2027届高三数学一轮复习阶段测试卷（范围： 三角函数与解三角形）

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形核心考点，以题构建“概念-公式-应用”逻辑链条，覆盖基础与综合题型，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|选择1-3、填空12|考查正弦定理、二倍角公式、奇偶性判定|从三角函数定义到诱导公式、恒等变换的推导应用| |图像与性质|选择4、7、10、11|结合图像变换、单调性、对称性求参数|由函数解析式到图像特征，再到性质应用的逻辑递进| |解三角形综合|选择5、8、9、填空14、解答15-18|涉及面积最值、角平分线、多解问题|以正余弦定理为核心，联结三角形边角关系与不等式应用| |实际应用|填空13|无人机测量高度的俯角问题|将解三角形模型应用于现实情境，体现数学应用意识|

2027高三一轮复习阶段测试卷 （范围： 三角函数与解三角形） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知中，，，，则等于（   ） A． B．或 C． D．或 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若为偶函数，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 5．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、、，， ，则下列说法中错误的是（    ） A． B．△ABC的外接圆半径为 C．△ABC面积的最大值为 D．△ABC的内切圆半径的最大值为 6．已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 8．在中，，在边上，平分．若，则的最小值是（    ） A．20 B．18 C．17 D．16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中内角的对边分别为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，，且有两解，则的取值范围是 10．已知函数，则对于下列结论，其中错误的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 11．已知定义在上的函数（其中）在区间上有且仅有3个零点，且该函数的图象关于点中心对称，也关于直线轴对称．现考虑函数，则函数的零点可以是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则______. 13．黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是___________m．（参考数据：） 14．已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为______． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数，． (1)求的值； (2)若，，且，求的值． 16．在中，角所对的边分别是，已知，． (1)求角的大小； (2)若，是上的点，平分，求的长． 17．已知函数（其中常数）． (1)若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间； (2)若，，求函数的值域及零点． 18．已知中，，，所对的边为，，，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若边，且为锐角三角形，求周长的取值范围； (3)若为中点，，且面积为，求边． 19．已知向量，，函数. (1)求的周期和单调递增区间； (2)若对任意，方程都有解，求实数的取值范围； (3)设，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A B D D B ACD ABD 题号 11 答案 BD 1．D 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又，故或． 2．A 【分析】根据二倍角公式及同角的三角函数关系求解即可. 【详解】因为，故， 则原式. 3．C 【详解】由题意得： ， 因为为偶函数， 所以， 解得：， 当时，可得. 4．A 【分析】利用三角函数的图象求出函数的解析式，再利用三角函数图象变换可得出函数的解析式. 【详解】由图可知，函数的最小正周期满足，所以最小正周期， 故，此时； 将最低点代入可得，即， 所以，可得. 又，所以，所以； 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可得． 5．B 【分析】先利用余弦定理化简已知条件求出边，再结合正弦定理、基本不等式、等面积法逐一判断选项，选出错误结论. 【详解】选项A： 由余弦定理得 ，结合已知，得，故A正确，不符合题意； 选项B： 设外接圆半径为，则 ，与选项中不符，故B错误，符合题意； 选项C： 由余弦定理得，即 ， 三角形面积，即面积最大值为，故C正确，不符合题意； 选项D： 设内切圆半径为，得. 当时，取最大值4，取最小值4， 此时： 故D正确，不符合题意 6．D 【详解】因为，所以，所以， 又，所以. 因为，，所以，所以. 所以. 7．D 【分析】由零点与对称轴的位置关系推出为正奇数， 再根据单调区间长度得，逐一排除使区间内出现对称轴的情况即可求解. 【详解】由题意得， 两式相减得， 整理得，所以为正奇数， ，解得，所以， 已知为对称轴，且余弦函数对称轴之间的距离为， 所以对称轴，若在区间上是单调函数， 则不存在整数使位于区间， 当时，取，得位于区间内，故舍去， 当时，取，得位于区间内，故舍去， 当时， 区间内没有对称轴，满足单调性，故. 8．B 【分析】根据三角形的面积公式以及基本不等式求解即可. 【详解】   已知AD是的角平分线，，因此. 则. 设，，则， 化简得. . 由基本不等式，，当且仅当即时取等号. 所以，此时，满足条件，故最小值为18. 9．ACD 【分析】根据题意，利用正弦定理和正弦函数、余弦函数的单调性，结合选项，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】设外接圆的半径为， 对于A，若，由正弦定理得，则，所以A正确； 对于B，若，可得， 因为，可得或， 即或，所以是直角三角形或钝角三角形，所以B不正确； 对于C，若为锐角三角形，可得，所以， 因为，可得， 则且， 所以，所以C正确； 对于D，若，，可得， 要使得有两解，则满足，即的取值范围是，所以D正确. 10．ABD 【分析】利用三角恒等变换整理可得，即可求最小正周期，即可判断A；以为整体，结合正弦函数单调性判断B；代值检验，根据对称性的性质判断CD. 【详解】由， A：正弦函数的最小正周期，错误， B：当时，， 而在上单调递减，在上单调递增， 因此在区间上不单调，错误； C：当时，，而， 所以的图象关于对称，正确， D：的对称中心满足，得， 对称中心的纵坐标为，即对应的对称中心为，错误. 11．BD 【详解】由图象中心对称性可知，因此，； 由图象轴对称性可知，因此，； 联立以上两式可得． 设函数的最小正周期为T．由于在区间上有且仅有3个零点，所以且，因此，结合前面的可能取值，可知． 由可知，但考虑到“”，所以． 综上可知．经检验，其在区间上的所有零点为，符合题意． 所以． 由于等价于，，即，所以的零点为…，，…．因此BD正确． 12．/ 【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以. 13．51 【分析】通过俯角构建直角三角形，利用正切函数求解水平距离和高度差. 【详解】如图所示， 由题意可得，，，，所以四边形是矩形， 所以，设，因为，所以， 在中，，所以，所以， 所以，所以黄鹤楼的高度约为. 14． 【分析】根据余弦定理求得，利用正弦定理和三角恒等变换化简可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】由，，则， 即，又， 又，得. 由正弦定理得， 所以， 故 ， 又，所以， 则，得， 所以，当且仅当时取等号， 又的面积， 所以的面积的最大值为. 15．(1) (2) 【分析】（1）先根据诱导公式化简，可得，再利用齐次式求解即可； （2）先根据同角三角函数的基本关系求得，，，进而根据两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1）由， 所以， 则． （2）由（1）可知，，即， 而，则，即， 又，则，即， 而，则， 又，所以， 所以 ， 则． 16．(1) (2) 【详解】（1）已知，由余弦定理可得， 因为，代入得，所以， 所以，所以， 因为，所以． （2）因为，，由余弦定理得， 即，又因为，所以， 由面积公式可得，， 所以，可得． 17．(1)，； (2)；. 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）化简得函数解析式，利用整体思想及三角函数的性质求值域与零点即可. 【详解】（1）由， 若函数的最小正周期是，则，即，所以， 令，解之得， 所以函数的单调递增区间为； （2）由（1）知：，若，则， 则时，有，则， 故，函数值域为， 而在上，只有，即， 即函数的零点为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得到，由正弦定理，化简得到，结合余弦定理，即可求解； （2）运用正弦定理边化角，运用三角函数计算范围即可； （3）由，求得，根据，利用向量的数量积的运算律，求得，结合余弦定理，即可求解． 【详解】（1）由向量，， 因为，可得， 又由正弦定理得，整理得， 由余弦定理，可得， 又因为，所以． （2）由于为锐角三角形，，所以， 即，由正弦定理得， 则 , 因为，则，所以， 所以周长. （3）因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 即，可得， 所以，所以． 19．(1)的周期为，单调增区间为， (2) (3) 【分析】（1）先根据平面向量数量积的运算法则结合三角恒等变换公式化简函数解析式，再分析三角函数的性质. （2）转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. （3）先把问题转化为.求得，结合换元法和二次函数的值域求，由可求的取值范围. 【详解】（1）由题意可得： 所以，，． 由正弦曲线的单调区间为，， 可知，， 解得：，. 综上，的周期为，单调增区间为，. （2）当时，， 故，即． 令，于是方程在有解， 可转化为在有解． 当时，取得最小值； 当或时，取得最大值2． 故的取值范围为． （3）因为对任意，总存在，使成立， 所以有 由（1）可知，显然， 下面求的最大值， ． 令，则． 当时，在处取得最大值：， 由，得； 当时，在处取得最大值：， 由，得． 综上，的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $