2026—2027学年九年级数学秋季开学自测卷（测试范围： 人教版八年级下册）

**基本信息** 聚焦八年级下册核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合武汉文旅、生物多样性等真实情境，考查抽象能力、几何直观与推理意识，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式有意义、勾股定理、中位数、一次函数定义|第3题以比赛晋级情境考统计量，体现数据意识| |填空题|6/18|菱形面积、二次根式化简、多边形内角和、一次函数平移|第16题结合行程图像考速度计算，强化模型观念| |解答题|8/72|二次根式运算、一次函数性质、几何证明（矩形/菱形）、统计分析、分段函数、新定义几何|23题武汉文旅文创利润问题考查应用意识，25题“中轴弦”新定义题发展创新思维，20题生物多样性竞赛统计培养数据观念|

2026—2027学年九年级数学秋季开学自测卷（测试范围：新教材人教版八年级下册） 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。) 1．若式子有意义，则实数的值可以是（     ）． A．-1 B．0 C．1 D．2 2．下列长度的线段中，首尾顺次连接能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．某校有25名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，要取前12名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需再知道这25名同学成绩的（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 4．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 5．下列图象中，表示是的函数的是（     ） A．B．C．D． 6．如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 7．如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．如图，在中，，于点，于点，于点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：；；；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 12．已知是整数，则正整数n的最小值是____________． 13．一个多边形的内角和是外角和的两倍，则这个多边形的边数为________． 14．将一次函数的图象平移，使得平移之后的图象经过点，则平移之后的图象的解析式为_______． 15．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______． 16．甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行驶过程中，两车离开城行驶的路程与甲车行驶的时间的对应关系如图所示．（1）甲车的平均速度是_________；（2）图中_________． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知一次函数 (1)当m为何值时，函数图像经过原点？ (2)图像与轴交点在x轴的上方，且随x的增大而减小，求整数m的值． 19．如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且 (1)求的长； (2)求证：是直角三角形． 20．联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）在中国云南昆明召开，为了广泛宣传生物多样性工作，某中学组织学生结合所学知识，进行了生物知识竞赛活动．校方想了解该校七年级学生的竞赛情况．随机抽取了部分学生成绩进行分析．并将测试成绩绘制成两幅统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： (1)此次调查的样本容量是 ，并补全条形统计图； (2)抽取的样本中，测试成绩的众数是 分，中位数是 分，表示测试成绩为85分的扇形圆心角α的度数为 ； (3)已知该校七年级共有学生1040人，若竞赛成绩在（含85分和95分）分视为“成绩良好”，请你估计该校七年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生共有多少人？ 21．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过点A作直线与y轴相交于P，且使，求直线的解析式． 22．已知中，． (1)如图1，求证：四边形为矩形； (2)如图2，连接交于点，，，求证：四边形为菱形． 23．“烟雨莽苍苍，龟蛇锁大江”武汉作为历史文化名城，近年来文旅产业蓬勃发展．某文创商店销售两款具有代表性的武汉特色纪念品“晴川阁模型”和“大桥书签”．该店先花费2400元购进了60个“晴川阁模型”和120盒“大桥书签”，很快销售一空；后又花费3000元以同样的价格购进了90个“晴川阁模型”和120盒“大桥书签”．已知每个“晴川阁模型”的售价为35元，每盒“大桥书签”的售价为18元． (1)求每个“晴川阁模型”和每盒“大桥书签”的进价； (2)该店计划继续购进这两种纪念品共200件，其中购进“大桥书签”的数量不超过“晴川阁模型”数量的3倍，且购买总金额不超过3000元．设购进“晴川阁模型”个，销售这批纪念品的利润为元．购进这两种纪念品各多少元时，销售这批纪念品可以获得最大利润？最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对“大桥书签”出厂价下调了元（），且限定该店最多购进“晴川阁模型”100个．在（2）的条件下，若该店最终获得的最大利润是2500元，直接写出的值是_________． 24．已知分段函数（，为常数，）的图象如图所示，且该分段函数与直线的图象相交于、两点． (1)求，的值； (2)该分段函数图象与y轴的交点为，在轴上找一点，使取得最大值，求点坐标； (3)已知、，点在轴上，点在该分段图象上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．定义：在菱形中，若直线平行于菱形的一条对角线，其中点为凸四边形边上的点（异于顶点），则称线段为菱形中关于此对角线的“中轴弦”．如图1，若，则称线段为菱形中关于的“中轴弦”． (1)若，线段为菱形中关于的“中轴弦”，且、分别是各边上的中点，的度数为______；的长度为______． (2)如图2，在菱形中，点、分别在、上，连接、相交于点，连接，，求证：为菱形中关于的“中轴弦”． (3)如图3，、是菱形中关于的“中轴弦”，且位于异侧，与交于点，连接、、、、、，记凸四边形，，的面积依次为，，四边形的周长为，若，试用含与的式子表示． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C D B A D A C 11． 12．2 13．6 14． 15．1.5 16． 17．【详解】（1） ． （2） ． 18．【详解】（1）解：若函数图像经过原点， 则有： ∴ （2）解：∵图像与轴交点在x轴的上方，且随x的增大而减小， ∴ 解得： ∵m为整数， ∴ 19．【详解】（1）解：∵，，， ∴． (2)证明：∵在中，， ∴是直角三角形． 20．(1)80； 补全条形统计图如下， （2）解：这80名学生成绩出现次数最多的是90，因此众数是90分， 将这80名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数分别是90分和95分，因此中位数是分， ， 故答案为：90；92.5；； （3）解：（人）， 答：该校七年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生大约共有728人． 21．【详解】（1）解：∵直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， 令，则；令，则， ∴，． （2）解：由（1）知，， ∴， ∵过点A作直线与y轴相交于P，且使， ∴， 此时分情况讨论： ①当点P在点O上方时，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； ②当点P在点O下方时，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或． 22．(1)证明：∵四边形的平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； (2)证明：∵，，即， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴平行四边形是菱形． 23．【详解】（1）解：设每个“晴川阁模型”的进价为m元，每盒“大桥书签”的进价为n元， 由题意得，， 解得， 答：每个“晴川阁模型”的进价为20元，每盒“大桥书签”的进价为10元； （2）解：由题意得， ， ∵购进“大桥书签”的数量不超过“晴川阁模型”数量的3倍，且购买总金额不超过3000元， ∴， 解得，且x为整数， ∵在中，， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 此时， 答：当购进“晴川阁模型”2000元、“大桥书签”1000元时，销售这批纪念品可获得最大利润，最大利润为2300元； （3）解：由题意得，， 由（2）得，且x为整数， 当时，， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， ∴， 解得； 当时，，此时不符合题意； 当时，则， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值， ∴， 解得，不符合题意； 综上所述，． 24．【详解】（1）解：根据题意可知，、两点在上， 可得， 解得，． （2）解：由（1）得分段函数的解析式为， 当，， 则点的坐标为， 如图，作点关于轴的对称点，连接并延长，交轴于点， 在轴上取一点，可知， ∴， 当点与重合，即点，，在一条直线上时，取得最大值， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为：， 令，可得， 故点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： 点在分段函数图象上， 设点或，设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：或， 解得：或， 当，， 当，， 则点的坐标分别为：或； 当为对角线时， 同理可得：或， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当，， 则的坐标分别为：； 当为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 当，， 当，， 则的坐标分别为：或， 综上，点的坐标为：或或或或． 25．【详解】（1）解：如图1，连接交于P， ∵在菱形中，交于P，， ∴，，，， 在中，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即； ∵线段为菱形中关于的“中轴弦”，且、分别是各边上的中点， ∴是的中位线， ∴； (2)证明：在菱形中，， ∴， ，， ． ， ， 又∵，， ， ， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ，即为菱形中关于的“中轴弦”； （3）解：由题可知，， ， ∴四边形是梯形， 如图3，设点到的垂线段长为，点到的垂线段长为，记与交于点，与交于点， 则两条平行线与之间的距离， ∵在菱形中， ∴， ∴，， ∴， ，， ∵在梯形中，，， ， 整理，得， 或， ∵在菱形中， ∴， ∴当时，，即， 又∵， ∴， ∴，， 同理可证，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴均为等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴，四边形为平行四边形， ∴， 设， ， 在中，， 同理可知，在中，， ∵，，即， ∴， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $