1.3 勾股定理的应用-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

-SAm=2AC·BC-2AD·CD=号X5X12-号 ×4×3=24(m2). 10.解：(1)如图①，连接DP 由题意可知，CD=CP=8,∠PCD=60°，所以∠CPD -∠CDp=180°-60 2 =60°， 所以△DCP为等边三角形，所以DP=DC=8. 因为∠DCP=∠ACB=a,即∠DCA+∠ACP= ∠PCB+∠ACP, 所以∠DCA=∠PCB (CA=CB. 在△CDA和△CPB中，∠DCA=∠PCB, CD=CP. 所以△CDA≌△CPB(SAS), 所以∠ADC=∠BPC,AD=BP=6, 所以AD2+DP2=62+82=100=102=AP2, 所以∠ADP=90°，所以∠ADC=90°+60°=150°， 所以∠BPC=150°. 图① 图② (2)如图②，连接DP」 由题意，得△DCP为等腰直角三角形， 所以∠CDP=45°. 同(1)可得∠DCA=∠PCB. (CA=CB, 在△CDA和△CPB中，∠DCA=∠PCB, CD=CP. 所以△CDA≌△CPB(SAS), 所以∠ADC=∠BPC,AD=BP=1, 所以AD+DP2=AD+(CD+CP2)=1+(22+ 22)=9. 因为AP2=9,所以AD2+DP=AP, 所以∠ADP=90°，所以∠ADC=90°+45°=135°， 所以∠BPC=135° 3勾股定理的应用 1.B 2名【解标】当∠CBE=90时，如图 所示，连接AC.在Rt△ABC中，AB =3,BC=4,所以AC2=4+32=25, Bi---- 所以AC=5.因为∠B沿AE折叠， 使点B落在点B'处，所以∠AB'E=∠B=90°，EB= EB',AB=AB'=3.又因为∠CB'E=90°，所以点A, B′，C共线，所以CB'=AC-AB'=5-3=2.设BE= EB'=x,则CE=4-x.在Rt△CEB'中，因为EB2十 CB=CE,所以x产+2=(4-x,解得x=弓，即 e是 3.解：设BN=x.因为AB=18,所以AN=18-x. 由折叠的性质，得DN=AN=18-x. 因为D是BC的中点，BC=12,所以BD=6. 在Rt△NBD中，x2+62=(18-x)2,解得x=8. 故线段BN的长为8. 4.C 5.C【解析】由题意可知，BD=CE,AB=4.5m,BE= CD=1.5 m,AC=5 m,AE=AB-BE=4.5-1.5 =3(m).在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2=AC2 AE2=52一32=16，所以CE=4m,所以BD=CE= 4m. 6.解：设教学楼的高度为hm,则绳子长为(h十2)m. 依题意，得h2+62=(h十2)2， 解得h=8. 答：教学楼的高度为8m. 7.C【解析】设AO=BO=x寸， 则AE=(x-1)寸，AB=2x寸，AD=x寸，DE= 10寸. 在Rt△AED中，根据勾股定理，得AD=AE2+DE2, 即x2=(x-1)+10,解得x=50.5,所以AB= 101寸. 8.解：(1)设AB=xdm,则BC=(16-x)dm. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC+BC=AB, 所以82+(16-x)2=x2,解得x=10, 所以AB=10dm, 所以绳子的总长度为AB+AC=10+8=18(dm). (2)因为物体C升高7dm,所以此时AB′=10+7=17 (dm). 在Rt△AB'C中，由勾股定理，得B'C2=AB?-AC =172-82=225, 所以B'C=15dm 由(1)，得BC=16-10=6(dm), 所以BB'=B'C-BC=15-6=9(dm). 答：滑块B向左滑动的距离为9dm. 9.解：(1)因为AC=300km,BC=400km,AB=500km, 所以AC2+BC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90. (2)如图，过点C作CD⊥AB于 点D. 因为△ABC是直角三角形， 所以SA=2AC·BC=2CD· 1 1 AB. 所以2×300×400=2×500CD. 所以CD=240km. 故风眼离海港C最近的距离是240km. (3)如图，E,F为AB上两点，且CE=CF=250km. 在Rt△CDE中，由勾股定理，得ED2=EC2-CD= 2502-2402=4900, 所以ED=70km. 同理可得DF=70km, 所以EF=ED+DF=140km. 140÷20=7(h). 故台风影响该海港持续的时间为7h. 上册详解详析 3△3 勾股定 已课内基础闯关 -----------------0 知识点①勾股定理在折叠问题中的应用 1.如图，在△ABC中，∠ACB=A. 90°，AC=8,BC=6.将 D △ADE沿DE翻折，使点A 与点B重合，则CE的长是 第1题图 ( A号 c 2 D.2 2.如图，在长方形ABCD中， AB=3,BC=4,E是BC边 上一点，连接AE.把∠B沿 AE折叠，使点B落在点B 第2题图 处，连接B'C.当∠CB'E=90°时，BE的长 为 3.如下图，在Rt△ABC中，AB=18,BC=12, ∠B=90°.将△ABC折叠，使点A与BC的 中点D重合，折痕为MN,求线段BN的长. M A 知识点②勾股定理在实际生活中的应用 4.如图，在高为3m、斜坡长为5m的楼梯台阶 上铺地毯，则地毯的长度至少为 m 第4题图 A.5 m B.6m C.7m D.8 m 理的应用 5.(2025一2026九江都昌检测)某超市为了吸 引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上安 装了一个由传感器控制的门铃A,如图①所 示，人只要移至该门铃5m及5m以内，即 AC≤5m时，门铃就会自动发出语音“欢迎 光临”.如图②所示，一个身高1.5m的学生 走到D处，即CD=1.5m,门铃恰好自动响 起，则BD的长为 图① 图② 第5题图 A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 6.(2025一2026九江期中)小逸同学想利用勾 股定理的知识来测量教学楼的高度，他用一 根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还 多了2m.当他把绳子的下端拉开6m后，发 现绳子下端刚好接触地面.求教学楼的 高度 已课外拓展提高 7.古代数学文化《九章算术》是古代东方数学 代表作，书中记载：今有开门去阃(kǔ，门槛 的意思)一尺，不合二寸.问门广几何.题目 大意是如图①、图②（图②为图①的平面示 意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2 上册第一章 7△ 寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(DE =1尺，1尺=10寸)，则AB的长是() 2寸 6 D]C 1尺 EO 图① 图② 第7题图 A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸 8.跨物理学科物理课上，老师带着科技小组 进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳 子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上，另 端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的 直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物 体C的高度.实验初始状态如图①所示，物 体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A 的垂直距离是8dm,AB+BC=16dm(实验 过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑 块和物体的大小忽略不计). (1)求绳子的总长度， (2)如图②，若物体C升高7dm,求滑块B 向左滑动的距离. 图② 金8 八年级数学BS版 已综合能力提升 9.台风是一种自然灾害，它以风 眼为圆心在周围上百千米的 范围内形成极端气候，有极强 的破坏力.如右图，有一台风沿东西方向由 点A向点B运动.已知点C为一海港，点C 与直线AB上的两点A,B的距离分别为AC =300km,BC=400km,且AB=500km,以 风眼为圆心周围250km以内为受影响 区域. (1)求∠ACB的度数， (2)风眼离海港C最近的距离是多少？ (3)若台风的速度为20km/h,则台风影响该 海港持续的时间有多长？ 知识要点归纳 解决与勾股定理及其逆定理相关的实际应用题 时，如求一些高度、长度、宽度等量，一般先要结 合题意画出符合要求的三角形，也就是把实际问 题转化为数学问题，再把涉及的量转化成三角形 的边长，最后利用勾股定理及其逆定理解决问题」