第1章 二次函数 1.2-1.3二次函数的图像与性质 同步练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练以二次函数为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层梯度设计，覆盖概念辨析、性质应用到动态探究，强化从单一知识点到跨情境综合的思维进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数概念、图象开口/顶点/对称轴|选择1-6题考概念辨析，填空11-13题练基础运算，夯实新授课核心知识| |提升层|平移规律、交点问题、增减性|选择7-9题结合函数与方程，填空14-15题渗透数形结合，提升推理能力| |综合层|动态几何、存在性问题、实际应用|解答题17-24题融合几何图形与函数建模，如23题动线面积探究，发展模型意识与创新思维|

第1章 二次函数 二次函数的图象与性质 选择题(每题3分，共30分) 1.下列函数属于二次函数的是 ( ) 2.已知k为任意实数，则抛物线 的顶点总在 ( ) A.直线y=x上 B.直线y=-x上 C. x轴上 D. y轴上 3.关于二次函数 的图象，下列说法中正确的是 ( ) A.对称轴是直线x=-1 B.当x>-1时，y随x的增大而减小 C.顶点坐标为(-1,-2) D.图象与x轴没有交点 4.函数 与y=-ax+c(a≠0)在同一平面直角坐标系内的图象是 ( ) 5.已知二次函数 的图象过点A(1,m),B(3,m),若点.M(-2,y₁),N(-1,y₂),K(8,y₃)也在二次函数 的图象上，则下列结论中，正确的是( ) 6.若 则由表格中信息可知y与x之间的函数表达式为 ( ) x -1 0 1 1 8 3 7.如果将抛物线 平移，使平移后的抛物线与抛物线 重合，那么它平移的过程可以是( ) A.向右平移4个单位，向上平移11个单位 B.向左平移4个单位，向上平移11个单位 C.向左平移4个单位，向上平移5个单位 D.向右平移4个单位，向下平移5个单位 8.已知抛物线 与直线y=kx交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点,若. 则直线y=ax+k一定经过( ) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 9.关于x的二次函数. 甲同学认为：若m<0，则当x≤1时，y随x的增大而增大。乙同学认为：若该二次函数的图象在x轴上截得的线段长为3，则m的值是1或 以下对两位同学的看法判断正确的是( ) A.甲、乙都错误 B.甲、乙都正确 C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确 10.已知点A,B的坐标分别为(-2,3)和(1,3),当抛物线. 的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，给出下列结论： ①c<3；②当x<-3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为-5；④当四边形ACDB为平行四边形时， 其中正确的是 ( ) A.②④ B.②③ C.①③④ D.①②④ 填空题(每题3分，共18分) 11.已知抛物线 的开口向上，则a的取值范围是 。 12.已知二次函数 的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是 。 13.如图，边长为2的正方形ABCD的中心在平面直角坐标系的原点O上，AD∥x轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是 。 14.已知二次函数 的图象上有A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点， 且 则y₁与y₂的大小关系是 。 15.已知函数 若使y=k成立的x值恰好有2个，则k的取值范围为 。 16.如图，抛物线 与x轴相交于点B，O，点A是抛物线的顶点，连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l。点P是l上的一点，点Q是抛物线上的一点。设以点A，B，O，P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t。 (1)当0<S≤18时,t的取值范围是 。 (2)在(1)的条件下，当t取得最大值时，请写出使△OPQ为直角三角形且OP为直角边的点Q的坐标： 。 解答题(共72分) 17.(6分)如图,已知▱ABOC的顶点A,B,C在二次函数 的图象上，点A，B又分别在y轴和x轴上，∠ABO=45°，图象顶点的横坐标为2，求二次函数的表达式。 18.(6分)已知抛物线 与y轴交于点C(0，-2)，点D和点C关于抛物线对称轴对称。 (1)求此抛物线的函数表达式和点D的坐标。 (2)如果点M是抛物线的对称轴与x轴的交点，求△MCD的周长。 19.(8分)已知抛物线 (1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点。 (2)若此抛物线与直线y=x-3m+3的一个交点在y轴上，求m的值。 20.(8分)已知二次函数 其中a为常数。 (1)判断点(1，0)是否在该抛物线上。 (2)求该二次函数顶点的纵坐标。(用含a的代数式表示) (3)若将该二次函数的图象向下平移3个单位，则所得抛物线顶点纵坐标的最小值为 。(直接写出答案) 21.(10分)如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，其中点A(-1,0),C(0,5),D(1,8)都在抛物线上,M为抛物线的顶点。求: (1)抛物线的函数表达式。 (2)直线CM的函数表达式。 的面积。 22.(10分)已知二次函数 (1)该二次函数图象的对称轴是直线 。 (2)若该二次函数的图象开口向上，当 时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为 求点M和点N的坐标。 (3)若该二次函数的图象开口向下，对于该二次函数图象上的两点 当 时，均有 请结合图象，直接写出x₁的取值范围。 23.(12分)如图1,抛物线 与y轴的交点为A，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，二次函数 的y与x的部分对应值如下表所示： x … 0 1 3 4 … y … 8 0 0 … (1)抛物线的对称轴是直线 ,A( , ),B( , )。 (2)求二次函数. 的表达式。 (3)已知点M(m,n)在抛物线 上，设△BAM的面积为S，求S关于m的函数表达式，在图2中画出函数图象；利用函数图象说明S是否存在最大值，并说明理由。 24.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于A，B两点，交y轴于点C，这条抛物线的顶点为D。 (1)求点D的坐标。 (2)过点C作CE∥x轴,交抛物线于点E。当CE=2AB时,求点D的坐标。 (3)这条抛物线与直线y=-x相交，其中一个交点的横坐标为-1。过点P(m，0)作x轴的垂线，交这条抛物线于点M，交直线y=-x于点N，且点M在点N的下方。当线段MN的长度随m的增大而增大时，求m的取值范围。 (4)点Q在这条抛物线上运动，若在这条抛物线上只存在两个点Q，满足 直接写出a的取值范围。 参考答案及详解 第1章 二次函数 二次函数的图象与性质 1. D 2. B 3. D 4. C 5. B 6. A 7. D 8. D 【解析】∵抛物线 与直线y= kx交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点,∴ 当a>0,k<0时,直线y= ax+k经过第一、三、四象限;当a<0,k>0时,直线y= ax+k经过第一、二、四象限。综上所述，直线y=ax+k一定经过第一、四象限。故选D。 9. B【解析】由题意得抛物线的对称轴为直线 当m<0时，开口向下. ∴当x≤1时，y随x的增大而增大，故甲同学的看法正确。设二次函数图象与x轴交点的横坐标为x₁，x₂，即关于x的方程. 0的两个根为x₁，x₂, 由题意知， 即 化简并整理得 解得m=1或 经检验，m=1或 符合题意，故乙同学的看法正确。故选B。 10. A 11. a>-1 12. k>-1且k≠0 13.2 【解析】 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线.x=-3。 且 =-x₂,∴x₁+x₂=-7。 ∵-3.5<-3，∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离。 15. k=-1 或 k>3 【解析 】函数 y= 的图象如图所示。由图象可知，当y=-1或y>3时，对应的x值恰好有2个. ∴k=-1或k>3。故答案为:k=-1或k>3。 16.(1)-3≤t<0或0<t≤3(-3≤t≤3且t≠0) (2)(3,3)或(6,0)或(-3,-9) 17.由已知得抛物线对称轴为直线x=2，∵AC∥x轴，四边形ABOC为平行四边形，∴根据抛物线的对称性得AC=BO=4。又∵在Rt△AOB中,∠ABO=45°,∴AO=BO=4。∴A(0,4),B(-4,0),由对称性得D(8,0)。设抛物线表达式为y=a(x+4)(x-8),将A(0,4)代入,得-32a=4,解得 即 18.(1)∵抛物线 与y轴交于点C(0,-2),∴m=-2。∴此抛物线的函数表达式为 2。∵抛物线的函数表达式为∴抛物线的对称轴为直线x=1。∵点D与点C关于抛物线的对称轴对称，∴点D的坐标为(2,-2)。 (2)∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴M(1,0)。 ∵CD=2,∴△MCD的周长为 19.(1)令y=0,得 ∵△=4m)=1>0， ∴此抛物线与x轴必有两个不同的交点。 (2)当x=0时, y=x-3m+3=-3m+3。根据题意得, -3m+3,解得m=-3或m=1,∴m的值为-3或1。 20.(1)当x=1时, ∴点(1，0)在该抛物线上。 ∴顶点的纵坐标为 (3)∵将该二次函数的图象向下平移3个单位，∴所得抛物线顶点纵坐标为 ∴所得抛物线顶点纵坐标的最小值为-3。故答案为:-3。 21.(1)根据题意得 解得 ∴抛物线的函数表达式为 则M点坐标为(2,9)。设直线CM的函数表达式为y= mx+n,把M(2,9)和 C(0,5)代入得 解得∴直线CM的函数表达式为y=2x+5。 (3)把y=0代入y=2x+5,得2x+5=0,解得x= 则直线CM与x轴交点E的坐标为 把y=0代入. 得 解得 则.B(5,0),可得 15。 2∴对称轴为直线x=1。故答案为:x=1。 (2)∵函数的图象开口向上,∴a>0。当-1≤x≤5时，x=5时函数有最大值，x=1时函数有最小值。 ∵最高点M的纵坐标是 .∴当x=5时, 解得 ∴当x=1时,y= (3)∵函数的图象开口向下,∴a<0。∵(3,0)关于x=1对称的点是(-1,0),当. 时，均有 23.(1)根据当x=1和3时,y=0,得出抛物线的对称轴是直线x=2。∵抛物线 与y轴的交点为A， ∴x=0时,y=3,则点A(0,3),故B(4,3)。 (2)由图象过(1,0),(3,0),可设抛物线为y=a(x-1)(x-3),把(0,3)代入可得3=a(0-1)(0-3),解得a=1。故二次函数 的表达式为y= (3)如图1,∵AB∥x轴,.AB=4,当0<m<4时,点M到AB的距离为3-n, 2n。又∵ 当m<0或m>4时，点M到直线AB的距离为n-3, 又∵n=m²-4m+3,∴S₂= 故函数图象如图2(x轴上方部分)，S不存在最大值，从图象可知：当m<0或m>4时，S的值可以无限大。 24.(1) ∴点D的坐标为 (2)∵对称轴为直线x=2,CE∥x轴,∴CE=4。 ∵CE=2AB,∴AB=2。∴点A,B的坐标分别为(1,0),(3,0)。 将(1,0)代入 中，得 解得 ∴点D的坐标为(2.\frac{1}{2})。 (3)把x=-1代入y=-x中,得y=1。将(-1,1)代入 中，得 解得 ∴点 M，N的坐标分别为 ∴MN=-m- ∴对称轴为直线 ∴当线段MN的长度随m的增大而增大时，m的取值范围是-1<m≤1。 (4)①当a>0时，抛物线开口方向向上，点C的坐标为 由(1)知点D的纵坐标为 ∴由题意得 解得 ②当a<0时，抛物线开口方向向下，点C的坐标为 由(1)知点D的纵坐标为 ∴由题 意得 解得 综上所述，a的取值范围为 或 学科网（北京）股份有限公司 $