25.3 《实际问题与一元二次方程》讲义 2026—2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦《实际问题与一元二次方程》核心知识点，具体解决面积关系和平均增长率问题。前置衔接一元一次方程应用及一元二次方程解法，后续为综合应用、统计与函数建模提供典型经验，构建完整知识支架。 资料以“现实情境—设元—列方程—检验—解释”结构化建模流程为主线，分课时呈现面积问题（如长方形菜地长宽求解）和增长率问题（如图书量增长模型推导）实例，突出根的现实意义检验与易错点辨析。通过模型意识培养、推理过程规范及应用能力分层训练，课中助力教师系统教学，课后帮助学生巩固知识、弥补盲点。

第二十五章 一元二次方程｜2026—2027学年 第25.3课《实际问题与一元二次方程》讲义 2026—2027学年｜人教版数学九年级上册（2025秋版）｜新授课讲义｜建议课时：2课时 一、学习定位与目标 本节在本章中的作用：将“列方程—解方程—检验解释”用于面积、增长和几何数量等实际情境，是本章应用的落脚点。 与前置知识的联系：学生已掌握列一元一次方程解决问题，已会用多种方法解一元二次方程。 对后续学习的作用：为综合应用、统计与函数中的建模意识发展提供典型经验。 本节重点解决的数学问题：如何从数量关系中设未知数、列一元二次方程，并依据现实条件筛选方程的根。 学习目标（可观察、可评价） 1. 能在具体情境和代数式中识别本节对象，并写出或判断其成立条件。 2. 能按“观察结构—选择方法—规范变形—检验结果”的步骤完成典型任务。 3. 能说明关键变形或结论的依据，辨析至少两类常见错误。 4. 能用本节知识解决一个条件完整的简单实际问题，并解释结果是否合乎题意。 二、课时安排 课时 核心任务与重点知识 学习成果与典型活动 第1课时 面积与几何数量关系建模；检验根的现实意义。 从长、宽、面积等关系列方程；能舍去不合题意的根。 第2课时 平均增长率模型；完整建模流程与误差意识。 写出“原量×(1+增长率)²=现量”模型；解释百分数根。 三、课前激活：回顾已学知识 1. 长为 x、宽为 x+2 的长方形面积怎样表示？（答案：x(x+2)） 2. 若某量每年增长率为 r，第一年后变为原量的多少？（答案：原量的 (1+r) 倍） 3. 解 x²−7x+12=0。（答案：x=3 或 x=4） 四、建模总流程：从现实到方程 步骤 要做什么 检查点 现实情境 读清单位、已知量和所求量 哪些量相等、哪些量有正负或范围限制？ 提出问题与设元 设未知数并写明单位、取值意义 设的是长度、比率还是数量？ 建立模型 用题中关系列方程 每个量的表达式是否对应原语句？ 制定方案 选择合适方法解方程 方程是否已整理？方法是否匹配结构？ 操作验证 把根代回原数量关系 数值、单位、正负性是否合理？ 解释评价 写出符合现实的答案并说明舍根 模型是否忽略了材料厚度、四舍五入等现实限制？ ★方法 实际问题中“方程的根”不一定都能作为问题的答案。必须同时满足原方程和情境条件，如长度为正、人数为非负整数、增长率使数量合理等。 五、第1课时：面积问题 问题情境：一块长方形菜地的长比宽多 5 m，面积为 84 m²。求菜地的长和宽。 方案设计：设宽为 x m，则长为 (x+5) m。由“面积=长×宽”建立模型： 操作计算：整理得 x²+5x−84=0，分解为 (x+12)(x−7)=0，所以 x=−12 或 x=7。 分析与解释：宽不能为负数，x=−12 不合实际，舍去；宽为 7 m，长为 12 m。验证：7×12=84，且长比宽多 5。 ★规范 解答应写：“答：菜地的宽为 7 m，长为 12 m。”不能只写 x=7，因为 x 的实际含义是宽。 变式1：一个长方形的长比宽多 3 cm，面积为 40 cm²，求长、宽。答案：设宽为 x，x(x+3)=40，得 x=5 或 −8；取 x=5。宽 5 cm，长 8 cm。 变式2：一个正方形的边长增加 2 cm 后，面积为 49 cm²，求原边长。答案：设原边长 x，(x+2)²=49，x=5 或 −9；取 x=5 cm。 六、第2课时：平均增长率问题 问题情境：某校图书室现有图书 5000 册，计划经过两年使图书总量达到 6050 册。若每年的平均增长率相同，求平均增长率。 观察与猜想：第一年后图书数为 5000(1+x)，第二年后为 5000(1+x)²。注意 x 用小数表示增长率，1+x 表示“保留原量再增加 x 倍”。 建立模型：5000(1+x)²=6050，即 (1+x)²=1.21。 规范解答：1+x=1.1 或 1+x=−1.1，得 x=0.1 或 x=−2.1。增长率不能使第二年的数量为负，且“增长率”为非负，故取 x=0.1，即 10%。检验：5000×(1+10%)²=6050。答：平均增长率为 10%。 规律发现：连续两年按相同增长率增长，不能写成“原量×(1+2x)”；后者只反映简单相加，忽略了第二年是在第一年结果基础上的增长。 情形 数量表达式 模型成立条件 连续两次同率增长 原量×(1+x)² 两次增长率相同，且数量按上次结果变化。 连续两次同率下降 原量×(1−x)² 0≤x<1，且两次下降率相同。 一次变化 原量×(1±x) “+”为增长，“−”为下降。 ★跨学科 该模型只使用百分数、连续变化的数量关系，不需要额外的经济学知识。现实中增长率未必每年相同，计算结果是“按题设假定”的平均增长率。 变式1：某产品原价 200 元，连续两次按相同折扣率降价后售价 162 元，求每次降价率。答案：200(1−x)²=162，(1−x)²=0.81，取 1−x=0.9，x=10%。 变式2：某班去年植树 80 棵，今年、明年均按相同增长率增长，明年计划植树 125 棵。求增长率。答案：80(1+x)²=125，1+x=1.25（负值舍去），x=25%。 七、★高频考点、错误与检查 考点 常见设问 依据、路径与检查 面积模型 “长比宽多…，面积为…” 设一个边；写另一个边；面积相乘；长度取正。 增长率 “两年平均增长率” 原量×(1+x)²=现量；取符合增长率意义的根。 根的取舍 “为什么舍去某根” 根必须满足原方程和情境限制；写出舍去理由。 ★易错 错误：设宽为 x 后把长写成 x−5。错误位置：把“长比宽多 5”读反。正确：长=x+5。检查策略：用口语复述“长=宽+5”。 ★易错 错误：两年增长写成 5000(1+2x)。错误原因：第二年增长的基数已改变。正确：5000(1+x)²。检查策略：逐年写出数量。 ★易错 错误：得到 x=−12 后直接作为宽。错误原因：只检验代数方程，没有检验长度意义。正确：长度必须为正。检查策略：列出设元的取值约束。 ★易错 错误：答案写“x=0.1”。错误原因：没有回到问题量。正确：平均增长率为 10%。检查策略：末句带单位和实际含义。 八、3—5分钟检测 1. 一个长方形宽为 x cm，长比宽多 4 cm，面积为 96 cm²，列方程：______。 2. 解第1题所得方程，写出符合题意的长、宽。 3. 某量原来为 a，连续两年均增长率为 r，第二年后的量为______。 4. 判断：实际问题中，只要是方程的根就一定能取。 参考答案：1.x(x+4)=96；2.x=8（另一根−12舍去），宽 8 cm、长 12 cm；3.a(1+r)²；4.错，还要符合实际意义。 九、分层练习 【基础巩固】1. 正方形面积为 64 cm²，求边长。答案：边长 8 cm。 【基础巩固】2. 长方形长比宽多 1，面积 72，求长宽。答案：宽 8，长 9。 【方法迁移】3. 某商品两次同率涨价后从 100 元变为 121 元，求涨价率。答案：10%。 【思维提升】4. 一块面积为 48 m² 的长方形地，若长减少 2 m、宽增加 2 m 后成为正方形，求原长、宽。答案：设原宽 x，原长 x+4；x(x+4)=48，取 x=4，原长 8 m、原宽 4 m；检验变化后均为 6 m。 十、建模表达练习 1. 用一句话说明“设宽为 x m”中的 x 为什么应大于 0。参考：宽表示实际长度，长度必须为正。 2. 为什么增长率问题中要逐年写数量？参考：第二次变化以前一次结果为基数，逐年写可避免误用简单相加模型。 3. 模型评价：若产品增长率每年不同，能否仍用 (1+x)²？参考：不能；该式的前提是两年增长率相同。 4. 反思：实际测量的长、宽存在误差时，计算结果的适用范围是什么？参考：应按题设数据理解；真实尺寸需要结合测量精度调整。 课堂小结与自我检查 核心梳理：建模要经历“设元—列方程—解方程—检验—作答”。面积关系常产生一正一负根；连续同率变化使用乘法模型。 ★易错提醒：不要读反数量关系；不要把连续增长写成简单相加；任何舍根都要说明现实理由。 自我检查：①对象或方程的条件是否写全？②每一步变形是否等价或已说明限制？③求得的数是否代回原式（或原情境）检验？④单位、正负性和实际意义是否合理？ 人教版数学九年级上册（2025秋版） 学科网（北京）股份有限公司 $