4 三角函数与解三角形 综合测试（三） - 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形综合应用，以拔高题型构建从性质探究到跨模块建模的逻辑体系 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动区间最值讨论|选择6|含参数三角函数在给定区间的最值分析|结合三角函数单调性与分类讨论思想，深化函数性质应用| |对称中心补集求参|选择9|利用对称中心存在条件求参数范围|基于三角函数对称中心公式，通过补集思想简化参数求解| |零点数列分组求和|解答15|正零点构成数列的分组求和|融合三角函数零点求解与数列分组求和，体现数形结合| |整数条件不定方程分析|解答17|三角形边长为整数的不定方程求解|结合余弦定理与整数性质，强化方程思想在解三角形中的应用| |平面几何综合建模|解答19|正方形中三角形周长与角度关系|通过几何图形构建三角函数模型，培养数学建模与运算能力|

2027届高三数学一轮复习综合测试 4 三角函数与解三角形（三） （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 本卷定位：拔高卷，重点考查动区间最值讨论、对称中心补集求参、零点数列分组求和、整数条件不定方程分析及平面几何综合建模. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 2.已知角 满足 ，则 （　　） A. B. C. D. 3.已知 均为锐角， 为钝角，若 ，则 的最大值为（　　） A. B. C. D. 4.已知函数 ，若 ，则 （　　） A. B. C. D. 5.已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 6.若函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ，则（　　） A. B. C. D. 7.在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，且 ，则 面积的最大值为（　　） A. B. C. D. 8.在 中，内角 所对的边分别为 ，，，则角 的大小为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.若函数 的图象在 内不存在对称中心，则 的取值可以是（　　） A. B. C. D. 10.已知函数 的部分图象如图，则（　　） A. 是 图象的一条对称轴 B. 在区间 上单调递增 C. 在区间 上的零点之和为 D. 函数 的零点个数为 11 个 11. 中，角 、、 所对的边分别为 、、，则“ 是直角三角形”的充分条件是（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 13. 在区间 上的值域为 ＿＿＿＿＿＿. 14.在 中，角 的对边分别为 ，若 ，， 的面积为 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（15分）设函数 ，，将函数 的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列 ，且 . （1）求 的值； （2）求函数 图象的对称中心； （3）求数列 的前 项和 . 16.（13分） 中，角 所对的边分别为 且 . （1）若 ，求 的值； （2）求 的最大值. 17.（15分）在 中，角 的对边分别为 ，已知 且 均为整数. （1）求 ； （2）设 的中点为 ，，求 的长. 18.（17分）已知 的内角 、、 所对的边分别为 ，，，设向量 ，，且 . （1）求角 ； （2）若 ， 的面积为 ， 为 边的中点，求 的长. 19.（17分）如图，正方形 的边长为 1，， 分别为边 ， 上的点． （1）若 ，，求 ； （2）当 的周长为 2 时，求 的大小． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习综合测试 4 三角函数与解三角形（三） 解析卷 答案速查表 1 2 3 4 5 D D B D C 6 7 8 9 10 B A C AC BCD 11 12 13 14 15 BD （1）； （2）； （3） 16 17 18 19 （1）；（2） （1）；（2） （1）； （2） （1）；（2） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知 ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】由已知条件直接求出 的值，再将待求分式的分子分母同时除以 ，转化为关于 的齐次代数式代入计算即可. 【解析】由题意可得 ，故 ，故选 D. 2.已知角 满足 ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】观察待求角与已知角的关系，将 变形为 ，利用诱导公式转化为已知角 的正弦值. 【解析】.故选 D. 3.已知 均为锐角， 为钝角，若 ，则 的最大值为 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】利用两角和正弦公式展开，等式两边同除以 得到 ，再由两角和正切公式结合基本不等式求解最值. 【解析】由 可得 ，由于 ，等式两边同时除以 可得 ，，即 ，，当且仅当 时取等号，因此 ，故选 B. 4.已知函数 ，若 ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【思路】由 可知 处取得函数的最大值，结合辅助角公式求出参数 ，再利用诱导公式与周期性求值. 【解析】由题意得 是 的最大值，所以 ，解得 .所以 .故选 D. 5.已知 ，则 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】通分后分离参数 ，将分子转化为含二倍角及差角公式的形式，结合特殊角三角函数值进行逆向化简. 【解析】由 可得 .故选 C. 6.若函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ，则 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】确定自变量在区间 时整体相位的跨度为 ，通过平移区间考察其能够覆盖正弦波的最值点及端点值的极值情况. 【解析】 时，，其中 ， 显然 的最小值为 ，只需 内有 即可， 当 时， 取得最大值，最大值为 ， 故 ，A 错误，B 正确； 同理 的最大值为 ，只需 内有 即可， 当 时， 取得最小值，最小值为 ， 故 ，CD 错误.故选 B. 7.在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，且 ，则 面积的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【思路】由余弦定理结合已知等式求出 与 ，再利用基本不等式 确定 的最大值，进而得到面积的最大值. 【解析】∵ ，∴ ， ∴ .∵ ，∴ ， 当且仅当 时，等号成立， 则 的面积 ， 则 面积的最大值为 .故选 A. 8.在 中，内角 所对的边分别为 ，，，则角 的大小为 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】利用正弦定理实现边角互化，将条件转化为角的关系，结合两角和差的正弦公式及内角和定理化简求出 . 【解析】由正弦定理得 ， 即 ， 展开得 ， 两边同除以 ，得 ， 即 . ∵ ，∴ ， ∴ . ∵ ，∴ .故选 C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.若函数 的图象在 内不存在对称中心，则 的取值可以是 A. B. C. D. 【答案】AC 【思路】先由正弦函数的对称中心公式求出函数对称中心的横坐标通式，列出对称中心落在区间 内的条件并反向求其补集，再逐项代入验证. 【解析】由 ，得到 ，所以 的对称中心为 ， 若 在区间 内存在对称中心，则存在 ，使 ， 得到 ，又 ，则 可以取 ， 令 ，得到 ；令 ，得到 ， 又 的图象在 内不存在对称中心，则 取值不能在上述区间内， 结合各个选项， 的取值可以是 .故选 AC. 10.已知函数 的部分图象如图，则 A. 是 图象的一条对称轴 B. 在区间 上单调递增 C. 在区间 上的零点之和为 D. 函数 的零点个数为 11 个 【答案】BCD 【思路】先用平方差公式与二倍角公式化简解析式为余弦型函数，由图象确定周期及初相，再依次结合对称轴、单调区间、零点及两函数图象交点个数进行逐项判定. 【解析】. 由图象可知，，所以 ，即 ，解得 . 所以 ，又图象经过点 ，且在 处递增趋势， 所以 ，解得 ， ∵ ，∴ . 所以 . 选项 A：令 ，则 ， 即函数 的对称轴为 ，故 不满足，A 错误. 选项 B：当 时，， 又 在 上单调递增，所以 在区间 上单调递增，故 B 正确. 选项 C：令 ，即 ，解得 ， 又 ，所以 或 ，零点之和为 ，故 C 正确. 选项 D：函数 定义域为 . 令 ，则 ， 易知 ，最小正周期为 . 令 ，，， 在定义域 上单调递增，所以大致图像如下： 由图可知，曲线 与 有 11 个交点，故 D 正确. 故选：BCD. 11. 中，角 、、 所对的边分别为 、、，则“ 是直角三角形”的充分条件是 A. B. C. D. 【答案】BD 【思路】分别对四个选项的条件进行正余弦定理化简或三角恒等变换，推导三角形内角的关系，进而判断是否能唯一推出直角三角形. 【解析】A：，且 ，则 ， 若 为锐角，则 且 ，此时 ，即 ； 若 为钝角，则 且 ，此时 ，即 ； 综上， 为直角三角形或钝角三角形，故 A 不满足题意； B：，由正弦定理得 ， 即 ，得 ， 由 ，解得 ，又 ，所以 ， 即 为直角三角形，故 B 符合题意； C：由 ，得 ， 整理得 ，所以 或 ， 即 为等腰三角形或直角三角形，故 C 不符合题意； D：， ， 即 ，由 ，得 ， 即 ， ， 得 ，所以 或 ，解得 或 ， 即 为直角三角形，故 D 符合题意. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】化切为弦后交叉相乘化简，利用两角和的余弦公式建立 与 的三角函数关系，结合内角和求出角 . 【解析】由 ，得 ， 整理得 ，即 . ∵ ，，∴ . ∴ . 又 ，∴ . 13. 在区间 上的值域为 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】利用辅助角公式将函数化为单一正弦函数，结合自变量区间确定辅助角相位的范围，进而求解正弦函数的最值. 【解析】， 令 ，则 . ∵ ，∴ . 故 在区间 上的值域为 ，即 . 14.在 中，角 的对边分别为 ，若 ，， 的面积为 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】由三角形面积公式求出两边乘积 ，再由余弦定理将 用 和 表示，代入即可求解边长 . 【解析】∵ ，即 ，， 由余弦定理，， 解得 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（15分）设函数 ，，将函数 的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列 ，且 . （1）求 的值； （2）求函数 图象的对称中心； （3）求数列 的前 项和 . 【答案】（1）；（2）；（3）. 【思路】第（1）问令解析式为0求解零点通式，结合最小正零点确定 ；第（2）问利用正弦函数对称中心求解公式；第（3）问将零点按奇偶项分别归纳为等差数列，再进行分组求和. 【解析】（1）令 得 或 ，其中 ， 解得 或 . 2分 所以当 时， 的最小正零点为 ， 依题意有 ，故 . 4分 （2）由（1）知 ，令 ，解得 ， 所以函数 图象的对称中心为 . 7分 （3）由（2）可知 满足 或 ，依据三角函数的特性可知， 在一个周期内有两个零点，所以最小的两个正零点为 ，周期 ， 所以数列 的奇数项构成了一个以 为首项， 为公差的等差数列，数列 的偶数项构成了一个以 为首项， 为公差的等差数列， 所以 11分 所以 ， 所以 . 15分 16.（13分） 中，角 所对的边分别为 且 . （1）若 ，求 的值； （2）求 的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【思路】第（1）问用正弦定理将边化角，得到正切关系式后结合诱导公式求 ；第（2）问结合余弦定理及正弦定理转化为角 的三角函数，利用辅助角公式求最值. 【解析】（1）由正弦定理得 ， 即 ， 2分 于是 ， 两边同除以 ，得 ， 4分 若 ，则 ， 所以 ， 因此 的值为 . 6分 （2）由余弦定理得 ， 8分 由正弦定理 ， 11分 当且仅当 ， 或 ， 时取等号， 所以 的最大值为 . 13分 17.（15分）在 中，角 的对边分别为 ，已知 且 均为整数. （1）求 ； （2）设 的中点为 ，，求 的长. 【答案】（1）；（2）. 【思路】第（1）问由边的大小关系推出角的大小范围，结合正切函数的单调性及整数条件确定 ；第（2）问利用两角和正切公式建立整数不定方程求解 ，再用正余弦定理求中线长. 【解析】（1）在 中，∵ ，∴ . 1分 又 ，∴ ，∴ . 3分 且 在 内单调递增，∴ . 5分 又 为整数，∴ ，即 . 6分 （2）∵ ，∴ ， 即 . 8分 且 ，设 ，由 ，可得 ， 由于 ， 均为整数，，解得 或 ， 解得 ，即 . 10分 所以 ，. 11分 在 中，由正弦定理得 ， 所以 ，. 13分 在 中，由余弦定理得 ， 所以 . 15分 18.（17分）已知 的内角 、、 所对的边分别为 ，，，设向量 ，，且 . （1）求角 ； （2）若 ， 的面积为 ， 为 边的中点，求 的长. 【答案】（1）；（2）. 【思路】第（1）问利用向量共线坐标表示列出关系式，经正弦定理化为边的关系后由余弦定理求角 ；第（2）问由面积公式求出边 ，再在 中运用余弦定理求解中线长. 【解析】（1）∵ ，，且 ， ∴ ， 2分 由正弦定理可得：，即 ， 5分 由余弦定理得：，∴ ， 7分 又 ，∴ . 9分 （2）∵ ， 由三角形面积公式得：，解得 ， 12分 ∵ 为 边的中点，∴ ， 14分 在 中，， 即 ， ∴ . 17分 19.（17分）如图，正方形 的边长为 1，， 分别为边 ， 上的点． （1）若 ，，求 ； （2）当 的周长为 2 时，求 的大小． 【答案】（1）；（2）. 【思路】第（1）问在直角三角形中利用特殊角正切求出线段长度，再在 中用勾股定理求解；第（2）问设线段长度与角变量，结合周长条件建立代数等式，利用两角和正切公式证明 . 【解析】（1）由题意知 ， 2分 则 ， 4分 ∴ . 7分 （2）设 ，，，， 则 ，. 9分 由 的周长为 2 可得 ，即 ， 两边同时平方可得 ，化简得 . 12分 ∴ . 15分 又 ∵ ，∴ . ∴ . 17分 4 三角函数与解三角形（三） 方法总结 1. 同角三角函数基本关系与诱导公式化简：对于分式型正弦、余弦混合求值题，优先同除 转化为正切求值；遇到大角或含参角时，通过寻找与已知角相差 的拆角技巧，结合诱导公式实现降角与消元.（第1、2题） 2. 三角恒等变换与辅助角公式构造：对于形如 的结构，通过提取 转化为单一正弦函数；在处理两角和差正切问题时，需熟练联立和积关系 与 ，结合基本不等式进行最值转化.（第3、4、5题） 3. 三角函数图象与性质的综合分析： （1） 动区间上的三角函数最值问题，关键在于将区间转化为整体相位的取值范围，分析区间长度与周期的关系，结合对称轴与最值点进行端点分析； （2） 对称中心与零点分布的参数范围问题，先解出通项，再利用集合包含或补集思想建立不等式组求解.（第6、9、10、13题） 4. 正弦定理与余弦定理的边角互化策略： （1） 若等式中含有边的二次齐次式或余弦项，优先使用余弦定理化角为边； （2） 若等式中边角混杂且含正弦项，优先运用正弦定理化边为角，利用两角和差公式展开消项； （3） 三角形形状判定需注意直角与等腰可能并存或存在钝角等多种解的情形，避免漏解.（第7、8、11、14、16题） 5. 解三角形综合建模与中线计算：求解三角形中线长时，可采用“中线定理”（向量数量积转化）或在共用互补角的两个子三角形中分别运用余弦定理联立消元；几何平面图形中的角计算常借助正切函数设角，利用代数关系消元后套用两角和正切公式破题.（第12、15、17、18、19题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $