专题25.3实际问题与一元二次方程（8大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦“实际问题与一元二次方程”核心知识点，系统梳理解题通用步骤，覆盖增长率、传播、销售、几何图形等八大常考题型，提供六大模型公式、易错点解析及解题技巧，搭建从方程解法到实际应用的学习支架。 资料以生活实例为载体，如增长率问题用a(1±x)²=A模型，销售问题结合利润公式，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过模型构建与推理强化数学思维，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识与解题能力。

专题25.3实际问题与一元二次方程 【新人教版】 【题型1 增长率问题】...........................................................................................................................................2 【题型2 传播问题】...............................................................................................................................................4 【题型3 握手、循环赛问题】...............................................................................................................................6 【题型4 销售问题】...............................................................................................................................................8 【题型5 数字问题】.............................................................................................................................................11 【题型6 与几何图形有关问题】.........................................................................................................................14 【题型7 动态几何问题】.....................................................................................................................................16 【题型8 其他问题】.............................................................................................................................................20 1. 解题通用步骤 审清题意→设未知数→找等量关系→列一元二次方程→解方程→检验根的实际意义→作答 2. 六大常考模型公式 1. 增长率问题 设基数a，平均变化率x，变化两次后总量A, 则a(1±x)2=A，增长取+，下降/降低取-； 2. 面积问题 矩形：变化后长×变化后宽=实际面积；道路、边框类用平移法简化图形； 3. 传播分裂问题 一轮传播x人，两轮后总数：1+x+x(1+x)； 4. 循环握手/球赛问题 总次数（n为总人数/队伍，两两一次）； 5. 数字问题 两位数：十位数字a，个位数字b，数值=10a+b； 6. 利润销售问题 单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×销售数量。 3. 检验要求 方程解出两个根后，必须舍去不符合生活实际的根（负数、超出范围的数）。 易错1：增长率次数混淆 两年变化只平方，错写成一次方或三次方；下降率误加符号。 易错2：面积平移漏减道路宽度 四周留宽、中间道路图形，长和宽同时减去两倍宽度，只减一次会出错。 易错3：循环问题忘记乘1/2 握手、单循环比赛无重复，直接写n(n-1)，导致结果翻倍。 易错4：忽略根的实际意义 求出负数长度、负人数、负数价格不舍去，直接写进答案扣分。 易错5：利润等量关系找反 涨价销量减少、降价销量增加，数量增减关系写反，方程全部错误。 易错6：设未知数不带单位，作答缺少文字说明 技巧1：解题口诀 找准基数定变化，图形平移算长宽；循环除以二，负根全舍完。 技巧2：增长率快速模板 已知初始、最终、两年，直接套a(1±x)2=A，解后舍去负根。 技巧3：面积简化技巧 小道、边框全部平移至边上，空白区域形成新矩形，简化列式。 技巧4：销售利润万能列式 设涨价/降价x元：单件利润=(原售价±x−进价)，销量=原销量变化量。 技巧5：取舍根判断方法 长度、人数、价格、增长率不能为负；人数、场次必须为正整数。题型一 增长率问题 【例1】（2026·云南保山·二模）某县2024年沃柑种植产值为200万元，在政策扶持与技术推广下，产值逐年稳步增长，2026年达到288万元．设每年产值的平均增长率为x，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据初始产值、平均增长率，依次表示出增长两年后的产值，再结合2026年的实际产值列出方程即可． 【详解】解：∵2024年沃柑种植产值为200万元，年平均增长率为， ∴2025年的产值为万元， ∴2026年的产值为万元， 又∵2026年的产值为288万元， ∴可列方程为． 【变式1-1】（2026·广东东莞·三模）为推进制造业绿色转型，我国实施了《制造业绿色低碳发展行动方案（2025-2027年）》．某企业2024年的碳排放量为21.6千吨，计划到2026年底将年碳排放量降至15千吨．设该企业碳排放量年均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据年均下降率，推导两年后的碳排放量表达式，结合目标排放量列出方程即可． 【详解】解：∵该企业碳排放量年均下降率为，2024年碳排放量为千吨， ∴2025年碳排放量为千吨，则2026年碳排放量为千吨， 又∵计划2026年底将碳排放量降至千吨， ∴可列方程为 【变式1-2】（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课前预习）某款新能源汽车今年1月份的售价为22万元，随后开展降价促销活动，到3月份时售价为18万元，设该款汽车售价的月平均下降率是x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均下降率依次表示降价后的售价，结合3月份售价列方程即可，从1月到3月共经过2次降价，降价次数为2． 【详解】∵该款汽车售价的月平均下降率是，1月份售价为万元， ∴2月份售价为万元， ∴3月份售价为万元， 又∵3月份售价为万元， ∴可列方程为． 题型二 传播问题 【例2】（25-26九年级上·重庆北碚·阶段检测）换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意并抽象成数学模型是解题关键． 根据流感传播模型，初始患者平均每轮会传染x人，第一轮后总感染人；第二轮中，第一轮的个患者各传染x人，新增人，相加得到结果． 【详解】解：设初始患者为1人， ∵ 第一轮传播，每个患者传染x人， ∴ 第一轮后总感染人数为， ∵ 第二轮传播，第一轮的个患者各传染x人， ∴ 第二轮新增感染人数为， ∴ 两轮后总感染人数为， 又∵ 总感染人数为81， ∴ ． 故选：D． 【变式2-1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支，进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，主干长出的支干数目与每个支干长出的小分支数目相同，故支干的数量也为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：B． 【变式2-2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会名同学． 由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会名同学． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·河南焦作·阶段检测）某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑 (2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． （2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 题型三 握手、循环赛问题 【例3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 每支参赛球队需与其余支球队各赛一场，支球队初步计算的比赛场数为场，但此时每场比赛被两支球队各统计了一次，存在重复，因此实际总场数需除以2，再结合已知总场数为场，即可列出正确方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需与其他支球队各进行一场比赛， ∴初步统计的比赛场数为场， 又∵每两支球队的交锋仅算一场，上述统计中每场比赛被重复计算了1次， ∴实际总比赛场数为场， ∴可列出方程． 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）2025年国际乒联混合团体世界杯于11月30日至12月7日在中国成都举行．中国队以11战全胜的战绩登顶本届混团世界杯，这也是中国队在这项赛事上的三连冠，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系列方程．若设参赛队伍有支，每两支队伍之间进行两场比赛，则总比赛场数为，即可列出方程． 【详解】解：∵参赛队伍有支，每两支队伍之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 又∵总场数为， ∴可列方程为 ， 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加聚会的人数为x，则每两人握一次手，总握手次数为，即可列出方程求解． 【详解】解：根据题意，， 整理得． 解得或（舍去）． 故答案为：10． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系是关键． 每人给其他人都发一个红包，则每人发红包数为个，x人共发个红包，总红包数为420，故列方程． 【详解】解：设该群共有x人，则每人需要给其他人发红包， ∴每人发红包数为个，由于有x人， ∴总红包数为个， ∴列方程得， 故答案为：． 题型四 销售问题 【例4】（26-27九年级·全国·暑假作业）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 【详解】设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）某市奶茶店依托本地奶源优势升级经营，2023年的营业额为8万元，2025年增长至万元． (1)求该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率． (2)该店制作珍珠奶茶，每杯奶茶盈利3元，每周可售出300杯．市场调查反映，每杯涨价1元，周销售量将减少20杯．若该店要保证每周奶茶盈利1440元，同时又要让顾客得到实惠，则每杯奶茶应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设年平均增长率为，再结合2023年的营业额为8万元，2025年增长至万元，进行列式计算，即可作答． （2）先理解题意，设每杯奶茶应涨价元，则每杯盈利为元，销售的总杯数为，又因为每周奶茶盈利1440元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率为， 依题意，得， 解得，（舍去）， ∴该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率为； （2）解：设每杯奶茶应涨价元， 则每杯盈利为元，销售的总杯数为， 依题意，得， 整理得， 解得，， ∵要让顾客得到实惠， ∴每杯奶茶应涨价3元． 【变式4-2】（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）某童装店销售一款童鞋，成本价为每双30元，根据调查发现，若该款童鞋的售价为50元/双时，平均每天可以售出100双，售价每降低1元，平均每天可以多售出10双，设这种童鞋每双的售价降低x元，该童鞋每天销售量为y双． (1)写出y与x之间的关系式． (2)为尽可能让利于顾客，同时保证该童装店每天获得2240元利润，售价应为每双多少元？ 【答案】(1) (2)44元 【分析】本题考查了求一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据“平均每天可以售出100双，售价每降低1元，平均每天可以多售出10双” 写出y与x之间的关系式即可； （2）根据每双利润乘以销售量等于总利润列方程求解，进而根据“让利于顾客”作答即可． 【详解】（1）解：∵平均每天可以售出100双，售价每降低1元，平均每天可以多售出10双， ∴这种童鞋每双的售价降低x元，平均每天可以多售出双， 即； （2）解：由题意得： 解得：，   ∵尽可能让利于顾客        （元） 答：售价为每双44元． 【变式4-3】（25-26九年级上·四川成都·期末）2026年是农历丙午马年，2025年年底“马”的元素已经悄然出现，某商家打算提前准备马年装饰挂件，装饰挂件的进价为每个60元，当每个售价定为100元时，每天可以售出20个，商家为了减少库存换新品，决定降价促销，发现每降价1元，每天可以多售出2个，若设装饰挂件的销售单价为x元，每天的销售量为y个． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当售价单价定为多少元时，每天可获利1200元？ 【答案】(1) (2)80元或90元 【分析】本题考查了一次函数与一元二次方程的应用． （1）根据销售量与降价金额的关系列出函数关系式即可； （2）根据利润的计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设销售单价为x元，则降价了元， ∴多销售的个数为个， 依题意得：， 化简得：， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：依题意得：， 解得，， ∴当售价单价定为80元或90元时，每天可获利1200元． 题型五 数字问题 【例5】（25-26九年级上·重庆巴南·期末）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：A． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园、为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块、则小路的宽度为______． 【答案】 【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是关键；设小路的宽度为，则可表示出一个小长方形的长与宽，根据其面积为建立方程即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为，则一个小长方形的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西·期末）如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米． (1)修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示） (2)若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长． 【答案】(1) (2)长为20米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、正确表示出长方形的长和宽、列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据长方形运动员候场区的面积为300平方米列一元二次方程即可解答． 【详解】（1）解：修建的长方形运动员候场区的长为： 米； （2）解：设修建的长方形运动员候场区的宽为米，长为米， 由题意得：， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，应舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形候场区的边为15米，为20米． 【变式5-3】（25-26九年级上·山西长治·期末）中国书法是中华文化的独特表现艺术．被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐、而“三分画，七分裱”．书画装裱技艺同时也为书画内容服务．现要装裱一幅竖式布局的《七律·长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边、上、下绫边的宽度之比为．左、右绫边的宽度相等、下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍．若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽． 【答案】装裱成品的长与宽分别为， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设左、右绫边的宽度为，则上绫边的宽度为，下绫边的宽度为，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设左、右绫边的宽度为，则上绫边的宽度为，下绫边的宽度为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴，， 答：装裱成品的长为，宽为． 题型六 与几何图形有关问题 【例6】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，求出前n行的点数之和是解题的关键． 先求出前n行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为28、44、55、66时n的值，再进行判断即可解答． 【详解】解：由题意可得：前n行的点数之和为， A．当前n行的点数之和为28，则，解得：或（不合题意舍去），故A不符合题意； B．当前n行的点数之和为44，则，解得：都不是整数，不可能，故B符合题意； C．当前n行的点数之和为55，则，解得：或（不合题意舍去），故C不符合题意； D．当前n行的点数之和为66，则，解得：或（不合题意舍去），故D不符合题意． 故选：B． 【变式6-1】（26-27九年级上·全国·周测）如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 【答案】100 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为225，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【详解】解：根据图象可以得出，圈出的6个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为，根据题意得出：， 解得：，（不合题意舍去）， 故最小的数为：9， 中间一行的数字分别为：15，16，17，18， 最大的数为：25， 故这6个数的和为：． 故答案为：100． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 【变式6-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据“两个连续的偶数乘积为168”列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为或． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据题意，得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， 当时，，原来的两位数为； 当时，，原来的两位数为； 答：原来的两位数为或． 题型七 动态几何问题 【例7】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 【变式7-1】（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，，．点P从A出发沿以的速度向B移动，点Q从B出发沿以的速度向C移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间______秒． 【答案】2或3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意得，易得；再根据的面积为列关于t的一元二次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 所以面积为： 当的面积为时，即， 解得：或3． 所以当的面积为时，运动时间或3． 故答案为：2或3． 【变式7-2】（25-26九年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动，经过______秒后，的面积等于面积的；经过______秒与相似． 【答案】 或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，解题关键是审明题意找到相等关系； 设运动时间为秒①根据面积的关系列出方程即可；②分类讨论相似的两种情况列比例关系，解方程即可． 【详解】解：设运动时间是秒， ①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得：（舍）， ②当时， ， ∴解得：； 当时， ， ∴解得：； 故答案为： ；或． 【变式7-3】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 【答案】2秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 设秒后，，而此时，，，，，进而可列出方程，求出答案． 【详解】解：设秒后，， 此时，，； 由题意得， 即， 解得，， 米， ， 不合题意，舍去， 即． 题型八 其他问题 【例8】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．设较短一段长为，则 较长一段长为，根据题意列出方程并化简为一般形式即可求解． 【详解】解：设较短一段长为，则 较长一段长为，   由题意得，，   整理得，， 故选：． 【变式8-1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为________．（注：） 【答案】或1 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程，再化简求解即可． 【详解】由题意可知， 整理得， 解得或． 故答案为：或1． 【变式8-2】（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知，分别求出满足下列条件的的值： (1)与的值互为相反数； (2)的值比的值大3． 【答案】(1)0或 (2)或1 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用. （1）根据互为相反数的两数之和为0，列出方程，进行求解即可． （2）根据的值比的值大3，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：由题意得：， 即， 整理得， 即， 解得：， 即为0或时，与的值互为相反数． （2）解：由题意得： 即 整理得 即 解得： 即为或1时，的值比的值大3． 【变式8-3】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知线段，为上一点，且． (1)若，求线段的长度； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)线段的长度为； (2)线段的长度为． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用． （1）由已知可得，代入，即可得线段的长度； （2）由已知可得，代入，即可得线段的长度． 【详解】（1）解：∵为上一点，， ∴， ∵线段， ∴， ∴ ∴， ∴线段的长度为． （2）解：线段，为上一点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，或（与“”矛盾，舍去）， ∴线段的长度为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.3实际问题与一元二次方程 【新人教版】 【题型1 增长率问题】...........................................................................................................................................2 【题型2 传播问题】...............................................................................................................................................3 【题型3 握手、循环赛问题】...............................................................................................................................4 【题型4 销售问题】...............................................................................................................................................5 【题型5 数字问题】...............................................................................................................................................5 【题型6 与几何图形有关问题】...........................................................................................................................6 【题型7 动态几何问题】.......................................................................................................................................7 【题型8 其他问题】...............................................................................................................................................8 1. 解题通用步骤 审清题意→设未知数→找等量关系→列一元二次方程→解方程→检验根的实际意义→作答 2. 六大常考模型公式 1. 增长率问题 设基数a，平均变化率x，变化两次后总量A, 则a(1±x)2=A，增长取+，下降/降低取-； 2. 面积问题 矩形：变化后长×变化后宽=实际面积；道路、边框类用平移法简化图形； 3. 传播分裂问题 一轮传播x人，两轮后总数：1+x+x(1+x)； 4. 循环握手/球赛问题 总次数（n为总人数/队伍，两两一次）； 5. 数字问题 两位数：十位数字a，个位数字b，数值=10a+b； 6. 利润销售问题 单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×销售数量。 3. 检验要求 方程解出两个根后，必须舍去不符合生活实际的根（负数、超出范围的数）。 易错1：增长率次数混淆 两年变化只平方，错写成一次方或三次方；下降率误加符号。 易错2：面积平移漏减道路宽度 四周留宽、中间道路图形，长和宽同时减去两倍宽度，只减一次会出错。 易错3：循环问题忘记乘1/2 握手、单循环比赛无重复，直接写n(n-1)，导致结果翻倍。 易错4：忽略根的实际意义 求出负数长度、负人数、负数价格不舍去，直接写进答案扣分。 易错5：利润等量关系找反 涨价销量减少、降价销量增加，数量增减关系写反，方程全部错误。 易错6：设未知数不带单位，作答缺少文字说明 技巧1：解题口诀 找准基数定变化，图形平移算长宽；循环除以二，负根全舍完。 技巧2：增长率快速模板 已知初始、最终、两年，直接套a(1±x)2=A，解后舍去负根。 技巧3：面积简化技巧 小道、边框全部平移至边上，空白区域形成新矩形，简化列式。 技巧4：销售利润万能列式 设涨价/降价x元：单件利润=(原售价±x−进价)，销量=原销量变化量。 技巧5：取舍根判断方法 长度、人数、价格、增长率不能为负；人数、场次必须为正整数。题型一 增长率问题 【例1】（2026·云南保山·二模）某县2024年沃柑种植产值为200万元，在政策扶持与技术推广下，产值逐年稳步增长，2026年达到288万元．设每年产值的平均增长率为x，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·广东东莞·三模）为推进制造业绿色转型，我国实施了《制造业绿色低碳发展行动方案（2025-2027年）》．某企业2024年的碳排放量为21.6千吨，计划到2026年底将年碳排放量降至15千吨．设该企业碳排放量年均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课前预习）某款新能源汽车今年1月份的售价为22万元，随后开展降价促销活动，到3月份时售价为18万元，设该款汽车售价的月平均下降率是x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 传播问题 【例2】（25-26九年级上·重庆北碚·阶段检测）换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （     ）． A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班36人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_____名同学． 【变式2-3】（25-26九年级上·河南焦作·阶段检测）某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 题型三 握手、循环赛问题 【例3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）2025年国际乒联混合团体世界杯于11月30日至12月7日在中国成都举行．中国队以11战全胜的战绩登顶本届混团世界杯，这也是中国队在这项赛事上的三连冠，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 题型四 销售问题 【例4】（26-27九年级·全国·暑假作业）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）某市奶茶店依托本地奶源优势升级经营，2023年的营业额为8万元，2025年增长至万元． (1)求该奶茶店从2023年到2025年营业额的年平均增长率． (2)该店制作珍珠奶茶，每杯奶茶盈利3元，每周可售出300杯．市场调查反映，每杯涨价1元，周销售量将减少20杯．若该店要保证每周奶茶盈利1440元，同时又要让顾客得到实惠，则每杯奶茶应涨价多少元？ 【变式4-2】（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）某童装店销售一款童鞋，成本价为每双30元，根据调查发现，若该款童鞋的售价为50元/双时，平均每天可以售出100双，售价每降低1元，平均每天可以多售出10双，设这种童鞋每双的售价降低x元，该童鞋每天销售量为y双． (1)写出y与x之间的关系式． (2)为尽可能让利于顾客，同时保证该童装店每天获得2240元利润，售价应为每双多少元？ 【变式4-3】（25-26九年级上·四川成都·期末）2026年是农历丙午马年，2025年年底“马”的元素已经悄然出现，某商家打算提前准备马年装饰挂件，装饰挂件的进价为每个60元，当每个售价定为100元时，每天可以售出20个，商家为了减少库存换新品，决定降价促销，发现每降价1元，每天可以多售出2个，若设装饰挂件的销售单价为x元，每天的销售量为y个． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当售价单价定为多少元时，每天可获利1200元？ 题型五 数字问题 【例5】（25-26九年级上·重庆巴南·期末）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园、为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块、则小路的宽度为______． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西·期末）如图，某体育学校修建一个长方形运动员候场区，候场区一面靠墙，墙长26米，另外三边用48米隔栏围成，为了方便运动员进出，在两边各空出一个宽为1米的出入口（出入口不用隔栏），设修建的长方形运动员候场区的宽为米． (1)修建的长方形运动员候场区的长为_______米；（用含的代数式表示） (2)若修建的长方形运动员候场区的面积为300平方米，求的长． 【变式5-3】（25-26九年级上·山西长治·期末）中国书法是中华文化的独特表现艺术．被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐、而“三分画，七分裱”．书画装裱技艺同时也为书画内容服务．现要装裱一幅竖式布局的《七律·长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边、上、下绫边的宽度之比为．左、右绫边的宽度相等、下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍．若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽． 题型六 与几何图形有关问题 【例6】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 【变式6-1】（26-27九年级上·全国·周测）如图所示的是某月的月历表，在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6个数中，最大数与最小数的积为225，则这6个数的和为____________． 【变式6-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 【变式6-3】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）有一个两位数，其个位和十位上的数字之和为．将该数的十位数字与个位数字调换，所得到的新的两位数与原来的两位数的积为．求原来的两位数． 题型七 动态几何问题 【例7】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【变式7-1】（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，，．点P从A出发沿以的速度向B移动，点Q从B出发沿以的速度向C移动．若两点同时出发，则当的面积为时，运动时间______秒． 【变式7-2】（25-26九年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动，经过______秒后，的面积等于面积的；经过______秒与相似． 【变式7-3】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 题型八 其他问题 【例8】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为________．（注：） 【变式8-2】（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知，分别求出满足下列条件的的值： (1)与的值互为相反数； (2)的值比的值大3． 【变式8-3】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知线段，为上一点，且． (1)若，求线段的长度； (2)若，求线段的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $