2.2 认识二次函数 (课件) 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，通过复习一次函数、反比例函数导入，结合果园增种橙子树等生活问题，引导学生从变量关系中抽象函数表达式，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以生活实例为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，通过问题链推导函数表达式发展推理意识，用表格数据和分段函数体现数学语言的精确性。典例与分层练习结合，助力学生建立数学模型，教师可高效开展概念教学与应用训练。

第二章 二次函数 2.2 认识二次函数 鲁教版（五四制）九年级上册 函数 一次函数 反比例函数 二次函数 正比例函数 y=kx+b (k≠0) y=kx(k≠0) 一条直线 双曲线 变量之间的关系 复习导入 源于生活的数学 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. 3 （1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ （2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ （3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的函数表达式是什么？x能取哪些值？ 4 果园共有（100+x）棵树，平均每棵树结（600-5x）个橙子，因此果园橙子的总产量 你能根据表格中的数据作出猜想吗？ y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000. 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？ x/棵 … 6 7 8 9 10 11 12 13 14 … y/个 … … 60420 60455 60480 60495 60500 60495 60480 60455 60420 生活问题数学化 60375 60455 60480 60495 60500 60495 60480 60455 60420 60375 60420 你发现了吗？ 尝试·思考 (1)某公司今年4月份实现利润20万元，预计5~6月利润将持续增长。如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为x，6月份的利润为y万元，那么y与x之间的函数表达式是什么? x能取哪些值? y=20(x+1)²=20x²+40x+20，x＞0. （2）已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？可能是75cm2吗？还可能是多少？如果设这个矩形的一条边长为xcm，面积为ycm”，那么y与x之间的函数表达式是什么?x能取哪些值? （3）两数的和是20，设其中一个数是x，这两个数的积是y，那么y与x之间的函数表达式是什么?x能取哪些值? y=x(20-x)=-x2+20x，x为任意实数. 面积可能是100cm2，也可能是75cm2 . y=x(20-x)=-x2+20x，0＜x＜20. 观察·交流 一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作x的二次函数. （1）关于x的代数式一定是整式，a，b，c为常数，且a≠0. （2）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 提示： 观察由上述问题得到的雨数表达式:y=-5x²+100x+60000，y=20x²+40x+20， y=-x²+20x，它们有什么共同特征?与同伴进行交流. 典例精析 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y=3(x-1)²+1 （3） s=3-2t （5）y=(x+3)²-x² （6） v=10πr² （是） （是） （不是） （是） （不是） （不是） ² 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？ 答：是二次函数关系式. 解：S=a( -a)=a(30-a) =30a-a² =-a²+30a. 例2 典例精析 例3 （2）如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数，则k的值一定是______. 0 （1） 如果函数y= +kx+1是二次函数， 则k的值一定是______. 0或3 典例精析 课堂小结 概念：一般地,形如 y=ax²+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫作x的二次函数. 二次函数几种不同表示形式: (1) y=ax² (a≠0) (2) y=ax²+c (a≠0) (3) y=ax²+bx (a≠0) (4) y=ax²+bx+c (a≠0) 1. 下列函数中是二次函数的有( ) ①；②；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ . C A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 课堂练习 14 2. 已知关于 的二次函数 ，则 的值可能是_________________ （写出一个即可）. 0（答案不唯一） 15 3. 已知 . （1）当为何值时，它是关于 的一次函数？ 【解】由是关于 的一次 函数，得解得 , 当的值为2时，它是关于 的一次函数. 16 （2）当为何值时，它是关于 的二次函数？ 由是关于 的二次函数， 得①，解得 ； 或②，解得 ； 或③解得 ； 或④，解得或 . 17 综上所述，当的值为4或或或0或1时，它是关于 的二次函数. 4. 下列二次函数中，二次项系数、一次项系数和常数项分别 是1， ，0的是( ) D A. B. C. D. 19 5. 已知二次函数 的常数项为0， 则二次函数的表达式是____________；当时， ____. 20 6. 某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新 产品的研发资金与上月相比增长率都是 ，则该厂今年一季 度新产品的研发资金（元）关于 的函数关系式为( ) C A. B. C. D. 21 7. 为庆祝中国航天空间站 字构型满配， 某航天文创店采购了一批空间站主题钥匙扣，进货价为7.5元 /件，在一段时间里，销售单价是13.5元，销售量是500件， 而销售单价每降低1元就可多售出200件，当销售单价为 元 时，获取利润为元，则与 之间的函数关 系式为__________________________. 22 8. [山东省临沂市期中] 用长为 的绳子围成一个长方形， 设长方形的面积为，一边长为，用含有 的代数式 表示为____________，自变量 的取值范围是__________. 【点拨】 这个长方形的周长为,一边长为， 另 一边长为.又 长方形的面积=长×宽， ，， , 自变量的取值范围是 . 23 9. 若函数是二次函数，则 ___. 3 本题易忽略二次函数的表达式 中 二次项系数 的条件而出错. 24 10. 刀削面堪称天下一绝，传统的操 作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到 开水锅里.如图，面刚被削离时与开水锅的高 度差，与锅的水平距离 ， D A. B. C. D. 锅的半径 .若将削出的小面条（看作点）的运动轨 迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不 计），则其水平初速度不可能为（提示： ， ，水平移动距离 ） ( ) 25 【点拨】由题意得,解得, （不合题意,舍去）. 要使其落入锅中， ,即 , . ， 选项D不可能. 26 11. 已知二次函数 的二次项系数 与一次项系数的和为 ，差为2，则常数项为( ) A A. B. C. D. 27 12. 要建如图所示两个长方形养 鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠 着原有的一面墙，墙的长度 ， 另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总 （1）的长为____________（用含 的代数式表示）. 长为，且在边上开一扇长为的门，在 边上 开一扇长为的门，若设鸡场的边的长为 . 28 （2）若两个鸡场的总面积为，求与 的函数关系式. 【解】 . 与的函数关系式为 . 29 （3）能否围成总面积为 的两个长方形养鸡场？若能， 求出 的长；若不能，请说明理由. 30 能围成总面积为 的两个长方形养鸡场, 根据题意,得，解得 ， . 墙的长度 ， 解得 . 不符合题意，舍去. 的长为 . 31 13. 如图，在梯形 中，， ，于点 ， ，， .从初始时 刻开始，动点，分别从点， 同时出发，运动速度均为 ，动点沿的方向运动，到点 停止； 动点沿的方向运动，到点 停止，设运动时 间为，的面积为 ，（这里规定：线段是面积 为0的三角形） 32 解答下列问题： （1）当时，___；当时， ___； 2 9 33 （2）当时，求与 之间的函数关系式； 【解】当,即点在上，点 在 上时，如图①， ； 34 当,即点在上，点在 上时，如图②， ； 当,即点在上，点在 点时，如图③， . 35 36 （3）当动点在线段 上运动时，求出当 时， 的值. 当动点在线段 上运动时， ， ，即 ， 解得 . 当时， . 37 $