解题大招42 三角换元术，换出一片新天地（5大题型）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以“定义-模型-应用”为逻辑链，系统构建三角换元方法体系，通过11种核心模型破解函数、解析几何等模块的化简、性质、轨迹及最值问题，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|2个（定义+11模型）|换元法定义及三角换元核心模型（圆、椭圆等参数方程）|从一般换元到三角换元特殊化，建立“代数结构-三角模型”对应关系| |题型|5类（典例10+跟踪16+综合14）|整体换元化简、复合函数性质转化、齐次式处理、轨迹参数化、最值三角函数化|按“简单到复杂”梯度设计，典例覆盖高考高频场景，实现方法迁移与应用|

解题大招42 三角换元术，换出一片新天地 知识点01 换元法的定义 换元法亦称辅助未知数法，又称变元代换法.解方程组的一种重要方法。它是普遍应用的一种方法，其一般意义是将由一个或几个变元构成的数学表达式中的一部分用新的变元表示，以利于问题的解决.这里仅给出在解方程(组)和解不等式(组)中的应用. 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用. 知识点02 三角换元法 在某些特定环境中，引入三角函数帮助我们化简往往能达到很好的效果，常见的三角换元模型如下： (1)若出现代数式（r >0）,则可设. (2)若出现代数式（）,则可设. (3)若(r>0),则可设 特别地，若，则可设 注意：上述三角换元实质是圆的参数方程. (4) 若,则可设 注意：当a与b不相等时，上述三角换元实质是椭圆的参数方程. (5) 若,则可设 注意：上述三角换元实质是双曲线的参数方程. (6)若,则可设 (7)若，则可设 注意：上述三角换元实质是双曲线的参数方程. (8)若则可设 (9)若则可设其中， (10)若则可设其中， (11)若则可设其中. 题型01 整体换元化简三角函数式 在针对复合函数或者比较复杂的式子时，可以将复杂的式子或者内函数换成一个元，一层一层研究. 【典例1-1】若，则（ ） A. B. C. D. 【典例1-2】若，，则（ ） A. B. C. D. 【跟踪训练】 1．若，则等于（ ） A． B． C． D． 2．若, 则 . 3．已知θ是第四象限角，且sin(θ＋)=，则tan(θ–)= . 题型02 整体换元破解三角函数性质问题 主要途径有二： 1.对于函数的性质问题，常常整体换元，即设，从而化繁为简，将复合函数转化为简单函数，再类比正弦函数、余弦函数或正切函数的性质解决问题. 2.对于三角函数与二次函数、指数函数、对数函数等等函数复合的函数，往往将整个三角函数设为t,通过换元将所给函数简单化，再借助相应函数的性质加以研究. 【典例2-1】若，则是第（    ）象限角 A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四 【典例2-2】函数，的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【典例2-3】求函数的单调增区间为 【跟踪训练】 1．已知函数. （1）求函数在区间上的值域； （2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围. 2．已知奇函数在上有定义，在上是增函数，，又知函数，，集合恒有，恒有，求． 3．已知函数部分图象如图所示. （1）求函数的解析式，并求出的单调递增区间. （2）将函数的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移个单位，得到的图象，若存在使得等式成立，求实数的取值范围. 题型03 三角换元破解齐次式问题 在某些式子中，用常规换元法有时达不到化简的目的，尤其是在齐次式子中，没办法通过普通换元成二次非齐次式子，此时，可换为三角函数帮助我们解决问题. 【典例3】函数的值域为 【跟踪训练】 1．函数的值域为 2．函数的最大值为 . 3．（2026高三上·全国·专题练习）求函数的最小值___________ 题型04 三角换元破解点的轨迹问题 当遇到与直线、圆或者椭圆、双曲线相关的动点轨迹问题时，常设出相应曲线的参数方程，借助三角换元，将动点坐标换成三角函数表示，再通过消参的方法求得动点的轨迹方程. 【典例4-1】.已知点P是圆x2＋y2=4上的一个动点，点Q是x轴上的定点， 坐标为(6，0)， 当点P在圆上运动时，则线段PQ中点M的轨迹方程为 . 【典例4-2】已知A、B分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求的重心G的轨迹参数方程，并说明它是什么图形． 【跟踪训练】 1．点P(4,－2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A.(x－2)2+(y+1)2=1 B.(x－2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y－2)2=4 D.(x+2)2+(y－1)2=1 2．（2026·福建·三模）在平面直角坐标系中，已知，若圆上存在点，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．当在内变动时，求抛物线顶点的轨迹． 题型05 三角换元破解最值或范围问题 对于与圆与圆锥曲线上的动点有问的最值或取值范围问题，常设出相应曲线的参数方程，即通过三角换元，将点的坐标转化三角函数，借助正、余弦、正切函数的性质，把二元最值化为单三角函数值域求解，避开复杂代数消元与判别式，简化距离、斜率、线性式、面积范围计算，同时三角换元还要注意三角取值范围限制. 【典例5-1】（25-26高二下·宁夏银川·期末）设点P为圆上的一动点，点Q为椭圆上的一动点，则的最大值为_________. 【典例5-2】（2027高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·上海·期中）设为椭圆 上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江舟山·期末）双曲线的离心率，直线为该双曲线斜率为正的一条渐近线，已知为该双曲线右支上一动点，点为点关于直线的对称点，则到双曲线另一条渐近线距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川巴中·二模）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026·河北廊坊·模拟预测）在单位圆O：上任取一点，圆O与x轴正向的交点是A，将OA绕原点O旋转到OP所成的角记为，若x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ） A．是偶函数，是奇函数； B．在上为减函数，在上为增函数； C．在上恒成立； D．函数的最大值为. 1．已知，则（ ） A. B. C. D. 2.（2026·福建省月考)已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 3．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若点在圆 上，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．若关于的方程有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北廊坊·模拟预测）设点为圆上一点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 6．（25-26高一下·山东滨州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江衢州·期末）若实数，满足，则的最大值为______． 8．（24-25高一下·上海·阶段检测）设 ，若 ，则 的最大值等于_____. 9．（25-26高二下·上海·阶段检测）设椭圆上有一弦长，则的面积的取值范围是__________． 10．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知实数，满足，则代数式的最大值为______. 11．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知实数满足．则的最大值是______． 12．（24-25高三下·上海·阶段检测）点为圆上的一个动点，点，则向量在方向上的投影数量的最大值为__________. 13．已知：定义在R上的函数，满足：函数最大值为2，其图象上相邻的两个最低点之间距离为，且函数的图象关于点对称． （1）求函数的解析式 （2）若向量，，．设函数，求函数的值域． 14．把的图象做保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍的变换得的图象，已知图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若，求在上的值域. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招42 三角换元术，换出一片新天地 知识点01 换元法的定义 换元法亦称辅助未知数法，又称变元代换法.解方程组的一种重要方法。它是普遍应用的一种方法，其一般意义是将由一个或几个变元构成的数学表达式中的一部分用新的变元表示，以利于问题的解决.这里仅给出在解方程(组)和解不等式(组)中的应用. 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用. 知识点02 三角换元法 在某些特定环境中，引入三角函数帮助我们化简往往能达到很好的效果，常见的三角换元模型如下： (1)若出现代数式（r >0）,则可设. (2)若出现代数式（）,则可设. (3)若(r>0),则可设 特别地，若，则可设 注意：上述三角换元实质是圆的参数方程. (4) 若,则可设 注意：当a与b不相等时，上述三角换元实质是椭圆的参数方程. (5) 若,则可设 注意：上述三角换元实质是双曲线的参数方程. (6)若,则可设 (7)若，则可设 注意：上述三角换元实质是双曲线的参数方程. (8)若则可设 (9)若则可设其中， (10)若则可设其中， (11)若则可设其中. 题型01 整体换元化简三角函数式 在针对复合函数或者比较复杂的式子时，可以将复杂的式子或者内函数换成一个元，一层一层研究. 【典例1-1】若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】令，则，， ，故选D． 【典例1-2】若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】令，，得，则， 即，整理得，且， 那么，则. 故选：C. 【跟踪训练】 1．若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，化简变形可得，令， 所以，，所以， 2．若, 则 . 【答案】 【解析】令， ， 所以，，即 3．已知θ是第四象限角，且sin(θ＋)=，则tan(θ–)= . 【答案】 【详解】θ是第四象限角，由题意，可得： 令，则 ， 题型02 整体换元破解三角函数性质问题 主要途径有二： 1.对于函数的性质问题，常常整体换元，即设，从而化繁为简，将复合函数转化为简单函数，再类比正弦函数、余弦函数或正切函数的性质解决问题. 2.对于三角函数与二次函数、指数函数、对数函数等等函数复合的函数，往往将整个三角函数设为t,通过换元将所给函数简单化，再借助相应函数的性质加以研究. 【典例2-1】若，则是第（    ）象限角 A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性可得，根据倍角公式结合齐次式问题可得，即可得结果. 【详解】因为在上单调递减，且，可得. 从而，这说明，所以存在，且 . 由，可得，所以是第一或三象限角.故选：B. 【典例2-2】函数，的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】换元法：令，可得，，由二次函数在闭区间求解最小值即可． 【详解】函数， 令，由可得， ， 由二次函数可知当时，单调递增， 当时，函数取最小值， 【典例2-3】求函数的单调增区间为 【答案】 【详解】设,则的单调增区间为; 则，解得 【跟踪训练】 1．已知函数. （1）求函数在区间上的值域； （2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用及二倍角公式和辅助角公式将函数化简整理为，再根据正弦函数的图像与性质求出函数的值域； （2）由已知得由，得，且或，结合方程在区间上至少有两个不同的解，可得，解不等式可得解. 【详解】（1）， 令，， 由的图像知，，即，， 所以函数的值域为. （2） ，，即 ，，且或 由于方程在区间上至少有两个不同的解， 所以，解得， 所以的取值范围为. 2．已知奇函数在上有定义，在上是增函数，，又知函数，，集合恒有，恒有，求． 【答案】 【分析】根据题意可知条件为，在上恒成立，记，且，设，将问题转化为函数在的最小值大于0，求的值，再利用二次函数的图象与性质，讨论对称轴所在的区间即可求解. 【详解】由于奇函数在上是增函数，则在上也是增函数. 又因为，所以. 因此，同时满足及的条件为，. 即， ， . ① 记，则. 又设. 则本题等价于：求，使，. 这又相当于函数在的最小值大于0时，求的值. 考虑函数图象的对称轴相对于的不同位置. （1）当时，有最小值.解.此时无解. （2）当时，为最小值.解， 得. （3）当时，为最小值.解，得. 综合（1）、（2）、（3）得. 【点睛】本题考查了换元法求函数的最值，二次函数的图象与性质，解题的关键是将问题转化为求函数在的最小值大于0时，的值，考查了运算能力、分析能力以及转化能力. 3．已知函数部分图象如图所示. （1）求函数的解析式，并求出的单调递增区间. （2）将函数的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移个单位，得到的图象，若存在使得等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）结合图象可得，则，再利用正弦函数的性质，采用整体代入法求解其单调区间； （2）由图象变换得，将条件转化为在上有解，即可得实数的取值范围. 【详解】（1）由图象可知：，所以，则， 又得，又，所以， 所以， 由得，， 所以的单调递增区间为； （2）由图象变换得，所以存在使得等式成立，即在上有解， 令，则， 所以，即. 题型03 三角换元破解齐次式问题 在某些式子中，用常规换元法有时达不到化简的目的，尤其是在齐次式子中，没办法通过普通换元成二次非齐次式子，此时，可换为三角函数帮助我们解决问题. 【典例3】函数的值域为 【答案】 【详解】根据题意得解得， 令， 则 其中， ∵，∴，∴ 【跟踪训练】 1．函数的值域为 【答案】 【详解】 ∵,∴ ∴ ， ∴,∴,∴ ∴，故所求值域为. 2．函数的最大值为 . 【答案】 【详解】易知定义域，，则 不妨令则， ，当且仅当时， 3．（2026高三上·全国·专题练习）求函数的最小值___________ 【答案】 【分析】通过三角换元法设，转换为，再将问题转化为关于的一元二次方程有解的问题，利用求解. 【详解】由题知且，解得，设，则， 整理原函数可得， 则，等式两侧同时平方可得， 因为，所以代入上式可得， 设，则， 由题意知关于的一元二次方程在上有解，即知, 解得，即或， 由函数，可知， 所以，即知，当时， 可知，解得，， 即函数的最小值为， 题型04 三角换元破解点的轨迹问题 当遇到与直线、圆或者椭圆、双曲线相关的动点轨迹问题时，常设出相应曲线的参数方程，借助三角换元，将动点坐标换成三角函数表示，再通过消参的方法求得动点的轨迹方程. 【典例4-1】.已知点P是圆x2＋y2=4上的一个动点，点Q是x轴上的定点， 坐标为(6，0)， 当点P在圆上运动时，则线段PQ中点M的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】圆x2+y2=4的参数方程为（θ为参数）， ∴设点，设中点M(x，y)， 根据中点坐标公式：，， 于是点M轨迹的参数方程可写为， 消去参数得其轨迹方程为 【典例4-2】已知A、B分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求的重心G的轨迹参数方程，并说明它是什么图形． 【答案】（为参数,且），中心在点，对称轴平行于坐标轴，长半轴长为2，短半轴长为1的椭圆（除点外）． 【分析】设出动点的坐标，利用重心坐标公式求出参数方程，再消去参数求出图形形状. 【详解】依题意，，设动点的坐标为，点的坐标设为， 由三角形重心的坐标公式得，即（为参数）， 而点与都不重合，即且，即且， 所以的重心G的轨迹参数方程为（为参数,且）； 消去参数得，因此点的轨迹是中心在点， 对称轴平行于坐标轴，长半轴长为2，短半轴长为1的椭圆（除点外）． 【跟踪训练】 1．点P(4,－2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A.(x－2)2+(y+1)2=1 B.(x－2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y－2)2=4 D.(x+2)2+(y－1)2=1 【答案】A 【详解】圆x2+y2=4的参数方程为（θ为参数）， ∴设圆上任意一点， 设点P(4,－2)与点N连线的中点为M(x，y)， 根据中点坐标公式： ， 于是点M轨迹的参数方程可写为， 消去参数得. 因此选择A. 2．（2026·福建·三模）在平面直角坐标系中，已知，若圆上存在点，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用向量坐标关系求出点的轨迹方程，再将问题转化为圆与点的轨迹方程有公共点问题，最后利用参数表示轨迹方程上的点与圆的距离关系，结合二次函数性质分析求解即可. 【详解】设点，由，，为坐标原点， 则，即， 又因为，所以，化简得：， 即点的轨迹为椭圆， 则可将问题转化为圆与椭圆有公共点， 设椭圆上任意一点，则它到圆心的距离的平方为： ， 令，则， 令， 该二次函数开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 ， 也即， 所以，即的取值范围为. 3．当在内变动时，求抛物线顶点的轨迹． 【答案】 【详解】将原式配方得，， 设点的坐标为，则， 消去参数，得，即． 由于原参数方程中的取值范围是，而普通方程中的取值范围是，两者范围不一致，所以对于原参数方程的普通方程应为． 题型05 三角换元破解最值或范围问题 对于与圆与圆锥曲线上的动点有问的最值或取值范围问题，常设出相应曲线的参数方程，即通过三角换元，将点的坐标转化三角函数，借助正、余弦、正切函数的性质，把二元最值化为单三角函数值域求解，避开复杂代数消元与判别式，简化距离、斜率、线性式、面积范围计算，同时三角换元还要注意三角取值范围限制. 【典例5-1】（25-26高二下·宁夏银川·期末）设点P为圆上的一动点，点Q为椭圆上的一动点，则的最大值为_________. 【答案】 【详解】利用三角换元结合距离公式可求，结合函数的性质可求最大值. 【分析】设，圆的圆心，则， 因为，故时取最大值为，进而的最大值为． 【典例5-2】（2027高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【分析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【详解】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·上海·期中）设为椭圆 上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可设，利用辅助角公式及三角函数的性质求解． 【详解】∵为椭圆上的任一点， ∴可设， ∴，其中， ∴由，得，即， ∵， ∴，即的取值范围是. 故选：B． 2．（25-26高二上·浙江舟山·期末）双曲线的离心率，直线为该双曲线斜率为正的一条渐近线，已知为该双曲线右支上一动点，点为点关于直线的对称点，则到双曲线另一条渐近线距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定双曲线的相关参数.设，利用轴对称表示出，写出点到另一条渐近线的距离，再利用三角代换的方法求最小值. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以. 所以斜率为正的渐近线：，另一条渐近线为. 设，，因为为该双曲线右支上一动点，所以， 由. 所以到渐近线即的距离为：. 又，可设，. 所以， 设， 所以，所以. 所以. 即到双曲线另一条渐近线距离的最小值为. 故选：C 3．（2026·四川巴中·二模）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，且，，再应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简，最后应用正弦型函数的性质求范围. 【详解】由题设， 设，则. 利用辅助角公式： 因为，所以. 综上，的取值范围是. 故选：A 4．（多选）（2026·河北廊坊·模拟预测）在单位圆O：上任取一点，圆O与x轴正向的交点是A，将OA绕原点O旋转到OP所成的角记为，若x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ） A．是偶函数，是奇函数； B．在上为减函数，在上为增函数； C．在上恒成立； D．函数的最大值为. 【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知，，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A、B；根据辅助角公式知，再利用三角函数求值域可判断C；对于D，，先对函数求导，从而可知函数的单调性，进而可得当，时，函数取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，，， 对于A，函数是偶函数，是奇函数，故A正确； 对于B，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数在上为减函数，函数在为增函数，在为减函数，故B错误； 对于C，当时， ，故C正确； 对于D，函数， 求导， 令，则；令，则， 函数在和上单调递增，在上单调递减， 当即，时，函数取得极大值， 又当即，时，， 所以函数取得最大值，故D正确. 故选：ACD. 1．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】设则，则. 2.（2026·福建省月考)已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】不妨设点为第一象限的交点，则 由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得， 所以， 因此，即， 所以，即，令 因此，其中， 所以当时，有最大值，最大值为， 故选：． 3．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若点在圆 上，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先联立两条直线的方程求出圆心坐标，然后根据两点距离公式求出圆的半径，进而得到圆的方程，然后利用参数方程将表示为，然后代入所求表达式化简，从而求出范围. 【详解】由题意得，两条直线和的交点为， 所以联立两条直线方程为，解得. 因为是以点为圆心的圆上的一点，所以圆的半径为. 所以圆的方程为. 由于点在圆 上，所以用参数方程表示为， 代入表达式得. 因为，所以. 故选：A. 4．若关于的方程有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，令，，解得，同时得到方程，通过直线与圆的位置关系，方程有实根可以转化为圆心到直线的距离小于等于1，进行求解即可. 【详解】根据题意，设， 其方程为， 若方程有实根，即等价于有实数解， 转化为圆心到直线的距离， 整理得，解得． 故选：B. 5．（2025·河北廊坊·模拟预测）设点为圆上一点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】令且，应用向量数量积的坐标表示得，即可得最小值. 【详解】由，则，如下图示，    令且，则，，， ， ， ， 所以 ， 当时，有最小值为. 故选：D 6．（25-26高一下·山东滨州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题设条件，建系，求得相关点的坐标，因点在圆上，设点，计算得三角函数形式，运用辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求其最值. 【详解】 如图，以为原点，建立直角坐标系. 由题意，梯形的高长为，则. 因为以为圆心的半径为的圆的方程为：，可设点，. 则 其中，， 故当时，. 故选：A. 7．（25-26高一上·浙江衢州·期末）若实数，满足，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由题意可得，当且仅当时等号成立，令，，换元可得，进而求解. 【详解】由于，为使取最大值，必使，即或同号， 当，则，故，仅当时等号成立； 当同号，不妨令且，从而，当且仅当，即时等号成立， 此时，令，，且，则， 即，当且仅当时取等号， 综上，的最大值为. 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海·阶段检测）设 ，若 ，则 的最大值等于_____. 【答案】1 【详解】由题意可知椭圆的参数方程为：（为参数）， 所以， 因此当时，取最大值，最大值为1. 9．（25-26高二下·上海·阶段检测）设椭圆上有一弦长，则的面积的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设，，再设，，由得到的范围，再由计算可得. 【详解】设，， 则， 设，，则，， 所以 ， ， 所以， 即，故， 又， 即． 10．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知实数，满足，则代数式的最大值为______. 【答案】 【分析】先根据方程判断点的轨迹方程，再将其转化为参数方程，代入所求式，利用正弦型函数的有界性求解即得. 【详解】因实数，满足，， 故可知点的轨迹是以为两焦点的椭圆，轨迹方程为：， 故可设该椭圆的参数方程为：（为参数） 则， 故当时，取得最大值为 11．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知实数满足．则的最大值是______． 【答案】 【分析】配方已知等式，利用三角换元法，结合三角函数知识可得答案. 【详解】因为，所以， 令得，其中， 因为，所以，所以的最大值是. 12．（24-25高三下·上海·阶段检测）点为圆上的一个动点，点，则向量在方向上的投影数量的最大值为__________. 【答案】2 【分析】设点，即可求出，，再由在方向上的投影数量为及余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为点为圆上的一个动点， 所以设点，则, 又， 所以，， 所以在方向上的投影数量为， 又，所以在方向上的投影数量的取值范围为， 即在方向上的投影数量的最大值为. 13．已知：定义在R上的函数，满足：函数最大值为2，其图象上相邻的两个最低点之间距离为，且函数的图象关于点对称． （1）求函数的解析式 （2）若向量，，．设函数，求函数的值域． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）先由题意得到，，接着求出和，再根据函数的图象关于点对称，求出和函数的解析式； （Ⅱ）先根据函数的解析式求得，接着由题意得到，再利用换元法得到，，最后求得函数的值域． 【详解】（1）由题意可得，，， ∴， 所以， 又∵函数的图象关于点对称， ∴，， ∴，， 又∵，∴， ∴ （2）∵， ∴ ∵，，， ∴ =； 令，∵， 则， ∴函数可化为， 又∵， ∴当时，， 当时，； ∴函数的值域为． 14．把的图象做保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍的变换得的图象，已知图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若，求在上的值域. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设，由图像可得周期，利用，可得，由图像过点，可得，由题意得；（2）先化简利用二倍角公式整理得，令，则，即可得出 【详解】（1）设， 由的图像可得：函数的周期为， ，解得：； 过点， 所以， 所以， 因为函数的周期为， 所以， 所以， 由题意知：的图象做保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍的变换得的图像， 所以函数的解析式为. （2） 令， 则， 故，， 则. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $