《第1章 二次函数》 单元测试卷 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版数学九上《二次函数》单元巩固卷，通过选择、填空、解答题（10/6/8题，30/18/72分）覆盖抛物线性质、最值、实际应用等核心知识，结合2026春晚“哭哭马”销量、跳水轨迹等真实情境，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|抛物线开口/对称轴/顶点（题1）、区间最值（题5）|结合图像辨析，考查抽象能力与几何直观| |填空题|6/18|二次函数与方程综合（题11）、抛物线系顶点轨迹（题15）|注重知识关联，培养推理意识| |解答题|8/72|销量增长率（题17）、矩形面积最值（题18）、跳水轨迹建模（题22）|分层设计，从基础计算到综合应用，强化模型意识与运算能力|

《第1章 二次函数》巩固卷-浙教版数学九上单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．关于抛物线 下列说法正确的是 (　　) A．开口向上 B．对称轴是直线x=-2 C．顶点坐标是 (2， 4) D．x>2 时， y随x增大而增大 2．已知y关于x的二次函数解析式当-1<x<2时，y的取值范围是（　　） A．-3<y<0 B．-3≤y<0 C．-4<y<0 D．-4≤y<0 3．已知二次函数. (a， c为常数， a<0)的图象经过(x1，y1)， (x2，y2)两点，若 则下列说法错误的是 （　　） A．若0<m＜2， 则y2≥c B．若0<m<3， 则y2>y1 C．若0<m≤4，则y2>c D．若3<m＜4，则y1>y2 4．已知二次函数过点，，三点．记，，下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，则m的取值范围是（　　） A．0≤m≤2 B．0≤m＜4 C．2≤m≤4 D．m≥2 6． 已知抛物线 （a， c 为常数且a≠0) ，当x≥1 时 若抛物线 与y轴的交点位于最高位置时，则y2的图像可能正确的是（　　)。 A． B． C． D． 7． 抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线与轴的两个交点分别为，，且，则（　　） A． B． C． D． 8．二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(﹣2，﹣9a)，下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a(x+5)(x﹣1)＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图，平面直角坐标系中，抛物线. 与 交于点P(3，2)，若经过点 P的直线 与两抛物线交于点A，B，则AB的长为(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 10．某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，设此方程的一个实数根为b，令 则y的最小值为　 　. 12．设二次函数函数y1，y2的图象与x轴的两个交点之间的距离分别为m，n.已知函数y1的最小值是-2，则m　 　n（填“>”“=”“<”中的一个）. 13．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，则花圃的最大面积为　 　m2． 14．若二次函数 (a， k为常数)与y=a(x-2)2+k的图象交于点(m， 1)， 则关于x的方程 的解为　 　. 15． 已知二次函数，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是　 　. 16．已知如图二次函数y1=ax2+bx+c（а≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（-2，4），B（8，2）（如图所示）则能使y1＞y2成立的x的取值范围是　 　. 三、解答题（共8题，共72分） 17． 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． （1）某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件． 求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． （2）义乌某商铺以每件10元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为30元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件. ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上日销量固定为100件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 18．某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长>50m)，中间用一道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x(m)， 总占地面积为y(m2). （1）求矩形饲养室的宽.(用含x的代数式表示) （2）求y关于x的函数表达式，并求出面积的最大值. 19．已知抛物线. （1）求该抛物线与x轴的交点. （2） 点A(t， y1) 和B (t，y2) 分别在抛物线. 和 上(t>0). ①当a<0时，两抛物线有交点(s，y3)，且0<t<s时，A，B两点间距离最大为2，求a的值. ②若恒成立，请直接写出a的取值范围. 20．已知抛物线（a为常数，且a≠0）. （1）求该抛物线的对称轴. （2）若a>0，当时，函数有最大值-1. ①求a的值. ②设点（s，t）在该函数图象上，且位于直线y=x+b（b为常数）的下方，若t的最大值与最小值的差为m，且m>6，求b的取值范围. 21．已知抛物线y=x2－2bx+c（b，c为常数）． （1）当b＝2，c＝5时， ①求该抛物线的顶点坐标. ②将该抛物线向下平移h（h＞0）个单位得到的新抛物线过点（n，0），且－1≤n≤3，请求出h的取值范围. （2）当x≤－1时，y的最小值为6；当x＞－1时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式. 22． 某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板与水面相距3米，在离起跳点（点A）水平距离1米时达到距水面最大高度4米． （1）请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式． （2）求运动员落水点E与点C的距离． 23．已知抛物线（常数）经过点． （1）求抛物线的对称轴． （2）请说明函数有最大值还是最小值，并用含的代数式表示其最值． （3）直线交抛物线于点，抛物线的一段夹在两条平行直线之间，求直线之间的距离的最小值． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】由题可知， 该抛物线的a=-1<0，开口向下，对称轴为x=2， 顶点为（2，4）， ∵开口向下且轴为x=2， ∴当x＞2时，y随x的增大而减小， 故答案为：C. 【分析】根据抛物线顶点式的性质作答即可. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：二次函数解析式为 ∵二次项系数 ∴抛物线开口向上，顶点坐标为． ∵， ∴当时，取得最小值． 当时，；当时，． 又∵取不到， ∴；顶点在的取值范围内， ∴． ∴． 故答案为：D． 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线开口向上，顶点坐标为，即可得到最大值；然后根据离对称轴远的函数值小求出最小值，即可得到y的取值范围． 3．【答案】C 【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=，同时a<0，知开口向下， 当x=0和4时，y=c；当x<2时，y随x的增大而增大，当x>2时，y随x的增大而减小； 若0<m<2，有y2≥c，故A正确； 若0<m<3，当0<x2<2则，明显有y2>y1， 当2<x2<3时，x2-x1≥2， 有y2>y1，故B正确； 若 0<m≤4，，当x2=0或4时，y2=c，故C错误； 若3<m＜4，结合 知y1>y2，故D正确； 故选 ：C. 【分析】由二次函数解析式知其对称轴为直线x=2，根据各选项中的m的范围可知y的大小关系. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可得： ∴， 若，则， ∴或，故A是假命题； 若，则， ∴，故B是假命题； 若，则，故C为真命题； 若，则，即，故D为假命题， 故选C． 【分析】 先根据二次函数的性质，结合已知条件求出m-n关于t的表达式，再根据表达式分析各个选项即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1， ∴该函数的对称轴是直线x=2，当x=2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下， ∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为-3，最大值为1，当x=0时，y=-3， 而x=4时，y=-3， ∴2≤m≤4， 故答案为：C. 【分析】先把二次函数化为顶点式，然后根据二次函数的开口方向和增减性求出m的取值范围即可． 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， 又∵当时． ∴ ∵， 抛物线与轴的交点位于最高位置， ∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下， 故答案为：A . 【分析】将两个抛物线的解析式化为顶点式，根据时即可得到，借进而得到抛物线的开口及最高点坐标解答即可. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线 ， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的两个交点分别为，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的符号取决于 ， ∵， ∴， 解得， 又， ∴； 设， 可将看作是关于的二次函数，其图象开口向下，对称轴为， 当时，， ∴， ∴． 故选：B． 【分析】根据抛物线开口向上可得，利用对称轴公式可得 ，然后根据根与系数的关系得到c-4b的取值范围解答即可． 8．【答案】A 【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0， ∴abc＜0，所以①结论错误； ∵抛物线的顶点坐标(﹣2，﹣9a)， ∴﹣＝﹣2，＝﹣9a， ∴b＝4a，c＝﹣5a， ∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a， ∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②结论正确， 5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，故③结论错误， ∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于(﹣5，0)，(1，0)， ∴若方程a(x+5)(x﹣1)＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故结论④正确， 若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4， 设方程ax2+bx+c＝2的两根分别为x3，x4，则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4， 所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤错误， 故选A． 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、抛物线与y轴交点位置确定a，b，c的取值范围判断①；根据x=2时的函数值为负值判断②；把顶点坐标代入求出b＝4a，c＝﹣5a，然后代入代数式判断③；借助图象得到y=-1的两个交点和与x轴交点的位置判断④；利用图象和对称性求出四个根的和判断⑤解答即可． 9．【答案】D 【解析】【解答】解：联立与， 得， ∴， 即， 其两根为3（对应点P）和 ∴， ∴， 联立与， 得， ∴， 即， 其两根为3和， ∴， ∴， ∵点A、B在直线上， ∴ ∴ ， ∵， ∴ 故选：D． 【分析】联立与，联立与，求出，，得解答即可． 10．【答案】A 【解析】【解答】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故答案为：A． 【分析】按照题目的要求，将代入解析式，再通过计算就能得到对应的结果. 11．【答案】1 【解析】【解答】解：根据题意可得，即1-m≥0，得到m≤1， 又因为b为方程的一个实数根， 所以，即， 则， 因为m≤1， 所以当m=1时，y有最小值1. 故答案为：1. 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解和二次函数的最值，首先根据题意确定m的取值范围，然后将b代入方程得到关于b的等式，然后变形后得到关于m的代数式，进而根据m的取值范围得到y的最小值. 12．【答案】> 【解析】【解答】解：如图，在平面直角坐标系中作出抛物线y=ax2+bx+c的图象， 根据抛物线与x轴交点的位置即可得到抛物线与x轴交点的距离m， 作直线y=-1，即可得到ax2+bx+c=-1， 可以得到方程两根据间的距离，即为两交点间的距离n， 由图象可得m>n， 故答案为：>. 【分析】根据图象得到抛物线与x轴的交点位置，以及抛物线与y=-1的交点位置，然后根据图象得到m和n大小关系解答即可. 13．【答案】 【解析】【解答】解：如图， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大面积 故答案为：． 【分析】设，则，得到矩形的面积关于x的函数关系式，再根据自变量的取值范围求出最值解答即可． 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵二次函数与的图象交于点， ∴且， 两式相减得， ∵， ∴， 即， 解得， ∵方程的解是函数的图象与直线交点的横坐标，已知一个交点为， 且二次函数的对称轴为直线， ∴点关于二次函数对称轴的对称点为， ∴另一个交点为． 故方程的解为． 故答案为：． 【分析】方程的解即为二次函数的图象与直线交点的横坐标．已知两函数图象交于点，可先求出的值，再利用二次函数的对称性求得另一个解． 15．【答案】​​​​​​​​​​​​​​ 【解析】【解答】解：抛物线的顶点横坐标为x=，y=， 而，故. 故答案：. 【分析】求出抛物线顶点横纵坐标，消去b，即可得顶点所在抛物线解析式. 16．【答案】x<-2或x>8 【解析】【解答】解：∵由函数图象可知，当x<-2或x>8时，二次函数图象在一次函数图象的上方， ∴能使y1>y2成立的x的取值范围是：x<-2或x>8， 故答案为：x<-2或x>8. 【分析】直接根据函数的图象即可得出结论. 17．【答案】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为10%； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为（30﹣y﹣10）元，日销售量为（80+10y）件， 根据题意得：（30﹣y﹣10）（80+10y）＝1800， 整理得：y2﹣12y+20＝0 解得：y1＝2，y2＝10， 又∵要尽快减少库存， ∴y＝10， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的月利润总和为w元，售价为a元/件 则 ＝ ∴当a＝29时，w有最大值，最大值为3410， ∴当售价为29元/件时，线上和线下的月利润总和达到最大，最大利润为3410元． 【解析】【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据“ 该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件 ”列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，根据每件利润×日销售量=总利润列方程求出未知数的值解答即可； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，然后配方为顶点式求出最大值解答即可． 18．【答案】（1）解：∵围墙的总长为50m，2间饲养室合计长 xm， ∴饲养室的宽 （2）解由题意得，面积为 ∴当x=25时，面积取最大值，最大值为 【解析】【分析】(1)根据题意，由围墙的总长为50m，2间饲养室合计长 xm，从而可以表示出饲养室的宽； (2)结合(1)由矩形的面积=长×宽，再结合二次函数的性质即可计算得解. 19．【答案】（1）解：令y=0，则 解得 所以与x轴交点坐标为(0， 0)， (4， 0). （2）解：①0<t<s时， 所以有 解得 因为a<0，所以 ② 【解析】【解答】解：⑵②若a<0，显然不成立， 若a>0，求抛物线交点，列方程得 解 若要y1>0时应无交点， 即 无解或小于0，即 故答案为： 【分析】（1）令y=0，求出x的值，即可得到抛物线与x轴交点的坐标即可； （2）①当0<t<s时，求出AB关于x的二次函数，然后根据对称轴公式求出a的值解答即可； ②当a<0时不成立；a>0时，解方程求出x的值，然后根据y1>0求出a的取值范围即可. 20．【答案】（1）解：抛物线（a为常数，且）的对称轴为直线； （2）解：①由（1）知，抛物线对称轴为直线， ∵，当时，函数有最大值． ∴，且， ∴当时，函数有最大值． 代入解析式，得， 解得 ②由①知， ， ∴抛物线为， ∵点在该函数图象上，且位于直线（b为常数）的下方， ∴， ∵， ∴当时，t有最小值， ∵t的最大值与最小值的差为m， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴或， ∴，， 或，， 故b的取值范围为． 【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式解答即可； （2）①抛物线对称轴为直线，根据题意得到当时，函数有最大值，代入解析式求出a的值即可； ②由点在该函数图象上，即可得到，进而得到t的最小值为，由t的最大值与最小值的差为6，得， 得，求出s的取值范围，进而得到b的取值范围即可． 21．【答案】（1）解：① 当b＝2，c＝5时， 抛物线解析式为y=x2-4x+5=(x-2)2+1， ∴顶点坐标为(2，1)， ②将抛物线向下平移h个单位得到的新抛物的解析式为y=(x-2)2+1-h， 则抛物线的对称轴为直线x=2，开口向上， ∵抛物线与x轴有交点， ∴1-h≤0，解得h≥1， 又∵x=-1离对称轴远， ∴当x=-1时y≥0，即9+1-h≥0， 解得h≤10， 故 h的取值范围为1≤h≤10 （2）解：∵ 抛物线的解析式为y=x2－2bx+c ， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x= 又∵ 当x≤－1时，y的最小值为6；当x＞－1时，y的最小值为2， ∴对称轴x=b>-1，且抛物线过(-1，6），且最小值为2， 设抛物线的对称轴为直线y=(x-b)2+2， 把(-1，6)代入得b=1或b=-3， 又∵b>-1， ∴b=1 【解析】【分析】（1）①把抛物线的解析式配方得到顶点式，即可得到顶点坐标即可； ②设平移后的解析式为y=(x-2)2+1-h，然后根据与x轴有交点得到1-h≤0，然后根据x=-1离对称轴远，则需满足x=-1时y≥0，求出h的取值范围即可； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴x=b，根据题意得到b>-1，抛物线过(-1，6），且最小值为2，然后根据待定系数法求出二次函数的解析式即可. 22．【答案】（1）解：根据题意，以为横轴，为纵轴建立直角坐标系， ∴可得抛物线顶点坐标为，， ∴设抛物线解析为：， ∴， ∴， ∴（答案不唯一） （2）解：由题意可得：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴交点为：， 答：运动员落水点E与点C的距离为5米 【解析】【分析】(1)先根据题意建立平面直角坐标系，再结合题目高度，水平距离确定抛物线顶点与起跳点坐标，接着设出二次函数顶点式，把已知点坐标代入求出参数a，最终得到抛物线解析式； (2)先根据水面高度为0，将y=0代入抛物线解析式，解方程得到，，舍去不符合实际情境的解，得到落水点横坐标为5，结合C点坐标求出CE=5米． 23．【答案】（1）解：对称轴为直线． （2）解：， 点在对称轴的右侧． ， ， 函数有最大值，其最大值为． （3）解：由对称性可知，，解得． 把代入，得， ，则， 抛物线的一段夹在两条平行直线之间， 直线不可能在抛物线顶点的下方， 因此直线之间的距离的最小值为． 【解析】【分析】（1）利用二次函数对称轴公式直接计算对称轴即可； （2）根据点的位置及函数值大小关系判断开口方向，确定最值类型，代入顶点坐标求最值即可； （3）把代入，求出m的值即可． （1）解：对称轴为直线． （2）解：， 点在对称轴的右侧． ， ， 函数有最大值，其最大值为． （3）解：由对称性可知，，解得． 把代入，得， ，则， 抛物线的一段夹在两条平行直线之间， 直线不可能在抛物线顶点的下方， 因此直线之间的距离的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $