为（ ） A． B. C. D.1 4．（25-26高一下·广东广州·期末）若 ，且 ，则的值为（ ） A. B. C. . D.1 5. 的值为（ ） A. B. C.1 D.2 6．（多选）已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·四川达州·阶段检测）已知，且，则________，________． 8．（2026高三下·新疆·竞赛）__________. 9．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知 ，则方程 的解集为 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招41 三角变换中的两大超级技法 ——勾股数法、对偶法 知识点01 勾股数法 1．对于一些涉及角的正弦、余弦、正切函数的三角式，可将所给的三角函数值同常见的勾股数联系起来，再结合三角函数的定义秒求得其他同角三角函数值. 如已知，可联想勾股数（3，4，5），即令y=3或-3，则x=4或-4，r=5，从而，. 2．注意速记一些常见的勾股数，然后利用直角三角形处理 ， . 知识点02 正余弦对偶法 若已知条件式中同时含有正弦、余弦，有时可将正弦换成余弦，余弦换成正弦，从而构造对偶式，通过加减消元整体求解. 例如，若已知，要求等三角函数值，可以进行如下操作： 将对偶成，左边的加号对偶成减号，而则对偶成，变换后，式子的结果必然不会再是，此时可以设其结果为，从而得到如下方程组： 再让两边同时平方再相加，可得，从而可出或 的值. 【注意】如果只变中间的加、减号就是加减对偶，如果只变正、余弦（不变加减号），就叫纯正余弦对偶. 知识点03 加减对偶法 加减对偶法是三角函数中一种巧妙的变换技巧，加减对偶法此方法在求值、证明恒等式、解三角形中广泛应用，能有效避开复杂运算，快速找到对称关系. 一种思路是将原式中的加法改为减法，减法改为加法，从而构造与原式“对偶”的式子，通过两式相加或相减，消去部分项，从而简化求解, 另一种思路是利用和差化积、积化和差公式实现加减转化. 例如，已知，求时，可设，，利用和差化积公式，得，.两式相除可求，相加或相乘可求其他量. 知识点03 关于三角变换对偶的二级结论 若，则可用对偶法推出一般式的结论： 若，且或，则恒有． 题型01 勾股数法求值 勾股数法求三角函数值步骤 1．根据已知三角函数值，匹配对应勾股数，确定直角三角形三边；依据三角函数定义，对应出 的值. 2．根据角所在象限，判断的正负符号，恒为正. 3．套用三角函数定义 ，快速算出其余三角函数值. 4．熟记常用勾股数组，提升做题速度. 注意：未给出象限时，有时要分象限讨论，得到多组结果. 【典例1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故， 则原式. 秒解：由，可取勾股数（3，1，），即x=3，y=1，r=， 所以， 所以=. 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【详解】已知为锐角，，所以可取勾股数，即, 所以， 则， 故． 2．已知的值为 （ ） A．﹣1 B．﹣2 C． D．2 【答案】D 【详解】常见的勾股数处理 由题干可以知道用到的勾股数为, , 代入得. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，，则________，________． 【答案】， 秒杀解（勾股数法）：因为，， 所以可取角x对应的勾股数（4，3，5），则，从而秒解得 ，. 题型02 正余弦对偶法求值 正余弦对偶法步骤： 1.已知同时含有正弦、余弦的等式，交换式子中的正弦与余弦，有时还改变运算符号，构造出对偶式子，设对偶式结果为未知量. 2.将原等式与对偶式联立组成方程组，把两个等式相乘除，或分别平方后相加减，求出对偶式的结果. 3．再联立两组等式，通过加减消元，求解得到正弦、余弦的值. 注意：只改变运算符号是加减对偶；仅互换正弦余弦、不改符号，为纯正余弦对偶. 【典例2-1】已知的值为 （ ） A．﹣1 B．﹣2 C． D．2 【答案】D 【详解】方法一：特殊值法： 因为所以可取则， 直接秒出答案： 方法二：正余弦对偶式处理 ,两式平方相加得 ， , 代入得. 方法三：常见的勾股数处理(见题型一的跟踪训练3) 【典例2-2】求证：． 【分析】本例是三角不等式的证明，运用一般的方法证明是困难的，若能运用对称的思想方法，构造对偶式，则证之极易，且富有美感！ 【详解】证明：由题意， 设， ， 则．① ．② ①＋②，得，，命题得证． 【方法归纳】在高中数学中，对偶法在三角函数中的应用十分广泛.对偶法是通过构造形式相似、具有某种对称关系的对偶关系式，并通过这对对偶关系式进行和、差、积等运算，进而解决数学问题的方法.在三角函数中，有一类求值问题可以利用正弦、余弦函数构造对偶式，利用对称思想来求解. 【跟踪训练】 1．的值为 . 【答案】 【详解】设原式为S，构造正余弦对偶式. 计算，利用积化和差公式，展开后化简，可得. 由于T≠0，两边同时除以T，即可得，即原式结果为. 【反思】正余弦对偶法构造对偶式时，需保证两式的角度、项数完全匹配，避免角度偏差导致的运算错误；若对偶式乘积不为最简，可结合的展开结果联立求解. 2．求的值为 . 【答案】 【详解】设原式为S，构造正余弦对偶式. 计算，利用二倍角公式化简，可得，代入角度诱导公式化简后可得. 由于T≠0，两边同时除以T，即可得，即原式结果为. 3． 的值为 . 【答案】 【详解】构造正余弦对偶式解此题，令 两边相加得 ． 两边相减得 ， 从而有 ，则有 ． 光速解：用二级结论秒杀：若，且， 且或，则恒有．（详见知识点03） 所以 题型03 加减对偶法值 加减对偶法，可用于三角函数求值与化简。 第一种思路，把原式中的加号改为减号、减号改为加号，构造对偶式子，将两式相加或者相减，消去部分项，简化运算。 第二种思路，借助和差化积、积化和差公式完成加减转化。遇到相关题型，可分别对已知式和待求式设元，套用对应公式变形，再对变形后的式子做相除、相乘等运算，以此求得目标三角函数的值。 【典例3-1】25-26高二·全国·暑假作业）已知，，则________，________． 【答案】， 【分析】利用、与的关系，结合所处象限可得空一；结合所得可求出、，再利用同角三角函数基本关系可得空二. 【详解】通法：由，平方得， 即，所以， 又因为，所以，， 则，所以； 由，， 则，， 故. 秒杀解（利用正余弦对偶法）:根据条件构造对偶式， 两式平方相加得，解得t=， 又，所以t<0,即， 所以 则，， 故. 秒杀解（勾股数法）：见题型01跟踪训练3 【典例3-2】的值为 【答案】 【详解】法一：加减对偶法 令 ，则有 ，从而有 . 法二：和差化积公式: . 【跟踪训练】 1．（2026高一·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原式 . 故选：C. 秒解（加减对偶法）：令 ，则有 ， 从而有 . 2．已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意，得到，，再由同角三角函数基本关系，即可求出结果. 【详解】因为是第二象限角，所以，， 又，所以， 即，得， 所以. 故选：C. 秒解（加减对偶法）：因为，所以可设， 两式平方相加得，解得， 又为第二象限角，所以，所以. 3．（25-26高一下·北京延庆·期中）若x为钝角，，则的值为______. 【答案】 【详解】，故， 故. 因为，所以可设， 两式平方相加得，解得， 所以，所以 又为第二象限角，所以，所以. 1．（25-26高一下·甘肃庆阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 秒解：由，可取勾股数（1，2，），则， 所以. 2．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， . 另解：因为，，所以可令x=-3，y=4，r=5，则 …，，. 3． 的值为（ ） A． B. C. D.1 【答案】A 【详解】记（由诱导公式）. 设 ，则 ，但更经典： ，所以 ，即 . 因此 . 4．（25-26高一下·广东广州·期末）若 ，且 ，则的值为（ ） A. B. C. . D.1 【答案】C 【详解】构造对偶式： 则 ，得 再由 ，得： . 5. 的值为（ ） A. B. C.1 D.2 【答案】B 【详解】令 ， 构造对偶式： ， 则 6．（多选）已知，，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于选项A，由，式子两边同时平方，得，即，又，上式化为，故A错误； 对于选项B，，则，由，，即， ，，故B错误； 对于选项C，由，解得，，故C错误； 对于选项D，，故D正确. 故选AD. 7．（25-26高一下·四川达州·阶段检测）已知，且，则________，________． 【答案】 ， 【详解】因为，则，解得 又，且，所以， 又，所以， 由，解得，所以， 则. 秒解（加减对偶法）： 因为，则，解得 又，且，所以， 因为，所以可设， 两式平方相加得，解得， 由，解得，所以， 则. 8．（2026高三下·新疆·竞赛）__________. 【答案】/0.75 【详解】根据二倍角的余弦公式，有，， 根据和差化积公式，有， 根据积化和差公式，有， 因此. 秒解：由知识点03的秒杀公式得 . 9．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以. ，所以，所以. 所以，，所以. 所以，所以. 所以，化简得：，解得：，或. 因为，所以，所以,故选：B. 秒解：取勾股数（8，15，17），则，，以下同前解. 10．已知 ，则方程 的解集为 【答案】 ， ｝ 【详解】 若 令 ，构造 对偶式： 则： ① ② 由①+②得： ， 又 或 或 或 或 . 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $